Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

расщепленных операторов [156]. Наконец, методы подпространств Крылова такие, как метод Ланцоша для эрмитовых матриц, открывают возможность аппроксимировать для некоторого вектора v путем выполнения только лишь перемножения матриц [154, 157]. Подобные методы особенно эффективны для больших матриц.

Один из наиболее необременительных в вычислительном отношении методов рассчитывать свойства, зависящие от времени, без явной реализации временной эволюции – прибегнуть к теории возмущения первого порядка или иначе к теории линейного отклика. Хотя первоначальная формулировка зависящей от времени ДФТ [158] не требует, чтобы зависящая от времени часть гамильтониана была малой, но обычно предполагается именно это допущение [159 – 161]. Аналогично приближение линейного отклика применительно к методам МПРГ [162, 163] и СК [164 – 166] позволяет вести расчеты динамических свойств с квантово-химическими методами высокого порядка.

Зависящий от времени вариационный принцип/ЗВВП (Time-Dependent Variational Principle/TDVP) [167 – 169] позволил развить зависящий от времени вариационный метод МК для бозонов [170] и сильно коррелированных фермионов [171]. Хотя ЗВВП нашел применение в МПРГ [172], наиболее популярным алгоритмом реализации временной эволюции в стиле МПРГ оказалась так называемая блочная децимация с учетом времени [173]. Более подробный обзор алгоритмов временной эволюции в рамках метода МПРГ можно найти в [174].

Моделирование динамического поведения в районе точек конических пересечений является актуальной темой в теоретической химии, имеющей важное значение для изучения механизмов фотохимических реакций, фотокатализа и интерпретации спектроскопических результатов. Конические пересечения случаются когда два электронных состояния, например, основное состояние и первое возбужденное состояние молекулы пересекаются в какойлибо точке пространства ядерных координат. Вблизи таких точек ПБО не работает, имеет место перепутывание электронных и ядерных степеней свободы. Это означает, что истинное квантовой состояние уже не может быть аппроксимировано произведением состояний и для своего описания требует привлечения так называемых множественных исходных конфигураций. Упомянем три наиболее популярных подхода. Многоконфигурационный зависящий от времени хартриевский алгоритм/МВХА (MultiConfiguration TimeDependent Hartree/MCTDH) [175] моделирует все доступные квантовые степени свободы, эволюционируя суперпозиции произведений состояний. Эволюция

220

волнового пакета в течение длительного времени в МВХА требует значительных компьютерных ресурсов и поэтому большие системы находятся вне возможностей современных компьютеров. Преобразование Фурье с расщепленным оператором [176] и более классический множественный метод размножения [177] используют специальную метрику с целью непрерывного обновления базисного набора, с которым эволюционирует система, что гарантирует более эффективное моделирование. Опубликованы свежие обзоры этих и других алгоритмов для изучения неадиабатической динамики и конических пересечений [178, 179].

7.2.3. Квантовые компьютеры выводят за пределы классических ограничений

Все классические методы, упомянутые в предыдущем разделе 7.2.2, разрабатывались с целью решить две вычислительные задачи, а именно – работать с полной многочастичной волновой функцией | Ψ и эволюционировать волновую функцию во времени в общем случае посредством перемножения e−iHt | Ψ . Как будет показано в этом разделе, именно квантовые компьютеры эффективно приспособлены для решения этих двух задач. В первом случае, представимости состояния, у квантовых компьютеров есть доступ к обширному пространству состояний для описания основного состояния рассматриваемой системы. Что касается второй ситуации, эволюции во времени, последние два десятилетия ознаменовались разработкой изощренных квантовых алгоритмов для эффективного моделирования временной эволюции как для независимых от времени, так и для время-зависимых гамильтонианов. Эти две особенности квантовых компьютеров стимулировали разработку алгоритмов для моделирования квантовых систем, принципиально отличающихся от классических алгоритмов.

В дополнение к делению задач на статические и динамические, как в предыдущем разделе, будем также раздельно рассматривать реализацию вычислений на ПШКУ и на ПУКК. Первые доступны уже сегодня и совершенствование их ожидается в ближайшее время, тогда как помехоустойчивые компьютеры требуют еще основательной доработки, возможно, в дальней перспективе. Главное отличие между ПШКУ и ПУКК связано с декогеренцией, вызываемой шумами в окружающей среде: ПШКУ чувствительны к источникам шумов, тогда как ПУКК, в принципе, должны выполнять когерентные квантовые вычисления произвольной длительности.

