Основы квантовой механики
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
А.А. БЕРЗИН, В.Г. МОРОЗОВ
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Учебное пособие
Москва – 2004
3
Введение
Квантовая механика появилась сто лет назад и оформилась в стройную физическую теорию примерно к 1930 году. В настоящее время она считается фундаментом наших знаний об окружающем мире. Довольно долго применение квантовой механики к прикладным задачам ограничивалось ядерной энергетикой (по большей части военной). Однако после того, как в 1948 году был изобретен транзистор
— один из основных элементов полупроводниковой электроники, а в конце 1950-х годов был создан лазер — квантовый генератор света, стало ясно, что открытия в квантовой физике имеют огромный практический потенциал и серьезное знакомство с этой наукой необходимо не только для профессиональных физиков, но и для представителей других специальностей — химиков, инженеров и даже биологов.
Поскольку квантовая механика все больше стала приобретать черты не только фундаментальной, но и прикладной науки, возникла проблема обучения ее основам студентов нефизических специальностей. С некоторыми квантовыми идеями студент впервые знакомится в курсе общей физики, но, как правило, это знакомство ограничивается не более чем случайными фактами и их сильно упрощенными объяснениями. С другой стороны, полный курс квантовой механики, читаемый на физических факультетах университетов, явно избыточен для тех, кто хотел бы приложить свои знания не к раскрытию тайн природы, а к решению технических и других практических задач. Трудность “адаптации” курса квантовой механики к потребностям обучения студентов прикладных специальностей была замечена давно и до сих пор полностью не преодолена, несмотря на многочисленные попытки создания “переходных” курсов, ориентированных на практические применения квантовых законов. Связано это со спецификой самой квантовой механики. Вопервых, для понимания квантовой механики от студента требуется основательное знание классической физики: механики Ньютона, классической теории электромагнетизма, специальной теории относительности, оптики и т.д. Во-вторых, в квантовой механике для правильного описания явлений в микромире приходится жертвовать наглядностью. Классическая физика оперирует более или менее наглядными понятиями; их связь с экспериментом относительно проста. Иное положение в квантовой механике. Как отметил Л.Д. Ландау, внесший значительный вклад в создание квантовой механики, “необходимо понять то, что мы уже не можем себе вообразить”. Обычно трудности при изучении квантовой механики принято объяснять ее довольно абстрактным математическим аппаратом, применение которого неизбежно из-за потери наглядности понятий и законов. Действительно, чтобы научиться решать квантовомеханические задачи, надо знать дифференциальные уравнения, достаточно свободно обращаться с комплексными числами, а также уметь делать многое другое. Все это, впрочем, не выходит за рамки математической подготовки студента современного технического вуза. Настоящая трудность квантовой механики связана не только и даже не столько с математикой. Дело в том, что выводы квантовой механики, как и любой физической теории, должны предсказывать и объяснять реальные эксперименты, поэтому нужно научиться связывать абстрактные математические конструкции с измеряемыми физическими величинами и наблюдаемыми явлениями. Вырабатывается это умение каждым человеком индивидуально, в основном, путем самостоятельного решения задач и осмысления результатов. Еще Ньютон заметил: “при изучении наук примеры часто важнее правил”. В отношении квантовой механики эти слова содержат большую долю истины.
4
Предлагаемое читателю пособие основано на многолетней практике чтения в МИРЭА курса “Физика 4”, посвященного основам квантовой механики, студентам всех специальностей факультетов электроники и РТС и студентам тех специальностей факультета кибернетики, где физика относится к основным учебным дисциплинам. Содержание пособия и изложение материала обусловлены рядом объективных и субъективных обстоятельств. Прежде всего необходимо было учесть, что курс “Физика 4” рассчитан на один семестр. Поэтому из всех разделов современной квантовой механики отобраны те, которые непосредственно связаны с электроникой и квантовой оптикой — наиболее перспективными областями применения квантовой механики. Однако, в отличие от курсов общей физики и прикладных технических дисциплин, мы стремились изложить эти разделы в рамках единого и достаточно современного подхода с учетом возможностей студентов для его усвоения. Объем пособия превышает содержание лекций и практических занятий, так как в курсе “Физика 4” предусмотрено выполнение студентами курсовых работ или индивидуальных заданий, которые требуют самостоятельного изучения вопросов, не включенных в план лекций. Изложение этих вопросов в учебниках по квантовой механике, ориентированных на студентов физических факультетов университетов, часто превышает уровень подготовки студента технического вуза. Таким образом, настоящее пособие может быть использовано как источник материала для курсовых работ и индивидуальных заданий.
