Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

выполняет измерение двукубитной системы относительно декомпозиции подпространств V = S1 S2 , где S1 это двумерное подпространство, порождаемое

{| 00 ,|11 }, S2 – подпространство, порождаемое {| 01 ,|10 }, так что оператор С

определяет равенство двух битов в стандартном базисе, как это описано в примере 4.3.5.

Если известна декомпозиция подпространств эрмитова оператора О, можно найти ортонормированный собственный базис пространства V этого оператора. Если у оператора О есть n различных собственных значений, что можно считать общим случаем, то собственный базис пространства V определяется однозначно. Если у оператора О меньше, чем n различных собственных значений, то некоторые из них связаны с более чем одномерным собственным пространством. Так или иначе, матрица эрмитова оператора О по отношению к этим собственным пространствам всегда диагональна. Любой эрмитов оператор О с собственными значениями λj представим в виде

попарного произведения O = ∑j λj Pj , где Pj – проекторы для собственного λj -пространства О.

170

Глава 5. Преобразование квантовых состояний

5.1. Введение

В последних двух главах обсуждались обработка информации в квантовых состояниях и некоторые уникальные квантовые свойства квантовой информации такие, как перепутанные состояния, пространство состояний экспоненциальной сложности, квантовые измерения. В этой главе рассмотрим основные процедуры вычисления квантовой информации, для чего прибегают к динамическим преобразованиям квантовых систем. Чтобы разобраться в квантовых вычислениях, нужно прежде всего понять какого рода динамические преобразования квантовых систем физика допускает, а какие нет. Мы будем рассматривать преобразования над замкнутыми квантовыми системами, преобразования, которые отображают пространство состояний квантовой системы на само себя. Измерение не является преобразованием в этом смысле. Известны преобразования более общего вида, например, преобразования подсистем, которые являются частью более общей системы.

Эта глава начинается с обсуждения понятия преобразования в целом, и лишь позже мы перейдем к преобразованиям множественных кубитных систем. Сначала обсудим требования унитарности, предъявляемые к преобразованиям квантовых состояний, и принцип невозможности клонирования. Ограничения, связанные с этим принципом, играют ключевую роль как в происхождении запретов, так и преимуществ кодирования квантовой информации. Так, именно принцип невозможности клонирования обеспечивает защищенность квантовых криптографических протоколов (§§ 2.5, 3.5), и он же при измерении n-кубитных систем ограничивает число найденных классических битов значением n.

После обсуждения преобразований квантовых систем в целом, в том числе и n-кубитных, далее пошагово строится стандартная модель квантовых операций при квантовых вычислениях. Все квантовые преобразования n-кубитных систем могут быть проведены в виде последовательности преобразований одно- и двукубитных подсистем. Некоторые преобразования квантовых систем могут быть реализованы посредством базовых вентилей этих подсистем проще, чем иные другие преобразования. Эффективность квантовых преобразований в целом определяется числом используемых одно- и двукубитных вентилей. Они подробно обсуждаются в § 5.3, рассматриваются их комбинации и графические образы для описания последовательности преобразований. В § 5.4 описаны применения этих простых вентилей к двум коммуникационным задачам – плотному кодированию и телепортации

171

квантового состояния. Следующий параграф посвящен демонстрации того, что любое квантовое преобразование может быть реализовано в виде последовательности одно- и двукубитных преобразований. В § 5.6 обсуждается конечный набор вентилей, универсально пригодных для реализации всех возможных квантовых преобразований. Глава заканчивается стандартной моделью квантовых операций при квантовых вычислениях.

5.2. Унитарные преобразования

Под квантовым преобразованием в нашем случае будем понимать отображение состояния квантовой системы на само себя. Измерения в этом смысле не являются квантовыми преобразованиями: при измерении число результатов измерения всегда конечно и любой результат измерения конкретного квантового состояния всегда носит вероятностный характер.

Квантовая механика, Природа, если хотите, не допускает произвольные преобразования квантовой системы. Физика требует такого поведения квантовых систем, чтобы были учтены свойства квантовых суперпозиций и самих актов измерения. Физически допустимые преобразования должны быть линейными преобразованиями векторного пространства, ассоциируемого с пространством состояний, при этом линейность означает, что для любого квантового преобразования U над суперпозицией

имеет место равенство

U(a1 |ψ1+a2 |ψ2 +... +ak |ψk ) =a1U |ψ1+a2 U |ψ2 +... +ak U |ψk .