Многие известные квантовые алгоритмы, ставшие уже стандартными примерами квантового ускорения по сравнению с классическими алгоритмами

221

такими, как квантовый алгоритм факторизации Шора, квантовый поисковый алгоритм Гровера и квантовый АВФ, к обсуждению которого мы скоро перейдем, фактически предполагают реализацию на ПУКК, чтобы продемонстрировать ожидаемое квантовой преимущество. Правда, a priori нельзя исключать и возможные квантовые преимущества ПШКУ.

Прежде чем перейти к обсуждению алгоритмов квантового моделирования рассмотрим как волновые функции квантовых систем представляются на квантовом компьютере. Основными строительными блоками квантовых вычислений являются кубиты – контролируемые двухуровневые системы. Если обозначить оба уровня кубита как | 0 и |1 , то волновая функция на n-кубитном квантовом компьютере может быть представлена как суперпозиция 2n базисных состояний:

| Ψ = ∑ ai1i2 in |i1 |i2 |in .

i1,i2 ,...,in {0,1}

Значок произведения Кронекера обычно опускается для упрощения записи. Например, для записи 3-кубитного состояния |1 |1 | 0 будем пользоваться обозначением |110 . В основе подобных обозначений лежит представление вторичного квантования (§ 1.3.7.2), в котором каждому состоянию | i1i2 in соответствует слэтеровский детерминант в пространстве Фока. Каждый ij =1 , если спин-орбиталь j занята, в противном случае ij = 0 . Это представление

используется в большинстве квантовых алгоритмов для квантово-химических расчетов как для ПШКУ, так и для ПУКК. Одно из преимуществ такого представления состоит в том, что оно позволяет молекулярный гамильтониан записать в стандартной форме вторичного квантования

H = ∑hpqa†paq + ∑ hpqrsa†paq†aras ,

интегралы, которые вычисляются при заданном базисе на классическом

записанный через фермионные операторы, может быть переписан таким образом, чтобы моделирование электронной системы на квантовых устройствах стало более удобным. Основная идея такого преобразования заключается в

222

замене фермионного оператора на тензорное произведение матриц Паули X, Y, Z (§ 5.3.1). Предложено несколько методов выполнить подобное преобразование, наиболее популярных два из них – Джордана – Вигнера и Бравого – Китаева [180, 181] мы рассмотрим позже (§ 7.7.1). Преобразованный таким образом гамильтониан будет линейной комбинацией тензорных произведений X, Y, Z и единичной матрицы I такой, чтобы сохранялись фермионные антикоммутационные соотношения:

Hk−local = ∑ciσi,1σi,2 σi,k ,

i

где индекс k−local означает, что каждый член гамильтониана действует нетривиальным образом на не более, чем на k кубитов, символ σi, j означает j-ый оператор в i-ом члене гамильтониана, а каждый σi, j есть оператор Паули,

действующий на один кубит. Познакомиться подробнее с отображением молекулярного гамильтониана в k−local представление гамильтониана в пространстве Фока можно будет в § 7.8 при детальном разборе расчета молекулы водорода на квантовом устройстве.

Далее, как и прежде будем рассматривать статические и динамические задачи порознь применительно как к устройствам ПУКК (§ 7.4), так и ПШКУ

(§ 7.5).

7.2.3.1. Статика: вычисление фазы и вариационные квантовые алгоритмы

Идея вычисления фазы в квантовой системе берет свое начало еще в ранних работах фон Неймана по квантовой механике [182] в связи с природой квантовых измерений. Современное обсуждение этого вопроса связывают с исследованиями Китаева et al [42]. Основная идея состоит в том, что для некоторого унитарного оператора U его собственные значения могут быть записаны в виде фазы λj = eiϕ j . Предполагается, что U надежно представлен на

квантовом компьютере, т. е. если U действует на n кубитов, то имеет место последовательность элементарных операций полиномиальной длины, которые могут быть выполнены на квантовом компьютере и которые эквивалентны или хорошо аппроксимируют оператор U . Для собственного состояния |ψ j АВФ

преобразует это состояние на квантовом компьютере в

|ψ j |0 |ψ j |ϕj ,

223

переменная, вычисляется с привлечением кубитного регистра ограниченной длины, т. е. для размерно ограниченной квантовой системы. Измеряя состояние |ϕj , получаем значение фазы ϕj с точностью, которая определяется

используемым кубитным регистром.

