Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

Сутью АВФ является обратное КПФ QFT† (рис. 17), выполняемое при считывании регистра и преобразуемое в | 2mφ | u .

Если фазу выразить в точности через m битов

значение фазы, следовательно, и собственного значения вычисляется с достоверностью, равной единице, при измерении на первой части квантового регистра.

Хуже, если фаза не может быть выражена в точности посредством m битов.

Втаком случае значение фазы записываем в виде

φ=φ +δ2−m ,

где φ =φ1φ2...φm это первые m значений бинарного разложения, а 0 ≤δ <1 его остаток. Наилучшие m-битовые оценки φ соответствуют либо φ (округлению снизу), либо φ +2−m (округлению сверху). Если вероятности измерения этих двух оценок обозначить Pdown и Pup , то можно показать [23], что сумма Pup + Pdown уменьшается монотонно с ростом m. Зависимость Pdown и Pup от величины δ при m = 20 показана на рис. 18.

Рис. 18. Зависимость вероятности измерения оценок округления снизу и сверху Pdown и Pup от величины δ при m = 20 [20].

200

В пределе m → ∞ нижняя граница суммы Pup + Pdown

Pup(δ =1/2) +Pdown (δ =1/2) =π42 +π42 >0.81.

Если нужный собственный вектор не известен в явном виде, что типично для квантово-химических расчетов, алгоритм вычисления фазы можно начать с произвольного начального вектора |ψ , который можно представить в виде разложения по собственным векторам оператора U :

|ψ =∑ci |ui .

i

Вероятность получить точное m-битовое представление фазы в результате линейности алгоритма вычисления фазы равна | ci |2 . Важно отметить, что

начальный выбор пробного собственного вектора не влияет на точность вычисления фазы, но влияет на вероятность, с которой фаза данного собственного состояния измеряется. Если φi не может быть представлена m

битами, то нижняя граница вероятности Pup + Pdown , соответствующая φi , равна

0.81 | ci |2 .

Взаключение отметим, что предложен и находит применение в квантовохимических расчетах итерационный алгоритм вычисления фазы [20]. Мы еще неоднократно воспользуемся АВФ в третьей части книги, посвященной квантово-химическим расчетам на квантовых компьютерах.

Вприводимом ниже списке литературы добавлены ссылки [24 – 33] на монографические публикации по квантовым вычислениям и квантовой информатике на русском и украинском языках.

201

Литература

1.E. Rieffel, W. Polak. Assoc. Comp. Mach., Computing Surveys, 32: 3 (2000);

Квантовые компьютеры и квантовые вычисления, 1, 4 (2000).

2.E. Rieffel, W. Polak. Quantum Computing. A Gentle Introduction. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 2011.

3.P. A. M. Dirac. The principles of quantum mechanics. London: The Clarendon Press, 1958.

4.Ю. А. Кругляк. Квантовая химия. Киев: 1963 – 1991. Одесса, ТЭС, 2016.

5.W. Diffie, M. E. Hellman. IEEE Trans. Inform. Theor., IT-22, 644 (1976).

6.C. H. Bennett, G. Brassard.

Proc. IEEE Intern. Conf. Comp., Systems, Signal Process., 175 (1984).

7.C. H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard et al. J. Cryptology, 5, 3 (1992).

8.Ю. И. Манин. Вычислимое и невычислимое. М.: Советское радио, 1980.

9.Yu. I. Manin. Mathematics as Metaphor: Selected Essays of Yu. Manin. American Mathematical Society, 2007.

10.R. Feynman. Simulating physics with computers,

Intern. J. Theor. Phys., 21, 467 (1982);

Моделирование физики на компьютерах,

Квантовый компьютер и квантовые вычисления, 2, 96 (1999).

11.R. Feynman. Quantum mechanical computers, Optics News, 11, 11 (1985); Quantum mechanical computers, Foundations of Physics, 16, 507 (1986);

Квантовомеханические ЭВМ, УФН, 149, 671 (1986); Квантовомеханические компьютеры,

Квантовый компьютер и квантовые вычисления, 2, 125 (1999).

12.R. Feynman. Feynman Lectures on Computation. New York: Addison-Wesley, 1996.

13.А. Bohm. Quantum Mechanics: Foundations and Applications. Berlin: Springer, 1979.

14.A. K. Ekert. Quantum cryptography based on Bell’s theorem,

Phys. Rev. Lett., 67, 661 (1991).