Векторы единичной длины должны переходить в векторы единичной длины, что означает, что ортогональные подпространства переходят в ортогональные подпространства. Такие свойства гарантируют, что измеряя, а затем применяя к результату измерения преобразование, получим тот же результат как если бы сначала применили преобразование, а затем провели измерение в преобразованном, трансформированном базисе. Если более определенно, то вероятность получить результат U |φ сначала действуя оператором U на состояние |ψ , а затем выполняя измерение относительно декомпозиции U Si , будет такая же, как и вероятность получить U |φ измеряя сначала |ψ относительно декомпозиции Si , а затем действуя оператором U .

Это условие выполняется, если U не разрушает внутреннее произведение состояний |ψ и |φ : для любых двух состояний |ψ и |φ внутреннее произведение их отображений U |ψ и U |φ , полученных в результате действия

172

преобразования U , должно быть таким же, как и внутреннее произведение исходных состояний |ψ и |φ , а именно:

φ |U†U |ψ= φ |ψ .

В линейной алгебре доказывается, что это равенство выполняется для любых состояний |ψ и |φ , если только произведение U †U равно единичному оператору I :

U†U = I .

Другими словами, для любого квантового преобразования U сопряженное ему преобразование U † должно быть равно его обратному U −1 , а именно:

U† =U −1.

Такое линейное преобразование называется унитарным и соответствующая ему матрица квадратная. Последнее условие является не только необходимым, но и достаточным: набор разрешенных преобразований над квантовой системой есть в точности набор унитарных операторов в комплексном векторном пространстве, ассоциируемом с пространством состояний квантовой системы. Поскольку унитарные операторы сохраняют внутреннее произведение двух состояний в указанном выше смысле, они ортонормированный базис отображают в такой же ортонормированный базис. Справедливо и обратное утверждение: любое линейное преобразование, отображающее ортонормированный базис в такой же ортонормированный базис, является унитарным.

Геометрически, все преобразования квантового состояния оказываются вращениями комплексного векторного пространства, ассоциируемого с пространством квантового состояния. Столбцы и строки унитарной матрицы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. Произведение двух унитарных преобразований снова унитарно. Тензорное произведение

U1 U2 есть унитарное преобразование пространства X1 X2 , если U1 и U2 есть унитарные преобразования пространств X1 и X2 , соответственно. Линейная

комбинация унитарных операторов в общем случае, однако, не унитарна. Очевидным следствием условия унитарности является то обстоятельство,

что каждое преобразование квантового состояния обратимо. Однако, условие обратимости не налагает невыполнимо строгого ограничения на квантовые алгоритмы.

173

В стандартной модели квантовых схем, обсуждением которой мы завершим эту главу, все вычисления реализуются в виде квантовых преобразований, которые заканчиваются процедурой измерения для получения окончательного результата. Заметим, однако, что поскольку измерения изменяют квантовое состояние, то процедуры измерений могут быть также использованы для проведения вычислений.

Термины «квантовое преобразование» или «квантовый оператор» подразумевают унитарные операторы, действующие на пространство состояний, но не операторы измерений. Хотя измерения и моделируются операторами, но ход измерения не моделируется в виде прямого действия измеряющего эрмитова оператора на пространство состояний, а скорее в виде непрямой вероятностной процедуры, описанной постулатами измерений в § 4.5. Одним из наименее приемлемых аспектов квантовой теории является существование двух различных классов манипулирования квантовыми состояниями – квантовых преобразований и квантовых измерений. Тесная связь между ними обсуждается, например, в [2].

5.2.1. Недопустимые преобразования: невозможность клонирования

Обсудим сейчас простое и вместе с тем важное следствие унитарности – неизвестные квантовые состояния не могут быть копированы или клонированы. Фактически это утверждение вытекает из одной только линейности унитарных преобразований. Представим себе унитарное преобразование U , которое

Однако, если бы U был клонирующим оператором, то имело бы место

U(|c |0 ) =|c |c = 12 (|a |a +|a |b +|b |a +|b |b ),

что не совпадает с предыдущим результатом. Таким образом, не существует унитарного преобразования, которое могло бы достоверно клонировать все квантовые состояния.