Определение фазы есть фактически такая алгоритмическая процедура, которая вобрала в себя черты многих квантовых алгоритмов. Например, алгоритм Шора факторизации чисел [32] и алгоритм вычисления амплитуды [183] могут рассматриваться как вариант АВФ для унитарных операторов специального вида. Мы же будем использовать АВФ для вычисления спектра собственных значений гамильтониана H , что соответствует специальному случаю унитарного оператора вида U = e−iHt . Эффективное воспроизведение e−iHt достигается путем моделирования гамильтониана и заслуживает далее отдельного рассмотрения (§ 7.2.3.2). Отметим также, что в случае, когда целью является конкретное собственное состояние гамильтониана, например, основное состояние |ψ0 , соответствующее начальное состояние |φ0 ,

достаточно близкое к |ψ0 , необходимо. Рассмотрим некоторое произвольное

нужно к максимизации шанса получить |ϕ0 , что диктуется значением | β0 |2 .

Чтобы получить энергию основного состояния за время, измеряемое полиномиально числу кубитов n, на которые действует гамильтониан H , потребуется, чтобы | β0 |2 было по крайней мере так же велико как и обратное

значение полинома по n. Позже рассмотрим несколько методов подготовки начального состояния на квантовом компьютере (§ 7.4.2.1).

В квантовой химии хорошо разработаны различные подходы к выбору пробных волновых функций. Так же хорошо изучены молекулярные гамильтонианы в плане реализации их временной эволюции U = e−iHt . Оба эти обстоятельства вселяют надежду, что АВФ на квантовых компьютерах позволят эффективно рассчитывать спектры квантовых систем с точностью, сравнимой с ПКВ. Однако, нужно отметить важный технический момент, заключающийся в том, что последовательность операций, иначе, квантовых схем (§ 7.4.1.3), выполняемых в процессе вычисления фазы, часто слишком продолжительная и емкая для реализации на нынешних ПШКУ [51]. Такие

224

длительные последовательности приемлемы для ПУКК, которые могут вести квантовые вычисления фактически непрерывно долго. Однако, еще предстоит преодолеть ряд технологических проблем для достижения гарантированной помехоустойчивости. Что же касается ПШКУ, то недавно предложенная концепция гибридных квантово-классических алгоритмов/ГККА (Hybrid Quantum-Classical Algorithms/HQCA) открывает новые возможности в решении задачи вычисления собственных состояний и собственных энергий.

Замечательная особенность ГККА заключается в том, что бόльшую часть вычислительной работы можно поручить классическому компьютеру; квантовый же компьютер необходим только для того, чтобы подготовить перепутанные состояния, что трудно сделать с помощью классического компьютера, а также для выполнения измерений относительно этих состояний. На квантовом компьютере готовится набор состояний |ψ(θ ) ,

параметризованных с помощью классических параметров θ . Затем производится измерение состояния, классический компьютер обновляет параметр до нового значения θ′ и возвращает его назад в квантовый компьютер для подготовки нового состояния. Путем такого итеративного процесса между классическим и квантовым процессорами гибридный алгоритм в конечном итоге приведет к тому, что квантовый компьютер найдет состояние, соответствующее поставленной задаче. Важным классом ГККА, полезным для решения статических задач в квантовой химии, являются ВКА, которые весьма подробно будут рассмотрены в § 7.5.1.

7.2.3.2. Динамика: моделирование гамильтониана и гибридные методы

Многие задачи в квантовой химии связаны с эволюцией во времени некоторого квантового состояния гамильтониана H . Распространение некой начальной волновой функции во времени путем расчета |ψ(t) = e−iHt |ψ0

является в общем случае почти неподъемной задачей для классического компьютера. Как уже упоминалось в § 7.2.2.2, классически подъемные задачи тем или иным образом ограничены в своей постановке теми или иными условиями:

1.Молекулярная система должна быть достаточно небольшой с тем, чтобы ее можно было рассчитать прямыми методами;

2.Временной интервал t выбирать надо настолько малым, чтобы можно было допустить, что e−iHt ≈ I −iHt (модель линейного отклика);

225

3.Достаточно эффективное приближение для волновой функции возможно при использовании, например, тензорных сетей, как в t-МПРГ, или в нейросетях [184];

4.Динамическую проблему знака, оказывается, можно эффективно

подавить [185].

