Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

краткости, называют проекторами. Для любой декомпозиции прямой суммы

Пример 4.3.1. Пусть проектор | 0 0 | действует на одиночный кубит в состоянии |ψ = a | 0 +b |1 , в результате чего получается компонента |ψ в подпространстве, сгенерированном | 0 : (| 0 0 |) |ψ = a | 0 0 | 0 +b | 0 0 |1 = a | 0 .

Проектор |1 | 0 1| 0 | действует на двукубитные состояния. Пусть

|φ =a00 |00 +a01 |01 +a10 |10 +a11 |11 .

Тогда

(|1 | 0 1| 0 |) |φ =

= a00 |1 | 0 1| 0 | 00 +a01 |1 | 0 1| 0 | 01 +a10 |1 | 0 1| 0 |10 +a11 |1 | 0 1| 0 |11 = a10 |1 | 0 ,

оператор, проектирующий |ψ на (ненормированный) вектор a00 | 00 +a01 | 01 .

160

Пусть даны V и W – два векторных пространства с определенным внутренним произведением. Сопряженный (сопряжено транспонированный) оператор O† :V →W по отношению к оператору O :W →V определяется как оператор, удовлетворяющий следующему внутреннему произведению: для любых v V и O w W внутреннее произведение между O†v и w такое же, как и между v и O w :

O†v w =v O w.

Матрица оператора O† , сопряженного по отношению к оператору O , получается из матрицы оператора O путем ее транспонирования и комплексного сопряжения ее элементов. Вспомним из § 2.3, что по отношению к вектору | x его комплексно сопряженным является вектор x |. Опираясь на матричное представление операторов, приведенное в § 4.2, и векторов,

( x |O) | w = x |(O | w ) = x |O | w .

Из определения оператора проектирования следует, что применение его много раз подряд приводит к тому же результату, что и при однократном применении: PP = P . Более того, любой проекционный оператор совпадает со своим сопряженным: P = P† . Из этого следует, что для любого проекционного оператора P и всех | v V имеют место равенства

| P |v |2 =( v | P†)(P |v ) = v | P |v .

Для надежности в понимании свойств проекционных операторов и дираковских обозначений выполним измерение одиночного кубита.

Пример 4.3.3. Формальное описание измерения одиночного кубита в стандартном базисе.

Пусть одиночный кубит соотнесен с векторным пространством V . Декомпозиция прямой суммы векторного пространства V , ассоциированного с измерением в стандартном базисе, есть V = S S′, где S есть подпространство, порождаемое вектором | 0 , а S′ – порождаемое вектором |1 . Соответствующими проекторами являются P :V → S и P′:V → S′, где P =| 0 0 | и

161

вероятностью | a |2 . Аналогичные выкладки показывают, что состояние |1 получается с вероятностью | b |2 .

Прежде чем приводить примеры, иллюстрирующие более важные измерения, разберем измерение двукубитного состояния по отношению к полной декомпозиции со стандартным базисом.

Пример 4.3.4. Измерение двукубитного состояния по отношению к полной

162

Наиболее важны измерения, которые дают информацию о соотношении между кубитами, не предоставляя при этом сведения о величинах самих кубитов. Такие измерения широко используются в квантовых схемах коррекции ошибок.

Пример 4.3.5. Измерение двукубитного состояния в стандартном базисе с

одинаковы, а S2 – подпространство, порождаемое {| 01 ,|10 }, в котором два бита разные. Пусть P1 и P2 – проекторы на S1 и S2 , соответственно. Когда система в

выходе окажется первое состояние, то значения двух битов одинаковые, то ли оба 0 или оба 1. Если же получится второе состояние, то значения битов разные и мы не знаем, какой из них 0, а какой 1. Таким образом, выполненное измерение не позволяет определить значения битов, а лишь выяснить, что они одинаковы или же нет.

Приведенный пример с двукубитным состоянием обобщается на n-кубитные системы.

Прежде чем переходить к формализму эрмитовских операторов для измерений, приведем еще один полезный пример, в котором подпространства не порождаются комбинациями стандартных базисных элементов.

Пример 4.3.6. Измерение двукубитного состояния по отношению к декомпозиции белловского базиса. Вспомним (§ 3.3) белловские состояния

Аналогичным образом измерим состояния | 01 , |10 , |11 в этой декомпозиции и получим окончательное выражение для двукубитного состояния в общем виде.

Далее рассмотрим стандартный формализм, используемый в квантовой механике для выполнения квантовых измерений.