15.М. Нильсен, И. Чанг. Квантовые вычисления и квантовая информация.

Москва: Мир, 2006.

16.J. Fourier. Theorie analytique de la chaleur. Firmin Didot, 1822.

17.J. W. Cooley, J. W. Tukey. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Math. Comp., 19, 297 (1965).

18.D. Coppersmith. An approximate Fourier transform useful in quantum factoring,

Research Report RC 19642, IBM, 1994.

202

19.P. W. Shor. Algorithms for quantum computation: discrete log and factoring,

Proc. FOCS`94, 124 (1994).

20.L. Veis, J. Pittner. Quantum Computing Approach to Nonrelativistic and Relativistic Molecular Energy Calculations, In Advances in Chemical Physics, v. 154: Quantum Information and Computation for Chemistry, ed. S. Kais. New York: John Wiley & Sons, 2014.

21.P. W. Shor. Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer, SIAM J. Comput., 26, 1484 (1997).

22.R. B. Griffiths, C.-S. Niu. Semiclassical Fourier Transform for Quantum Computation, Phys. Rev. Lett., 76, 3228 (1996).

23.M. Dobsicek. Quantum Computing, Phase Estimation and Applications: https://arxiv.org/abs/0803.0909 (2008).

24.Д. Боумейстер, А. Экерт, А. Цайлингер. Физика квантовой информации. Москва: Постмаркет, 2002.

25.А. С. Холево. Введение в квантовую теорию информации.

Москва: МЦНМО, 2002.

26.О. В. Гомонай. Лекції з квантової інформатики. Вінниця: О. Власюк, 2006.

27.С. Д. Кулик, А. В. Берков, В. П. Яковлев. Введение в теорию квантовых вычислений (методы квантовой механики в кибернетике). Книга 1.

Москва: МИФИ, 2008.

28.С. Д. Кулик, А. В. Берков, В. П. Яковлев. Введение в теорию квантовых вычислений (методы квантовой механики в кибернетике). Книга 2.

Москва: МИФИ, 2008.

29.Дж. Прескилл. Квантовая информация и квантовые вычисления, т. 1.

Ижевск: РХД, 2008.

30.А. Ю. Хренников. Введение в квантовую теорию информации.

Москва: Физматлит, 2008.

31.В. М. Ткачук. Фундаментальні проблеми квантової механіки.

Львів: ЛНУ ім. Івана Франка, 2011.

32.С. П. Кулик. Физические основы квантовой информации.

Москва: МГУ, 2011: www.qopt.org/speckurs/quantinf/quantinf.htm.

33.А. С. Холево. Математические основы квантовой информатики.

Москва: МИАН, 2018.

203

204

Часть III. Квантовая химия на квантовых компьютерах Глава 7. Квантовая химия в начале эры квантовых компьютеров

7.1. Введение и краткий исторический экскурс

Практическая необходимость в моделировании квантовых систем на классических компьютерах, сначала механических типа арифмометров и рычажных вычислительных устройств, затем на аналогичных по принципу действия, но уже электрических, наконец, на электронных вычислительных машинах, была сразу признана единственно возможной в квантовой физике и квантовой химии сразу после открытия квантовой механики. Было предложено необъятное множество приближенных методов решения квантовых задач, однако, и поныне сложность квантовых задач во всей их полноте невозможно оценить и, по-видимому, даже формально определить.

Вопрос об использовании физических законов для проведения вычислений фактически еще недавно не стоял на повестке дня, поскольку во всех известных вычислительных устройствах использовались только лишь законы классической физики. Так было до 70 – 80-х годов XX-го столетия, когда Ю. Манин, Р. Фейнман, П. Венёф, Ч. Беннет и Д. Дойч не выдвинули идею об использовании квантовой механики для проведения вычислений. Естественно, сразу началось обсуждение возможности создания квантовых компьютеров как таких устройств, которые непосредственным образом использовали бы такие сугубо квантово-механические явления как суперпозиция и перепутанность состояний. Подобные устройства вычисляли бы не так, как это делают классические компьютеры: квантовые алгоритмы способны обеспечить экспоненциальное ускорение расчетов по сравнению с алгоритмами на классических вычислительных машинах. Это принципиально важно в теории электронного строения молекул, в квантовой химии в целом, как, впрочем, и во всей квантовой физике разнообразных многочастичных систем.