Важной частью пособия являются упражнения. Некоторые из них приводятся непосредственно в тексте, остальные помещены в конце каждого параграфа. Многие упражнения снабжены указаниями для читателя. В связи с отмеченной выше “необычностью” понятий и методов квантовой механики выполнение упражнений следует рассматривать как совершенно необходимый элемент изучения курса.
1.Физические истоки квантовой теории
1.1.Явления, противоречащие классической физике
Начнем с краткого обзора явлений, которые не смогла объяснить классическая физика и которые привели, в конце концов, к возникновению квантовой теории.
Спектр равновесного излучения черного тела. Напомним, что в физике
черным телом (часто говорят — “абсолютно черным телом”) называется тело, которое полностью поглощает падающее на него электромагнитное излучение любой частоты.
Абсолютно черное тело является, конечно, идеализированной моделью, однако ее можно реализовать с высокой точностью с помощью простого устройства
— замкнутой полости с малым отверстием, внутренние стенки которой покрыты веществом, хорошо поглощающим электромагнитное излучение, например, сажей (см. Рис. 1.1.). Если температура стенок T поддерживается постоянной, то в конце концов установится тепловое равновесие между веществом стенок
Рис. 1.1. и электромагнитным излучением в полости. Одной из проблем, которую активно обсуждали физики в конце XIX века, была такая: как распределена энергия равновесного излучения по
5
частотам? Количественно это распределение описывается спектральной плотностью энергии излучения uω. Произведение uω dω есть энергия электромагнитных волн в единице объема с частотами в интервале от ω до ω + dω. Спектральную плотность энергии можно измерить, анализируя спектр излучения из отверстия полости, изображенной на Рис. 1.1. Экспериментальная зависимость uω для двух значений температуры приведена на Рис. 1.2. С ростом температуры максимум кривой смещается в сторону высоких частот и при достаточно высокой температуре частота ωm может достигнуть области видимого глазом излучения. Тело начнет светиться, причем с дальнейшим ростом температуры цвет тела будет меняться от красного к фиолетовому.
Пока мы говорили об экспериментальных данных. Интерес к спектру излучения черного тела был вызван тем, что функция uω может быть точно вычислена методами классической статистической физики и электромагнитной теории Максвелла. Согласно классической статистической физике, в тепловом равновесии энергия любой системы распределяется равномерно по всем степеням свободы (теорема Больцмана). Каждая независимая степень свободы поля излучения — электромагнитная волна с определенной поляризацией и частотой. По теореме Больцмана средняя энергия такой волны в тепловом равновесии при температуре T равна k BT , где k B = 1, 38 · 10−23 Дж/K — постоянная Больцмана. Поэтому
uω dω = k BT (ω) dω, |
(1.1) |
где (ω) dω — число различных типов электромагнитных волн (в единице объема) с частотами в интервале от ω до ω + dω. Вычислить (ω) нетрудно, но мы здесь не будем отвлекаться на это упражнение. Приведем окончательный результат:
(ω) = |
ω2 |
, |
(1.2) |
|
π2c3 |
||||
|
|
|
где c — скорость света. Итак, классическое выражение для равновесной спектральной плотности излучения имеет вид
uω = |
k BT ω2 |
. |
(1.3) |
|
π2c3 |
||||
|
|
|
Эта формула есть знаменитая формула Рэлея-Джинса. В классической физике она является точной и, в то же время, абсурдной. В самом деле, согласно ей, в тепловом равновесии при любой температуре имеются электромагнитные волны сколь угодно высоких частот (т. е. ультрафиолетовое излучение, рентгеновское излучение и даже смертельное для человека гамма-излучение), причем, чем выше частота излучения, тем больше энергии на него приходится. Очевидное противоречие между классической теорией равновесного излучения и экспериментом получило в физической литературе эмоциональное название — ультрафиолетовая
6
катастрофа. Отметим, что известный английский физик лорд Кельвин, подводя итоги развития физики в XIX веке, назвал задачу о равновесном тепловом излучении одной из главных нерешенных проблем.