4.4. Формализм эрмитовских операторов для измерений

Пусть O :V →V будет линейным оператором. Вспомним из линейной алгебры, что если O v = λv для некоторого ненулевого вектора v V , тогда λ есть собственное значение, а v – собственный вектор оператора O . Если оба v и w есть собственные λ -векторы оператора O , тогда v + w также является λ -вектором, так что набор всех λ -векторов образует подпространство в V , называемое собственным λ -пространством оператора O . Для оператора, представимого в форме диагональной матрицы, собственными значениями являются числа на диагонали.

Оператор называют эрмитовым, если он совпадает со своим сопряженным:

т. е. λ = λ : все собственные значения эрмитового оператора действительны. Для установления связи между эрмитовыми операторами и

декомпозициями ортогональных подпространств нужно показать, что подпространства Sλ1 , Sλ2 ,..., Sλk эрмитового оператора ортогональны и

удовлетворяют Sλ1 Sλ2 ... Sλk =V . Для любого оператора двум его различным собственным значениям соответствуют непересекающиеся собственные

эрмитового оператора собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, должны быть ортогональны. Пусть | v есть собственный λ -вектор, а | w – собственный µ -вектор с λ ≠ µ. Тогда

λ v | w = ( v | O† ) | w = v | (O | w ) = µ v | w .

Поскольку λ и µ различны, то v | w = 0 . Таким образом, Sλi и Sλj ортогональны при λi ≠ λj .

164

Пример 4.4.1. Покажите, что прямая сумма всех собственных пространств эрмитового оператора O :V →V и есть его всё собственное пространство V .

Помним, что унитарный оператор U удовлетворяет U †U = I , где I – единичный оператор.

а. Покажите, что столбцы унитарной матрицы U образуют ортонормированный набор.

б. Покажите, что если O эрмитов, то U OU −1 для любого унитарного оператора U также эрмитов.

в. Покажите, что любой оператор имеет по крайней мере одно собственное значение λ и собственный λ -вектор vλ .

г. Воспользовавшись предыдущим результатом, покажите, что для любой матрицы A :V →V существует унитарный оператор U такой, что матрица U OU −1 является верхней треугольной (все элементы ниже главной диагонали нулевые).

представить как декомпозицию собственного пространства эрмитового оператора O :V →V . Пусть Pi будут проекторами на подпространства Si , а

λ1,λ2 ,...,λk будет набором различных действительных чисел, тогда

O =∑ik=1λiPi

будет эрмитовым оператором с нужной декомпозицией прямых сумм. Таким образом, при выполнении измерения вместо непосредственного использования декомпозиции подпространств можно взять эрмитов оператор, декомпозиция подпространств которого совпадает с нужной декомпозицией.

Любой эрмитов оператор с соответствующей декомпозицией прямых сумм можно использовать для нужного измерения; кстати, значения собственных чисел λi несущественны, если только они все различны. Значения λi могут быть

простыми числами, как ярлычки, такими, чтобы служить лишь для

165

распознавания соответствующих подпространств, или иначе, для различения результатов измерений. В квантовой физике эти числа используются для идентификации значений, принимаемых некоторым свойством системы, например, энергией, соответственно данному собственному состоянию. Для наших целей нет нужды приписывать этим ярлычкам какой-либо смысл: достаточно, чтобы собственные значения λi были просто все различимы.

Выполнение измерений посредством эрмитовых операторов является стандартной процедурой, пронизывающей всю квантовую механику и квантовую информатику. Важно, однако, понимать, что квантовое измерение моделируется не действием эрмитового оператора на состояние системы. На состояние системы действуют проекционные операторы Pi , связанные с

эрмитовым оператором O , а не сам оператор O . Какой именно проектор

(Пример 4.3.3)

однако, измерением это действие назвать нельзя. Прямое умножение эрмитового оператора на интересующее нас состояние может привести к бессмысленному результату, как например, при умножении

Эрмитов оператор в чем-то напоминает «бухгалтерский гроссбух», хранящий декомпозицию всех подпространств, связанных с процедурой измерения.

4.5.Постулаты измерений

Виспользуемой нами стандартной версии квантовой механики не все величины (свойства, состояния) могут быть наблюдаемы непосредственно, напрямую. Например, задавшись на входе (в эксперимент) неизвестным

однокубитным состоянием a | 0 +b |1 , нет возможности экспериментально определить, в каком состоянии находится кубит: невозможно непосредственно, напрямую определить квантовое состояние кубита (§ 2.4). Мы можем экспериментально наблюдать только лишь результаты измерений. Вот

166

фактически почему эрмитовы операторы, используемые для измерений, иначе называются наблюдаемыми.