В этой главе мы предложим вашему вниманию обзор квантовых алгоритмов, существенных при решении квантово-химических задач, и завершим главу иллюстративным и вместе с тем достаточно подробным рассмотрением техники и результатов расчета молекулы водорода на квантовом компьютере [1]. В Приложении дадим аннотированную библиографию новейших исследований и квантово-химических расчетов на квантовых компьютерах по состоянию на 2020 год.

Сначала бегло о квантовых компьютерах. Это такие квантовые устройства, которые запускаются, в нужной степени контролируются и позволяют делать

205

измерения с целью выполнения вычислительных процессов. Существует множество физических возможностей для реализации квантовых вычислений и уже предложены разнообразные физические реализации квантовых компьютеров [2]. Наиболее перспективны для физической реализации кубитов ионы в ловушках [3 – 7] и сверхпроводящая архитектура [8 – 12], однако, надежды также связывают с фотонными кубитами [13 – 16], азотозамещенными вакансиями в алмазе [17 – 19], ЯМР-кубитами [20 – 22] и топологическими кубитами [23, 24]. В любом случае для физической реализации квантового компьютера требуется выделение и фиксирование в пространстве двухуровневых частиц-кубитов, на которые можно было бы в ходе вычислений избирательно воздействовать поодиночке или попарно и таким образом организовать их квантовую эволюцию, соответствующую выполняемому алгоритму [25].

Вопрос об использовании физических законов для проведения вычислений фактически еще недавно не стоял на повестке дня, поскольку во всех известных вычислительных устройствах использовались только лишь законы классической физики. Так было до 70 – 80-х годов XX-го столетия, когда Ю. Манин [26] и Р. Фейнман [27 – 29] выдвинули идею об использовании квантовой механики для проведения вычислений. Оба, независимо друг от друга, пришли к выводу, что моделирование квантово-механических законов на классических битовых компьютерах потребует ресурсов, возрастающих экспоненциально по мере роста числа параметров, от которых зависит решаемая задача, так что множество проблем, от решения которых фактически зависит будущее человечества оказываются не решаемыми (рис. 19), какие бы новые алгоритмы для битовых компьютеров не были предложены в будущем. Есть, конечно, немало квантово-механических задач, допускающих надежное моделирование: некоторые из них имеют просто аналитические решения, как в случае атома водорода, а другие имеют достаточно точные приближенные решения. Однако, моделирование некоторой произвольной квантовомеханической системы является задачей, принципиально не решаемой на битовых компьютерах. Квантовые компьютеры, как себе это представили Р. Фейнман и Ю. Манин, способны обеспечить экспоненциальный рост требуемых ресурсов вычислительного устройства. В тот же период П. Венёф [30] и Д. Дойч [31] в поисках ответа на и поныне стоящий вопрос «какие все же проблемы требуют для своего решения квантовых вычислений по сравнению с использованием наилучших из уже известных классических алгоритмов», предложили весьма абстрактные идеи проведения квантовых вычислений.

206

Рис. 19. Окружающий нас мир нуждается в квантовых технологиях.

Мотивированные поиском ответа на этот вопрос, в 90-е годы были предложены основные из ныне известных квантовых алгоритмов [32 – 38]. Наиболее полный обзор квантовых алгоритмов, разработанных до 2010 года, составлен Чаялдсом и ван Дамом [39].

В этой главе и далее мы рассмотрим те из известных квантовых алгоритмов, которые нашли применение в решении задач квантовой химии. В 1996 г. Ллойд [37], конкретизируя теоретическую концепцию Манина – Фейнмана, предложил метод как именно можно использовать квантовые компьютеры для эффективного моделирования динамики квантовых систем. Примерно в то же время Виснер [40] и Залка [41] предложили аналогичные подходы по применению квантовых компьютеров для моделирования динамики многочастичных систем.

В настоящее время все разнообразие методов использования квантовых компьютеров для моделирования квантовых систем известно под названием «моделирование гамильтонианов». В широком понимании под моделированием

207

гамильтониана H подразумевается эффективное и как можно более точное воспроизведение e−iHt посредством элементарных операций, выполняемых на квантовом компьютере. В сочетании моделирования гамильтониана с другой техникой, известной как квантовые алгоритмы вычисления фазы/КАВФ

(Quantum Phase Estimation Algorithms/QPEA) (§ 6.6) [42], открывается возможность вычисления собственных функций и собственных значений квантовых систем [38].

