Основы квантовой механики

44

В обеих частях последнего равенства заменим i на −i, т. е. перейдем к комплексно сопряженному равенству. Учтем при этом, что An — действительное число, и

воспользуемся равенством (4.6). Поскольку оператор ˆ эрмитовый (напомним, что

A

он соответствует физической величине), т. е. ˆ† ˆ, то после всех преобразований

A = A

равенство (5.5) превращается в

ˆ dV = A ψ ψ dV.

ψnA ψm n n m

Наконец, вычитая это равенство из (5.4), находим, что

Это свойство собственных функций физических величин играет важную роль в квантовой механике, поэтому обсудим его подробнее. В математике интеграл вида

называется скалярным произведением функций F1 и F2. На первый взгляд такое название кажется несколько странным1, однако оно вводится не случайно. Дело в том, что в некотором смысле множество функций F (x, y, z) можно рассматривать как бесконечномерное векторное пространство. Значение функции в каждой точке является аналогом проекции вектора. Подобно тому, как сумма обычных

векторов имеет проекции, равные сумме проекций слагаемых, элемент функ-

A+B

ционального пространства F1 + F2 является функцией, значение которой в каждой точке равно сумме значений F1 и F2. Интересно, что для функций выполняются все аксиомы векторной алгебры, если подходящим образом определить понятия, введенные для обычных векторов. В частности, выражение (5.7) является естествен-

То, что в скалярном произведении функций (5.7) одна из них берется комплексно сопряженной, необходимо для того, чтобы величина

которая называется нормой функции и является аналогом квадрата модуля вектора, была действительной и положительной. В квантовой механике для описания состояний используется векторное пространство волновых функций, норма которых равна единице [см. (2.25)].

1В элементарной математике скалярное произведение вводится для векторов в обычном пространстве. Там оно имеет простой геометрический смысл.

45

В дальнейшем будет удобно использовать принятое в квантовой механике сокращенное обозначение для скалярного произведения функций:

Приведем также простые, но важные свойства скалярного произведения функций, проверку которых оставляем читателю:

Здесь c1 и c2 — произвольные комплексные числа.

Аналогия между векторами и квантовыми состояниями оказалась весьма плодотворной. На ее основе Поль Дирак в 1930 году построил наиболее красивый и мощный математический аппарат квантовой механики. В дальнейшем некоторые основные элементы этого аппарата нам придется использовать, так как квантовые состояния не всегда можно задать волновыми функциями1, в то время как метод Дирака работает при любом описании квантовых состояний.

Вернемся к свойству (5.6) собственных функций любой физической величины. В векторной алгебре равенство нулю скалярного произведения векторов означает, что эти векторы ортогональны друг к другу. Следуя аналогии между пространством обычных векторов и пространством волновых функций, результат (5.6) можно сформулировать так:

•Собственные функции, которые относятся к различным собственным значениям физической величины, ортогональны друг к другу.

Уравнение (5.1) для собственных функций некоторой физической величины может иметь несколько независимых решений для одного и того же собственного значения. В таких случаях говорят, что собственное значение вырождено.

•Число линейно независимых собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению, называется кратностью вырождения этого собственного значения.

Если собственное значение вырождено, то соответствующие ему линейно независимые собственные функции, которые находятся при явном решении уравнения (5.1), не обязательно ортогональны друг к другу. Однако всегда можно составить такие линейные комбинации этих функций, которые уже будут взаимно ортогональны.

1Например, квантовое состояние фотона невозможно описать с помощью волновой функции.

46

Пусть, например, собственному значению An соответствуют K линейно независимых нормированных (но не обязательно взаимно ортогональных) собственных функций ϕnα, α = 1, 2, . . . , K. Покажем, как можно построить из них K взаимно ортогональных функций ψnα. Рассмотрим две функции

где C и a — пока неизвестные комплексные числа. Потребуем, чтобы выполнялось равенство ψn1|ψn2 = 0. Пишем

ψn1|ψn2 = C ϕn1|ϕn2 − a ϕn1 = C ϕn1|ϕn2 − a = 0 .

Отсюда находим

a = ϕn1|ϕn2 .

При таком выборе a волновые функции (5.14) ортогональны друг к другу. Постоянную C найдем из условия, чтобы волновая функция ψn2 была нормирована на единицу. Вычисляя ψn2|ψn2 с учетом свойств (5.11) – (5.13) скалярного произведения, получим

C = 1 .