Для помехоустойчивых квантовых компьютеров известны эффективные

При использовании декомпозиции Троттера – Судзуки возникает задача каким образом каждый вклад e−i H j t установить обособленно на квантовый компьютер. Решение этой задачи применительно к квантовой химии было сформулировано в [186]. Используя предложенное решение, отображение в случае n-кубитного гамильтониана на квантовом компьютере требует времени полиномиального по n, тогда как время на классическом компьютере составит по крайней мере 2n .

В новейших подходах к моделированию гамильтонианов [187 – 190] достигнуто экспоненциальное улучшение по точности по сравнению с предшественниками [187, 188]. Они нашли применение и в квантовой химии [191, 192], что будет подробно рассмотрено в § 7.4.1.

Моделирование временной эволюции гамильтонианов рассматривалось прежде всего для замкнутых систем. Изучались также алгоритмы для моделирования открытых квантовых систем [193 – 195]. Для зависящих от времени гамильтонианов в ранних работах [196] использовались вариации формулы Троттера – Судзуки. Недавно была предложена иная техника моделирования [197], применимая также в квантовой химии [198]. В моделировании зависящих от времени гамильтонианов использовались также ряды Дайсона [199].

Упомянутые до сих пор алгоритмы предполагают реализацию на ПУКК, совершенствование которых может продлиться еще длительное время. Поэтому продолжается разработка алгоритмов, реализующих динамику квантовых систем на доступных сегодня квантовых устройствах. Так, известны предложения [200] по реализации алгоритмов на ПШКУ, основанные на вариационных принципах [201, 202]. Они будут подробно рассмотрены в

§ 7.5.2.

226

7.3. Вычислительная сложность

Есть много примеров иллюзорных, неподдающихся решению задач в квантовой физике и квантовой химии, которые, несмотря на многочисленные попытки, так и не получили эффективного решения. К ним, в частности, относятся 3D проблемы Изинга, модели Хаббарда, нахождение универсального функционала в ДФТ. В свете этих сложных и поныне открытых проблем естественно задать вопрос – почему эти проблемы остаются нерешенными. Не хватает у исследователей понимания проблемы и таланта решить ее или этим проблемам присущи некие фундаментальные трудности? Знание ответа на этот вопрос не только позволило бы по иному посмотреть на сложившуюся ситуацию, но и открыло бы перспективы поиска принципиально новых подходов. Прогресс в этом направлении связывают с теорией вычислительной сложности, которая стремится классифицировать вычислительную сложность решения различных задач, в частности, в области квантовой химии [68]. Одним из важных разделов в теории вычислительной сложности является концепция классов сложности.

Важно отметить, что когда говорят о вычислительной сложности некоторой задачи, имеют в виду наиболее сложную в вычислительном отношении ситуацию, что не всегда соответствует ситуации в реальной практике. Подходящим примером может служить вычисление оптимального ХФ приближения для некоторого собственного состояния молекулярной системы. Эта задача характеризуется таким же классом сложности, как и многие «пакостные», тяжелейшие в вычислительном отношении проблемы, а

именно, классом NP-полноты (Non-deterministic Polynomial timing). И это несмотря на то, что хорошо известны эвристические методы, позволяющие регулярно на практике без особого труда получать ХФ решения. Классы сложности определяются по наиболее неблагоприятным вычислительным ситуациям, даже если таковые редко встречаются на практике.

Изложение далее построено следующим образом (рис. 16). Сначала дадим основные понятия из теории вычислительной сложности (§ 7.3.1), а затем на этой основе рассмотрим ситуацию в задачах расчета электронной структуры (§ 7.3.2) и отдельно в задачах молекулярной виброники (§ 7.3.3).

7.3.1.Классы сложности

Вэтом параграфе дадим несколько упрощенное, интуитивное введение в

понятия о классах сложности. Рассмотрим, к примеру, вычисление основных состояний в семействе гамильтонианов, описывающих системы разного

227

размера. С формальной точки зрения это назовем термином «проблема», тогда как нахождение основного состояния конкретного гамильтониана из этого семейства будет «примером проблемы». Проблемы и примеры проблем – два важных исходных примитива, понятий при обсуждении классов вычислительной сложности.