Фотоэффект. Другим “слабым местом” классической физики оказался фотоэффект — выбивание электронов из вещества под действием света. Совершенно непонятным было то, что кинетическая энергия электронов не зависит от интенсивности света, которая пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля
всветовой волне и равна среднему потоку энергии, падающему на вещество. С другой стороны, энергия вылетающих электронов существенно зависит от частоты света и линейно растет с ростом частоты. Это также невозможно объяснить
врамках классической электродинамики, поскольку поток энергии электромагнитной волны, согласно теории Максвелла, не зависит от ее частоты и полностью определяется амплитудой. Наконец, эксперимент показывал, что для каждого вещества существует так называемая красная граница фотоэффекта, т. е. минималь-
ная частота ωmin, при которой начинается выбивание электронов. Если ω < ωmin, то свет с частотой ω не выбьет ни одного электрона, независимо от интенсивности.
Эффект Комптона. Еще одно явление, которое не могла объяснить классическая физика, было открыто в 1923 году американским физиком А. Комптоном. Он обнаружил, что при рассеянии электромагнитного излучения (в рентгеновском диапазоне частот) на свободных электронах частота рассеянного излучения оказывается меньше, чем частота падающего излучения. Этот экспериментальный факт противоречит классической электродинамике, согласно которой частоты падающего и рассеянного излучения должны быть в точности равны. Чтобы убедиться в сказанном, не нужна сложная математика. Достаточно вспомнить классический механизм рассеяния электромагнитной волны заряженными частицами. Схема
|
|
|
|
|
|
рассуждений примерно такова. Переменное электрическое поле E(t) = E0 sin ωt |
|||||
|
|
|
|
|
|
падающей волны действует на каждый электрон силой F (t) = −eE(t), где −e — |
|||||
1 |
. |
|
|
(me |
— масса |
заряд электрона |
Электрон приобретает ускорение a(t) = F (t)/me |
||||
электрона), которое изменяется со временем с той же частотой ω, что и поле в падающей волне. Согласно классической электродинамике, заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны. Это и есть рассеянное излучение. Если ускорение изменяется со временем по гармоническому закону с частотой ω, то излучаются волны с той же частотой. Появление рассеянных волн с частотами меньшими, чем частота падающего излучения, явно противоречит классической электродинамике.
Устойчивость атомов. В 1912 году произошло очень важное для всего дальнейшего развития естественных наук событие — была выяснена структура атома. Английский физик Э. Резерфорд, проводя эксперименты по рассеянию α-частиц в веществе, установил, что положительный заряд и практически вся масса атома сосредоточены в ядре с размерами порядка 10−12 — 10−13 см. Размеры ядра оказались ничтожно малы по сравнению с размерами самого атома (примерно 10−8 см.). Для объяснения результатов своих экспериментов Резерфорд выдвинул гипотезу, что атом устроен аналогично солнечной системе: легкие электроны движутся по орбитам вокруг массивного ядра подобно тому, как планеты движутся вокруг Солнца. Силой, удерживающей электроны на орбитах, является сила кулоновского притяжения ядра. На первый взгляд такая “планетарная модель” кажется весьма
1Символом e везде обозначается положительный элементарный заряд e = 1, 602 · 10−19 Кл.
7
привлекательной: она наглядна, проста и вполне согласуется с экспериментальными результатами Резерфорда. Более того, на основе этой модели легко оценить энергию ионизации атома водорода, содержащего всего один электрон. Оценка дает неплохое согласие с экспериментальным значением энергии ионизации. К сожалению, понимаемая буквально, планетарная модель атома имеет неприятный недостаток. Дело в том, что с точки зрения классической электродинамики такой атом просто не может существовать; он нестабилен. Причина этого довольно проста: электрон движется по орбите с ускорением. Даже если величина скорости электрона не меняется, все равно есть ускорение, направленное к ядру (нормальное или “центростремительное” ускорение). Но, как уже отмечалось выше, заряд, движущийся с ускорением, должен излучать электромагнитные волны. Эти волны уносят энергию, поэтому энергия электрона убывает. Радиус его орбиты уменьшается и в конце концов электрон должен упасть на ядро. Простые вычисления, которые мы не будем приводить, показывают, что характерное “время жизни” электрона на орбите составляет примерно 10−8 секунд. Таким образом, классическая физика не способна объяснить устойчивость атомов.