Первые квантовые алгоритмы, подходящие для квантовой химии, появились в конце 90-х. Среди них отметим алгоритмы, моделирующие гамильтонианы фермионных систем [43], и эффективные квантовые алгоритмы вычисления тепловых скоростей реакций [44]. Первое десятилетие 21 века ознаменовалось разработкой квантовых алгоритмов для квантовой химии с использованием КАВФ, например, алгоритмов для расчета спектров молекул [45, 46] с характерным экспоненциальным ускорением по сравнению с классическими компьютерами. Основная идея этих пионерских исследований заключалась в моделировании динамики молекулярных гамильтонианов с последующим применением КАВФ для вычисления собственных энергий. Именно эти две выдающиеся публикации породили лавину аналогичных расчетов в квантовой химии на квантовых компьютерах [47 – 50]. Уже сразу стало ясно, что практическая реализация этих алгоритмов требует использования масштабируемых квантовых компьютеров с коррекцией ошибок. Подобная перспектива поставила следующий вопрос: «Для решения каких именно задач пригодны доступные ныне квантовые компьютеры без коррекции ошибок?». О таких устройствах сейчас говорят как о промежуточных шумящих квантовых устройствах/ПШКУ (Noisy IntermediateScale Quantum devices/NISQ) [51], а постановка этого вопроса привела к разработке вариационных квантовых алгоритмов/ВКА (Variational Quantum Eigensolvers (Algorithms) /VQE, VQA). Если кратко, то ВКА используют гибридное сочетание квантового компьютера и классического компьютера, работающих в тандеме. В отличие от алгоритмов, основанных на КАВФ и требующих квантовых компьютеров для выполнения весьма длинных последовательностей различных операций, в случае ВКА квантовый компьютер выполняет лишь короткую последовательность операций, что существенно для нынешних, не достаточно мощных квантовых компьютеров.

Каждая операция в ВКА определяется параметрами, значения которых поставляются классическим компьютером. Таким образом, квантовый компьютер можно рассматривать как устройство, вычисляющее состояния

208

|ψ(θ ) , определяемые классическими параметрами θ . После вычисления состояний квантовый компьютер измеряет их в предварительно заданном орбитальном базисе. Так вычисляется, например, энергия основного состояния молекулярных гамильтонианов H [52]. Для каждого состояния измеряется среднее ψ(θ ) | H |ψ(θ ) , которое затем минимизируется на битовом компьютере

по параметрам θ . Перенесение части расчетов на классический компьютер делает ВКА более чем практической альтернативой КАВФ. Многие уже инсталлировали ВКА на различные квантовые компьютеры [52 – 59].

Упомянутые до сих пор квантовые алгоритмы используют стандартные модели квантовых схем (глава 5) и могут быть описаны в виде последовательности квантовых схем, манипулирующих квантовым состоянием в кубитовом регистре. Параллельно с развитием моделей квантовых схем предлагаются иные модели квантовых вычислений, пригодные для квантовохимических расчетов. Среди таковых упомянем адиабатические квантовые вычисления/АКВ (Adiabatic Quantum Computing/AQC) и бозонную модель вычислений/БМВ (Boson Sampling Model/BSM).

Модель АКВ опирается [60] на адиабатическую теорему в квантовой механике, сформулированную М. Борном и В.А. Фоком в 1928 г. в следующем виде: Физическая система остаётся в своём мгновенном собственном состоянии, если возмущение действует достаточно медленно и если это состояние отделено энергетической щелью от остального спектра гамильтониана. Другими словами, при достаточно медленном изменении внешних условий квантовая система адаптирует свою конфигурацию, однако, при быстром переходе, пространственная плотность вероятности остаётся неизменной. Пусть мы породили квантовую систему в основном состоянии некоторого гамильтониана H0 и медленно эволюционируем этот гамильтониан

в другой гамильтониан H1 посредством линейной интерполяции

H (s) = (1−s)H0 + sH1. s [0,1]

В предположении, что всегда существует щель между основным состоянием H (s) и его первым возбужденным состоянием, адиабатическая эволюция состояния системы должна завершиться близко к основному состоянию гамильтониана H1 . Модель АКВ предполагает инициализацию квантовой системы в соответствии с гамильтонианом H0 , основное состояние которого легко приготовить и подтвердить, и выбор H1 таким, что вычисление его

основного состояния потребует слишком больших машинных ресурсов. Были предприняты значительные усилия по реализации модели АКВ [61].

209