С вычислительной точки зрения алгоритм является эффективным для решения проблемы, если для любого примера проблемы размера n алгоритм решает пример за время, меньшее некоторой полиномиальной функции n-го порядка. Под термином «размер» подразумевается параметр проблемы, который характеризует объем информации, необходимый для полной спецификации и описания проблемы, например, размер базисного набора при вычислении основного состояния молекулярного гамильтониана или число узлов сетки при численном интегрировании. Такой подход позволяет достаточно строго охарактеризовать насколько сложно решить данную вычислительную проблему.

Простейшей категорией из классов сложности является категория проблем разрешимости (decision problems), предполагающая бинарный ответ, «да» или «нет». Если для проблемы разрешимости существует эффективный алгоритм, то проблема относится к классу сложности P (Polynomial timing), что соответствует детерминистическому полиномиальному времени, а алгоритм отождествляется с детерминированной машиной Тьюринга. Если проблема разрешимости такова, что предложив или обеспечив возможное решение, можно оперативно убедиться, что это решение корректное, тогда проблему относят к классу сложности NP.

Вопрос о равенстве или неравенстве классов сложности P и NP – это одна из центральных открытых проблем теории алгоритмов уже более четырех десятилетий. Если на него будет дан утвердительный ответ, это будет означать, что теоретически возможно решать многие сложные задачи существенно быстрее, чем сейчас. Проблема равенства классов P и NP является одной из нерешенных семи задач тысячелетия. Проблему равенства P = NP можно сформулировать в упрощенном виде следующим образом: если положительный ответ на какой-либо вопрос можно довольно быстро проверить за полиномиальное время, то правда ли, что ответ на этот вопрос можно довольно быстро найти также за полиномиальное время и используя полиномиальную память вычислительного устройства? Другими словами, действительно ли решение задачи проверить не легче, чем его отыскать? Проблема P NP до сих пор не решена [203].

228

Из строгого определения классов P и NP сразу вытекает следствие: P NP. Однако, до сих пор ничего не известно о строгости этого включения, другими словами, существует ли задача, лежащая в NP, но не лежащая в P. Если такой задачи не существует, то все задачи, принадлежащие классу NP, можно будет решать за полиномиальное время, что сулит огромные преимущества в скорости вычислений.

Еще один важный класс сложности иногда называют NP-трудный (-hard). Квалификация «-трудный» используется для указания того, что пример проблемы не менее трудно решить, чем любой другой пример в этой проблеме. Формально говорят, что проблема NP-трудная, если алгоритм для решения такой проблемы может быть эффективно перекодирован в алгоритм для решения любой проблемы в классе NP. Если проблема принадлежит одновременно к классам NP и NP-трудный, ее относят к классу сложности NP-полный (-complete). Грубо говоря, отнесение проблемы к классу NP-полный означает, что с высокой вероятностью не существует эффективный алгоритм для решения примеров в такой проблеме, будь то алгоритм классической или квантовой природы [204]. Сейчас самые сложные задачи из класса NP-полный можно решить лишь за экспоненциальное время, что считается неприемлемым с точки зрения вычислений на классическом компьютере.

Кроме проблем разрешимости есть еще одна важная категория – проблемы счетности (counting problems). Если проблема разрешимости может быть сформулирована как «Существует ли решение?», то проблема счетности формулируется в виде вопроса «Как много существует решений?». Из класса NP проблем вычленяется класс сложности проблем счетности, известный как класс #P («Sharp-P»). Класс сложности #P определяется приблизительно как совокупность проблем, в которых запрашивается число решений в примерах проблем и эти возможные решения могут быть эффективно проверены. Можно утверждать, что проблемы в классе #P также трудны, как и соответствующие проблемы в NP. Если есть возможность вычислить число возможных решений данной проблемы, тогда, как правило, можно определить существует или нет какое-либо решение.

Классы сложности P, NP и #P предполагают, что относящиеся к ним вычисления являются классическими. Другими словами, P – это класс проблем, решаемых эффективно на классическом компьютере, NP – это класс проблем, решения которых могут быть эффективно проверены на классическом компьютере, а #P – это класс проблем, число решений в которых счетное, а сами решения могут быть проверены на классическом компьютере.

229