Приведенные примеры не исчерпывают всех трудностей, с которыми встретилась классическая физика на рубеже XIX и XX веков. Другие явления, где ее выводы противоречит эксперименту, мы рассмотрим позже, когда будет развит аппарат квантовой механики и мы сможем сразу же дать правильное объяснение. Постепенно накапливаясь, противоречия между теорией и экспериментальными данными привели к осознанию того, что с классической физикой “не все в порядке” и необходимы совершенно новые идеи.
1.2. Гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора
В декабре 2000 года исполнилось сто лет квантовой теории. Эту дату связывают с работой Макса Планка, в которой он предложил решение проблемы равновесного теплового излучения. Для простоты Планк выбрал в качестве модели вещества стенок полости (см. Рис. 1.1.) систему заряженных осцилляторов, т. е. частиц, способных совершать гармонические колебания около положения равновесия. Если ω — собственная частота колебаний осциллятора, то он способен излучать и поглощать электромагнитные волны той же частоты. Пусть стенки полости на Рис. 1.1. содержат осцилляторы со всевозможными собственными частотами. Тогда, после установления теплового равновесия, средняя энергия, приходящаяся на электромагнитную волну с частотой ω, должна быть равна средней энергии осциллятора E ω с той же собственной частотой колебаний. Вспоминая рассуждения, приведенные на стр. 5, запишем равновесную спектральная плотность излучения в таком виде:
|
ω2 |
(1.4) |
uω = |
π2c3 E ω . |
Итак, задача сводится к вычислению средней энергии осциллятора в тепловом равновесии при температуре T . Планк заметил, что можно получить функцию uω, которая согласуется с экспериментом (см. Рис. 1.2.), если предположить, что энергия осциллятора E может принимать не любые значения, как в классической механике, а лишь значения, кратные некоторому кванту энергии1 ε:
E = nε, n = 0, 1, 2, . . . . |
(1.5) |
1На латыни слово “quantum” буквально означает “порция” или “кусок”.
8
В свою очередь, квант энергии пропорционален частоте осциллятора:
ε = ω, |
(1.6) |
где теперь называется постоянной Планка и считается одной из фундаментальных мировых постоянных. По современным данным она равна
|
1, 0545887 |
· |
10−34 |
Дж · |
c. |
(1.7) |
= |
|
|
|
Некоторые люди предпочитают использовать вместо циклической частоты ω так называемую линейную частоту ν = ω/2π, которая равна числу колебаний за секунду. Тогда выражение (1.6) для кванта энергии можно записать в виде
ε = h ν. |
(1.8) |
Величина h = 2π 6, 626176 · 10−34 Дж · с также называется постоянной Планка1.
=
Исходя из предположения о квантовании энергии осциллятора, Планк получил для спектральной плотности равновесного излучения следующее выражение2:
uω |
= |
ω2 |
|
ω |
|
. |
(1.9) |
|
|
|
|
||||
|
π2c3 |
|
e ω/kBT |
− 1 |
|
||
В области низких частот ( ω kBT ) формула Планка практически совпадает с формулой Релея-Джинса (1.3), а на высоких частотах ( ω kBT ) спектральная плотность излучения, в соответствии с экспериментом, быстро стремится к нулю.