Утверждение о невозможности клонирования свидетельствует о том, что

нет шанса достоверно клонировать заданное неизвестное квантовое состояние.

174

Это не мешает, однако, создать известное квантовое состояние из другого известного квантового состояния. Вполне возможно выполнить преобразование, которое окажется копированием состояния в одном базисе, но не будет таковым в других базисах. Например, возможно получить n частиц в перепутанном состоянии из неизвестного состояния a | 0 +b |1 . Однако, из последнего невозможно создать n-частичное состояние

(a | 0 +b |1 ) (a | 0 +b |1 ) (a | 0 +b |1 ) .

5.3. Некоторые простые квантовые вентили

Как и в классических вычислениях, в квантовых вычислениях оказывается возможным при выполнении их и при их анализе любые сложные вычисления представить в виде последовательности простых операций. Позже, в § 5.5 мы покажем, что преобразование любого квантового состояния n-кубитной системы можно реализовать в виде последовательности одно- и двукубитных квантовых преобразований. Любое квантовое преобразование, которое действует лишь на небольшое число кубитов, называют квантовым вентилем (quantum gate). Последовательность квантовых вентилей называют квантовой схемой (quantum circuit).

Влитературе по квантовой информатике вентили рассматривают как математические абстракции, удобные для описания и обсуждения квантовых алгоритмов. В отличие от классической информатики, квантовые вентили не обязательно соответствуют реальным физическим объектам. Поэтому квантовую вентильную терминологию и соответствующие ей графические образы не должно рассматривать слишком прямолинейно физически. При твердотельной или оптической реализации квантовых вычислений квантовые вентили могут оказаться реальными физическими вентилями, однако, при реализации вычислений посредством ЯМР или ионных ловушек кубитами оказываются частицы в стационарных состояниях, а вентилями будут операции над этими частицами с применением магнитных полей и лазерных импульсов.

Втаких реализациях квантовых вычислений вентили действуют на физические регистры кубитов.

Вприкладном отношении стандартное описание вычислений посредством одно- и двукубитных вентилей оставляет желать лучшего. В идеале хотелось бы провести все наши квантовые вычисления посредством вентилей, которые легко реализовать физически и которые надежны и очевидны, но до сих пор в этом смысле все же нет ясного представления. Более того, чтобы физически построить квантовый компьютер, способный реализовать произвольные

175

квантовые преобразования, было бы удобно иметь конечное число вентилей, обеспечивающих выполнение всех и любых унитарных преобразований. К сожалению, предложить такой конечный набор вентилей невозможно: существует несчетно много квантовых преобразований, а конечный набор генераторов способен породить лишь счетное число состояний. И тем не менее, как будет показано в § 5.6, возможно сформировать конечный самодостаточный набор вентилей для реализации всех мыслимых унитарных преобразований. Число таких наборов вентилей известно, однако, до сих пор неясно какие из этих наборов предпочтительны с точки зрения физической реализации квантовых вычислений. При анализе квантовых алгоритмов с точки зрения их эффективности хорошо бы остановиться на неком стандартном наборе вентилей. Такой используемый нами стандартный набор вентилей, включающий в себя все однокубитные вентили и определенные двукубитные, описан в § 5.3.3.

Для описания последовательности преобразований квантовых систем и для анализа квантовых алгоритмов используются графические обозначения воздействия квантовых преобразований на различные комбинации кубитов. Простые преобразования графически представляются ячейками, должным образом помеченными и связанными между собой в более сложные квантовые схемы. Пример такого графического представления показан на рис. 11.

Рис. 11. Пример графического представления трех кубитов, над которыми совершаются четыре квантовых преобразования в последовательности слева – направо.

Каждая горизонтальная линия соответствует одному кубиту. Преобразования выполняются слева направо. Ячейки, обозначенные U0 ,U1,U3 ,

соответствуют однокубитным преобразованиям, а ячейка U2 отвечает

двукубитному преобразованию. Когда речь идет о воздействии оператора U на кубит i n-кубитной квантовой системы, подразумевается, что оператор действует на всю систему, где I есть единичный однокубитный оператор, действующий на все остальные кубиты n-кубитной

системы кроме i-го.