Постулаты измерений в квантовой механике сводятся к следующим утверждениям:

•Любое квантовое измерение предопределяется некоторым эрмитовым оператором O , называемым наблюдаемым;

образом, состояние после измерения есть собственный вектор оператора O единичной длины, соответствующий собственному значению λi .

Нам должно быть ясно, что перечисленные утверждения являются всего лишь математическим формализмом измерений. Эти постулаты ничего не говорят нам, каким образом измерения реализовать на практике, насколько измерения эффективны и т. п. Некоторые измерения могут допускать математически простое описание, однако, неясно как именно их можно реализовать. Более того, наблюдаемые значения в реальных экспериментах могут иметь физический смысл, например, значения координаты или энергия частицы, однако, в нашем математически формализованном рассмотрении собственные значения оператора это просто ярлычки, используемые для идентификации и сортировки результатов измерений.

Несмотря на то, что эрмитов оператор однозначно, единственным образом определяет декомпозицию подпространств, для заданной декомпозиции подпространств существует много эрмитовых операторов. В частности, поскольку собственные значения оператора служат просто ярлычками для подпространств или возможных результатов измерений, конкретные величины собственных значений несущественны, лишь бы они были все различными. Например, измерения с помощью эрмитова оператора приводят к тем же состояниям и с теми же вероятностями, что и измерения с помощью 82 | 0 0 | −82 |1 1|, но полученные результаты измерений не согласуются с

167

результатами измерений, соответствующих эрмитову оператору | 0 0 | + |1 1|

или 43 | 0 0 | + 43 |1 1|.

Пример 4.5.1. Формализм эрмитовых операторов при измерении одиночного кубита в стандартном базисе. Вернемся к примеру 4.3.3 по измерению одиночного кубита в стандартном базисе и построим эрмитов оператор для

S′ – порождаемое вектором |1 . Соответствующими проекторами являются P :V → S и P′:V → S′, где P =| 0 0 | и P′=|1 1|. Поскольку эрмитов оператор есть сумма попарных произведений собственных значений оператора на соответствующие проекторы (§ 4.4), для построения оператора для этого измерения выберем два произвольных, но различных числа, например, λ = 2 и λ′= −3. Тогда оператор

будет эрмитовым оператором, измеряющим одиночный кубит в стандартном базисе.

Для собственных значений λ и λ′ можно было бы использовать два других любых числа, лишь бы они отличались друг от друга. Для измерения одиночного кубита в стандартном базисе мы будем пользоваться проектором

Пример 4.5.2. Формализм эрмитовых операторов при измерении одиночного кубита в адамаровском базисе. Мы хотим построить эрмитов оператор, соответствующий измерению одиночного кубита в базисе Адамара {| +,| −}. Подпространства в этом случае – это S+ , генерируемое вектором | + , и S− , генерируемое вектором | − , с соответствующими проекторами

P+ =| + +| = 12 (|0 0 | +|0 1| +|1 0 | +|1 1|)

и

P− =| − −| = 12 (|0 0 | −|0 1| −|1 0 | +|1 1|) .

168

Мы свободны в выборе собственных значений λ+ и λ− , лишь бы они были различными. Примем λ+ =1 и λ− = −1, тогда эрмитовым оператором для измерения одиночного кубита в базисе Адамара будет

Декомпозиция собственного пространства оператора А включает четыре подпространства, генерируемые его четырьмя стандартными базисными векторами | 00 ,| 01 ,|10 ,|11 . Оператор А – это пример одного из многих эрмитовых операторов, выполняющих измерение относительно декомпозиции полного стандартного базиса, использованного в примере 4.3.4. Вот еще один пример подобного оператора

A′=73|00 00| +50|01 01| −3|10 10| +23|11 11|.

Пример 4.5.4. Эрмитов оператор

выполняет измерение двукубитной системы относительно декомпозиции подпространств V = S1 S2 , где S1 это двумерное подпространство, растянутое

на {| 00 ,| 01 }, а S2 – на {|10 ,|11 }, так что оператор В измеряет первый кубит в

стандартном базисе, как это описано в примере 3.4.3. Пример 4.5.5. Эрмитов оператор