1 − |a|2

Теперь идея построения следующей волновой функции ψn3 понятна. Ищем ее в виде

ψn3 = C (ϕn3 − a1ψn1 − a2ψn2) .

Коэффициенты a1 и a2 находятся из условий, чтобы ψn3 была ортогональна ψn1 и ψn2, а постоянная C находится из условия нормировки. Процедура “ортогонализации” продолжается до тех пор, пока не получится набор ортонормированных

функций {ψnα}.

В дальнейшем мы часто будем предполагать, что такая операция проведена для каждого вырожденного собственного значения и, следовательно, все собственные функции физической величины ортогональны друг к другу1.

5.4.Разложение волновых функций по собственным функциям динамических переменных

Рассмотрим еще одно важное свойство собственных функций физических величин. Пусть {ψn} — совокупность всех собственных функций некоторой физической величины A. Как и раньше, будем предполагать, что собственные значения этой величины An образует дискретный спектр. Мы можем также считать, что функции {ψn} образуют ортонормированную систему функций:

Здесь δmn — так называемый символ Кронекера: δmn = 1, если m = n, и δmn = 0, если m = n.

1Отметим, что выбор взаимно ортогональных волновых функций, относящихся к вырожденному собственному значению, неоднозначен (см. упражнение 5.2.).

47

Как известно, в собственном состоянии ψn физическая величина имеет точно определенное значение An. Если же состояние частицы описывается линейной комбинацией (суперпозицией) состояний

то многократные измерения физической величины A будут давать различные собственные значения An с некоторыми вероятностями, причем будут появляться только те значения, которые соответствуют волновым функциям ψn, входящим в выражение (5.16). В произвольном квантовом состоянии Ψ измерения могут давать любые возможные значения физической величины, поэтому в общем случае суперпозиция (5.16) включает все собственные функции ψn. Обобщая приведенные выше соображения, можно сформулировать один из важнейших постулатов квантовой механики1:

• Произвольная волновая функция частицы Ψ(r, t) может быть представлена

где ψn — собственные функции любой динамической переменной A, а коэффициенты an(t) — комплексные величины, которые могут зависеть от времени.

Формула (5.17) выглядит очень привлекательной. В самом деле, решив задачу на собственные функции некоторой физической величины, мы можем описывать изменение любого квантового состояния с помощью функций an(t), зависящих лишь от одной переменной, — времени. Эта возможность широко используется. Именно благодаря ей решение многих задач в квантовой механике оказывается гораздо более простым, чем в классической механике. Дело в том, что довольно часто из всего ряда (5.17) можно оставить лишь несколько “главных” членов и пренебречь остальными, вклад которых мал по тем или иным физическим причинам. Тогда квантовое состояние будет описываться всего несколькими функциями an(t). В дальнейшем будет показано, как из уравнения Шредингера можно вывести для этих функций относительно простую систему линейных уравнений.

Предположим, что волновая функция представлена в виде ряда (5.17), и выясним физический смысл коэффициентов разложения an(t). Вычислим сначала интеграл от квадрата модуля |Ψ|2, используя (5.17) (аргумент t опускаем для краткости):

Ψ|Ψ = aman ψm|ψn .

mn

Согласно (5.10) и (5.15), из этого равенства следует, что

n

1Здесь мы приводим этот постулат в применении к одной частице, однако он справедлив и для квантовых состояний многочастичных систем.

48

Теперь вычислим среднее значение физической величины A в состоянии (5.17).

Поскольку оператор ˆ (как и оператор любой физической величины) линейный и,

A

кроме того, ψn — его собственные функции, находим, что

Используя теперь общее правило для вычисления средних значений, запишем

Чтобы осмыслить равенства (5.18) и (5.19), предположим сначала, что все собственные значения An не вырождены, и вспомним некоторые сведения из теории вероятностей. Пусть многократные измерении физической величины A в состоянии Ψ в момент времени t дают значения An с вероятностями wn(t). Сумма этих вероятностей равна единице1. Кроме того, арифметическое среднее из большого числа измерений случайной величины равно сумме всех ее возможных значений на соответствующие вероятности. Поэтому

Сравнивая эти равенства с (5.18) и (5.19), мы видим, что

•Квадрат модуля |an(t)|2 коэффициента an(t) в разложении (5.17) волновой функции по ортонормированной системе собственных функций физической величины A с невырожденными собственными значениями есть вероятность того, что измерение этой физической величины в момент t даст значение An.