1.3.Гипотеза Эйнштейна о квантах электромагнитного поля
Хотя гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора “не вписывается” в классическую механику, ее можно было трактовать в том смысле, что, по-видимому, механизм взаимодействия света с веществом таков, что энергия излучения поглощается и испускается только порциями, величина которых дается формулой (1.5). В 1900 году о строении атомов практически ничего не было известно, поэтому сама по себе гипотеза Планка еще не означала полный отказ от классических законов. Более радикальную гипотезу высказал в 1905 году Альберт Эйнштейн. Анализируя закономерности фотоэффекта, он показал, что все они естественным образом объясняются, если принять, что свет определенной частоты ω состоит из отдельных частиц (фотонов), обладающих энергией
Eф = ω |
, |
(1.10) |
и что при взаимодействии с веществом могут поглощаться и излучаться лишь целые фотоны. Тогда для максимальной кинетической энергии Eкин фотоэлектронов получается формула
Eкин = ω − Aвых, |
(1.11) |
1Иногда, чтобы подчеркнуть, какая именно постоянная Планка имеется в виду, называют “перечеркнутой постоянной Планка”.
2Теперь это выражение называется формулой Планка.
9
где Aвых — работа выхода, т. е. энергия, необходимая для преодоления сил, удерживающих электрон в веществе1. Зависимость энергии фотоэлектронов от частоты света, описываемая формулой (1.11), прекрасно согласовывалась с экспериментальной зависимостью, причем величина в этой формуле оказалась очень близка к значению (1.7). Отметим, что, приняв гипотезу фотонов, можно было объяснить и закономерности равновесного теплового излучения. Действительно, поглощение и излучение веществом энергии электромагнитного поля происходит квантамиω потому, что поглощаются и испускаются отдельные фотоны, имеющие именно такую энергию.
1.4.Импульс фотона
Введение представления о фотонах в какой-то степени возрождало корпускулярную теорию света. То, что фотон — “настоящая” частица, подтверждает анализ эффекта Комптона. С точки зрения фотонной теории рассеяние рентгеновских лучей можно представить как индивидуальные акты столкновений фотонов с электронами (см. Рис. 1.3.), в которых должны выполняться законы сохранения энергии и импульса.
Закон сохранения энергии в этом процессе имеет вид
Eф + Eэл = Eф + Eэл, |
(1.12) |
|
где Eф и Eэл |
— значения энергии фотона и |
|
электрона до столкновения, а штрихованные |
||
величины относятся к частицам после столк- |
||
новения. |
|
|
В эффекте Комптона электроны после |
||
столкновения |
движутся со |
скоростями, |
соизмеримыми со скоростью света, поэтому |
|
|
|
|||||
выражение для энергии электрона нужно |
Рис. 1.3. |
|
|
|||||
брать в релятивистском виде, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eэл = mec2, |
Eэл = |
|
|
, |
|
|
(1.13) |
|
me2c4 + p2c2 |
|
|
||||||
где p — величина импульса электрона после столкновения с фотоном, а m |
e |
— масса |
||||||
|
|
|
|
|
||||
электрона. Закон сохранения энергии в эффекте Комптона выглядит так: |
||||||||
ω + mec2 = ω + |
|
. |
|
|
(1.14) |
|||
me2c4 + p2c2 |
|
|
||||||
Между прочим, отсюда сразу видно, что ω < ω; это наблюдается и в эксперименте. Чтобы записать закон сохранения импульса в эффекте Комптона, необходимо найти выражение для импульса фотона. Это можно сделать на основе следующих простых рассуждений. Фотон всегда движется со скоростью света c, но, как известно из теории относительности, частица, движущаяся со скоростью света, должна
иметь нулевую массу. Таким образом, из общего выражения для релятивистской
энергии E = m2c4 + p2c2 следует, что энергия и импульс фотона связаны соотношением E = pc. Вспоминая формулу (1.10), получаем
pф = |
ω |
. |
(1.15) |
|
|||
|
c |
|
|
1Подчеркнем, что в формуле (1.11) Eкин — максимальная энергия электронов, так как некоторые электроны могут отдать часть энергии, полученной от фотона, другим частицам вещества.