176

В классическом компьютере преобразование информации осуществляется логическими вентилями. Вентиль преобразовывает состояние входных битов в другое состояние соответственно так называемой таблице истинности. Простейший нетривиальный логический вентиль – это вентиль NOT, однобитный вентиль, который осуществляет отрицание входного бита: 0 заменяет на 1 и наоборот. При помощи классических вентилей NOT, AND, OR (рис. 12) можно построить схему для вычисления любой булевой функции.

Рис. 12. Классические вентили AND, OR, NOT.

Далее обсуждаются часто используемые квантовые вентили.

5.3.1. Преобразования Паули

Преобразования Паули относятся к наиболее часто используемым однокубитным преобразованиям:

где I – оператор идентичности (тождественное преобразование), X – оператор отрицания (вентиль NOT), оператор Z изменяет относительную фазу суперпозиции в стандартном базисе (операция поворота фазы), Y = Z X есть комбинация отрицания и поворота фазы. При графическом изображении квантовые вентили обозначаются соответствующими буквами, например,

В литературе имеет место некоторый разнобой в обозначении и формулировке паулевских вентилей. Вентиль Y иногда определяют как

а его действие на суперпозицию квантовых состояний будет таким:

,

но основное расхождение возникает при использовании −i (| 0 1| −|1 0 |) вместо принятого нами Y =| 0 1| −|1 0 |. Оператор iY эрмитов, что является его полезным свойством, если, например, мы хотим его использовать для измерений. Иногда для вентилей Паули используются обозначения σx ,σy ,σz ,

принятые в квантовой механике для спиновых матриц Паули, реже используются обозначения σx = X , σy = −iY , σz = Z .

Вообще же, существует бесконечно много однокубитных вентилей. Все они могут быть образованы из операции поворота

и операции сдвига фазы

Еще одно важное однокубитное преобразование это преобразование Адамара

178

Преобразование Адамара имеет множество важных приложений. Когда оно применяется к состоянию | 0 , оно производит равномерную суперпозицию двух состояний | 0 и |1 . Если мы имеем регистр из n кубитов, то применяя преобразование Адамара к каждому из кубитов индивидуально, мы получим суперпозицию всех 2n состояний, которые могут быть представлены как бинарное представление чисел от 0 до 2n – 1:

(H H H ) | 00...0 = 12n ((| 0+|1 ) (| 0+|1 ) (| 0+|1 ))= 12n ∑2xn=−01| x .

Таким образом, при помощи линейного числа операций, посредством n применений преобразования Адамара мы можем образовать регистр состояний, содержащий экспоненциально большое число различных компонент. Другими словами, используя квантовый регистр, n элементарных операций образуют состояние, содержащее все 2n возможных различных численных значений регистра. Сравните, в классическом регистре n элементарных операций могут подготовить только одно состояние, представляющее только одно конкретное число.

5.3.3. CNOT и другие одиночно контролирующие двукубитные вентили

Как уже упоминалось, при помощи классических логических вентилей NOT, AND, OR (или даже только NOT, AND) можно построить схему для вычисления любой булевой функции, поскольку такой набор вентилей составляет полный базис. Однако, классические вентили AND, OR (рис. 12) являются необратимыми булевскими операциями. Невозможно по выходному значению вентиля восстановить, каково было входное значение – информация становится необратимо потерянной в результате работы вентиля. При обратимых вентилях, булевых функциях, операциях и вычислениях в выходном значении всегда содержится достаточно информации, чтобы однозначно восстановить входное значение. Именно только такие вентили и операции допускаются в квантовых вычислениях из-за условия обратимости эволюции в квантовой физике.

Квантовый вентиль CNOT (Controlled NOT, Cnot, XOR) действует в стандартном базисе для двукубитной системы с | 0 и |1 , воспринимаемыми как классические биты, следующим образом: он изменяет значение второго кубита, если значение первого кубита равно 1, и оставляет второй кубит неизменным в противном случае. Преобразование CNOT представимо следующим образом:

Cnot =|0 0| I +|1 1| X =|0 0| (|0 0| +|1 1|) +|1 1| (|1 0| +|0 1|) =

=|00 00| +|01 01| +|11 10| +|10 11|,

179