Вквантовой механике коэффициенты an(t) обычно называют амплитудами вероятности для состояния Ψ(t).

На амплитуды вероятности an(t) можно взглянуть с другой точки зрения:

•Квадрат модуля |an(t)|2 коэффициента an(t) в разложении (5.17) волновой функции по ортонормированной системе собственных функций физической величины A есть вероятность того, что в момент t частица находится в квантовом состоянии ψn.

Отметим, что последнее утверждение справедливо и в случае, когда некоторые собственные значения вырождены (доказательство оставляем читателю).

1Сумма всех wn есть вероятность достоверного события — получения какого-нибудь значения физической величины A.

49

Для того, чтобы использовать разложение волновой функции (5.17) в конкретных задачах, нужно уметь вычислять амплитуды вероятности an(t) для произвольной волновой функции Ψ. Покажем, что это не сложнее, чем вычислять интегралы. Итак, пусть Ψ известна. Умножим слева обе части равенства (5.17) на ψm (m — произвольный фиксированный индекс) и проинтегрируем по всей области движения частицы. Используя обозначение (5.9) для скалярного произведения функций,

Так как система функций {ψn} ортонормирована, то в правой части останется только один член с m = n. Поэтому мы приходим к правилу

С его помощью разложение (5.17) волновой функции можно записать в таком виде:

n

5.5.Собственные функции нескольких динамических переменных

Рассмотрим следующий вопрос: могут ли две динамические переменные иметь общие собственные функции? На физическом языке вопрос звучит так: существуют ли такие квантовые состояния, в которых динамические переменные A и B одновременно имеют точные значения? Покажем, что необходимым условием для

Подействуем на обе части (5.22) оператором ˆ, на обе части (5.23) — оператором

B

ˆ, а затем вычтем первое полученное равенство из второго. В результате получим

A

тировать, так как ψnk не является произвольной волновой функцией. Вспомним. однако, что любую волновую функцию можно представить в виде ряда по собственным функциям [формула (5.17)]. В данном случае в качестве системы функций возьмем {ψnk}. Тогда

ˆ ˆ − ˆ ˆ ˆ ˆ − ˆ ˆ

AB BA Ψ = ank AB BA ψnk = 0,

n,k

50

что и требовалось доказать. Итак, если две физические величины имеют общие собственные функции, то их операторы коммутируют. Можно доказать и обратное утверждение1: если операторы физических величин коммутируют, то эти физические величины имеют общую систему собственных функций. Сформулируем итог наших рассуждений:

•Необходимым и достаточным условием того, что две физические величины A и B имеют общую систему собственных функций, является равенство нулю

коммутатора ˆ ˆ .

[A, B]

Если мы рассмотрим несколько физических величин A1, A2, . . ., то нетрудно сообразить, что они имеют общую систему собственных функций, если для любой пары

то волновые функции стационарных состояний ψnk можно выбрать такими, что

где En — уровни энергии. Может случиться так, что нескольким различным индексам k1, k2, . . . соответствует одно и то же значение энергии. Тогда уровень энергии будет вырожденным, поскольку ему соответствуют несколько линейно независимых собственных функций ψnk1 , ψnk2 , . . ., т. е. несколько различных квантовых

состояний. Между прочим, наличие динамических переменных, операторы которых коммутируют с гамильтонианом, является типичной причиной вырождения уровней энергии квантовых систем.

5.6.Непрерывный спектр значений физических величин. Дельта-функция Дирака

До сих пор всюду предполагалось, что собственные значения образуют дискретный спектр. Однако для многих физических величин это не так и их собственные значения (т. е. возможные результаты измерения) непрерывно заполняют некоторый интервал. Собственные функции ψA(r ) такой величины нумеруются непрерывным индексом A, который совпадает с собственным значением физической величины. Переход во всех соотношениях от дискретного спектра к непрерывному означает фактически переход от суммирования по дискретному индексу n, который нумеровал собственные значения An, к интегрированию по непрерывной переменной A. В частности, разложение (5.17) произвольной волновой функции по собственным функциям физической величины принимает такой вид:

1Его доказательство несколько сложнее и мы его опустим.