10
Это выражение часто записывается в другой форме. Из электродинамики известно, что для света ω = 2πc/λ, где λ — длина волны. Поэтому
pф = |
2π |
. |
(1.16) |
|
|||
|
λ |
|
|
Введем волновой вектор , который направлен в сторону распространения элек- k
тромагнитного излучения и имеет величину1 k = 2π/λ. Тогда из (1.16) следует выражение для импульса фотона
|
(1.17) |
pф = k . |
Теперь закон сохранения импульса в эффекте Комптона можно записать в виде
|
|
|
+ p. |
(1.18) |
k = |
k |
|
Решение системы уравнений (1.12) и (1.18), которое мы оставляем читателю (см. упражнение 1.2.), приводит к следующей формуле для изменения длины волны рассеянного излучения ∆λ = λ − λ:
∆λ = λC (1 − cos ϑ) , |
(1.19) |
|||
где ϑ — угол рассеяния, показанный на Рис. 1.3. Величина |
|
|||
λC = |
2π |
|
(1.20) |
|
mc |
||||
|
|
|||
называется комптоновской длиной волны частицы (массы m), на которой происходит рассеяние излучения. Если m = me = 0, 911 · 10−30 кг — масса электрона, то λC = 0, 0243 · 10−10 м. Результаты измерений ∆λ, проведенных Комптоном, а затем многими другими экспериментаторами, полностью согласуются с предсказаниями формулы (1.19), причем значение постоянной Планка, которая входит в выражение (1.20), совпадает со значениями, полученными из экспериментов по равновесному тепловому излучению и фотоэффекту.
После появления фотонной теории света и ее успехов в объяснении ряда явлений возникла странная ситуация. В самом деле, попробуем ответить на вопрос: что же такое свет? С одной стороны, в фотоэффекте и эффекте Комптона он ведет себя как поток частиц — фотонов, но, с другой стороны, явления интерференции и дифракции столь же упорно показывают, что свет — электромагнитные волны. На основе “макроскопического” опыта мы знаем, что частица — это объект, имеющий конечные размеры и движущийся по определенной траектории, а волна заполняет область пространства, т. е. является непрерывным объектом. Как совместить эти две взаимно исключающие точки зрения на одну и ту же физическую реальность — электромагнитное излучение? Парадокс “волна–частица” (или, как предпочитают говорить философы, корпускулярно-волновой дуализм) для света был объяснен лишь в квантовой механике. Мы вернемся к нему после того, как познакомимся с основами этой науки.
1Напомним, что модуль волнового вектора называется волновым числом.
11
Упражнения
1.1.Используя формулу Эйнштейна (1.11), объяснить существование красной границывещества.ωmin для фотоэффекта. Выразить ωmin через работу выхода электрона из
1.2.Вывести выражение (1.19) для изменения длины волны излучения в эффекте Комптона.
Указание: Разделив равенство (1.14) на c и используя соотношение между волновым числом и частотой (k = ω/c), запишем
p2 + m2e c2 = (k − k ) + mec.
После возведения в квадрат обеих частей, получим
p2 = 2 k2 + k 2 − 2kk + 2 mec (k − k ) . |
(1.21) |
||
Квадрат импульса электрона можно также найти из (1.18): |
|
||
p2 = 2 |
k − k 2 |
= 2 k2 + k 2 − 2kk cos ϑ , |
(1.22) |
где ϑ — угол рассеяния, показанный на Рис. 1.3. Приравняв правые части (1.21) и (1.22), приходим к равенству
mec (k − k ) = kk (1 − cos ϑ) .
Остается умножить это равенство на 2π, разделить на meckk и перейти от волновых чисел к длинам волн (2π/k = λ).
2.Квантование энергии атома. Волновые свойства микрочастиц
2.1.Теория атома Бора
Прежде чем перейти непосредственно к изучению квантовой механики в ее современном виде, мы кратко обсудим первую попытку применить идею Планка о квантовании к проблеме строения атома. Речь пойдет о теории атома, предложенной в 1913 году Нильсом Бором. Основная цель, которую ставил перед собой Бор, состояла в том, чтобы объяснить удивительно простую закономерность в спектре излучения атома водорода, которую сформулировал Ритц в 1908 году в виде так называемого комбинационного принципа. Согласно этому принципу, частоты всех линий в спектре водорода можно представить как разности некоторых величин T (n) (“термов”), последовательность которых выражается через целые числа:
T (n) = |
R |
, n = 1, 2, 3, . . . |
(2.1) |
|
n2 |
||||
|
|
|
Величина R называется постоянной Ридберга (в честь шведского оптика Ридберга) и, по современным данным, равна
R = 2, 0670687 · 1016 c−1. |
(2.2) |