Основы квантовой механики

63

Это уравнение будет справедливо при любых x, y, z, только если каждый из первых трех членов будет равен некоторой постоянной1. Таким образом, (6.21) разбивается на три независимых уравнения

причем постоянные E1, E2, E3 связаны с E следующим соотношением:

Так как функция (6.20) должна обращаться в нуль на стенках ямы, то функции φi должны удовлетворять граничным условиям

Заметим, что каждое из уравнений (6.22) совпадает с уравнением Шредингера для одномерной потенциальной ямы. Поэтому можно сразу записать уровни энергии и соответствующие собственные функции в трехмерном случае. Из (6.9) и (6.23) следует, что уровни энергии имеют вид сумм

Cобственные функции гамильтониана нумеруются тремя индексами (квантовыми числами) n1, n2, n3. Эти же квантовые числа определяют и уровни энергии. Некоторые из уровней могут быть вырождены. Это случится, если для разных наборов квантовых чисел в формуле (6.25) сумма в скобках будет иметь одинаковое значение.

1Действительно, первый член в левой части (6.21) зависит только от переменной x, второй — только от y, третий — только от z. Каждая из переменных меняется независимо от остальных, поэтому сумма этих членов постоянна лишь в том случае, когда каждый член — постоянная величина.

65

Только такие собственные функции имеют физический смысл и описывают стационарные состояния осциллятора. Значения E, при которых существуют решения, удовлетворяющие граничным условиям (6.32), определяют спектр энергии осциллятора.

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора хорошо изучено, поэтому применим стандартный способ его решения. Для исследования уравнения (6.31) удобно перейти к безразмерной переменной ξ:

Выясним сначала, как ведет себя ψ, если |ξ| → ∞. При больших значениях ξ2 можно, в главном приближении, отбросить второй член в уравнении (6.35), так

Ясно, что решение exp {ξ2/2} нефизическое (плотность вероятности неограниченно растет при удалении от положения равновесия осциллятора), поэтому его нужно отбросить.

Чтобы явно выделить в ψ ее главную зависимость от ξ при |ξ| → ∞, сделаем в уравнении (6.35) подстановку

где f (ξ) — новая неизвестная функция. Подставляя (6.36) в (6.35), после простых вычислений производных получаем уравнение

Штрихом обозначено дифференцирование по ξ. В принципе, функция f (ξ) может стремиться к бесконечности при |ξ| → ∞, но не быстрее, чем экспонента, чтобы ψ стремилась к нулю [см. формулу (6.36)].

66

Уравнение (6.37) было известно и подробно изучено математиками еще в XIX веке. Стандартный путь исследования этого уравнения таков. Будем искать функцию f (ξ) в виде ряда Тейлора по степеням ξ:

В первой сумме зануляются слагаемые с k = 0 и k = 1, поэтому, не меняя суммы, можно сделать сдвиг индекса суммирования k → k + 2. Тогда все три суммы объединяются в одну и мы приходим к уравнению

∞ (k + 2)(k + 1) ak+2 − 2(k − n) ak ξk = 0.

k=0

Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках при каждом k, получаем так называемое рекуррентное соотношение между коэффициентами ak:

Из этого соотношения видно, что существуют два независимых решения. Одно дается рядом (6.38) с четными степенями k, а другое — таким же рядом, но с нечетными k. Коэффициенты a0 и a1 могут быть выбраны произвольно1. Если параметр n в формуле (6.39) — произвольное действительное число, то ряд (6.38) содержит бесконечное число членов. С помощью рекуррентного соотношения (6.39) можно оценить (оставляем это читателю в качестве упражнения), что при больших k = 2m или k = 2m + 1 коэффициенты ak примерно равны 1/m!. Таким образом, при больших значениях |ξ| формула (6.38) практически совпадает с рядом Тейлора для функции exp(ξ2). Это означает, что оба независимых решения уравнения (6.37) при |ξ| → ∞ ведут себя как exp(ξ2) и, следовательно, сама волновая функция (6.36) стремится не к нулю, а к бесконечности. Иначе говоря, при произвольном значении параметра n мы получаем нефизические решения стационарного уравнения Шредингера.

Заметим, однако, что если параметр n равен нулю или целому положительному числу, то ряд (6.38) обрывается при k = n и функция f (ξ) в выражении (6.36) представляет собой полином степени n. Тогда волновая функция ψ(ξ) стремится к нулю при |ξ| → ∞. Итак, мы приходим к заключению, что решения уравнения (6.37), обладающие нужным поведением на бесконечности, существуют лишь при целых неотрицательных значениях параметра n (включая нулевое значение)

1Уравнение (6.37) — однородное, поэтому его решение определяется с точностью до произвольного множителя. Роль этого множителя играет коэффициент a0 или коэффициент a1.

69

проверить, что волновая функция основного состояния осциллятора ψ0(x) удовлетворяет условию нормировки (6.44).

6.8. Найти энергетический спектр и собственные функции гамильтониана для изотропного трехмерного осциллятора, потенциальная энергия которого имеет вид

Указание: В данном случае стационарное уравнение Шредингера допускает разделение переменных, т. е. его решение можно искать в виде произведения ψ(x, y, z) = φ1(x)φ2(y)φ3(z). Показать, что нахождение функций φi сводится к решению уравнения Шредингера для одномерного гармонического осциллятора.

7.Движение частиц через потенциальный барьер

Квантование энергии — не единственное удивительное явление, которое отличает поведение микрочастиц от поведения макроскопических тел. Мы обсудим теперь еще один чисто квантовый эффект, играющий важную роль в ядерной физике, в физике твердого тела и электронике.

7.1.Потенциальная стенка

Рассмотрим одномерное движение микрочастиц в потенциальном поле U (x), которое изображено на Рис. 7.1.

Рис. 7.1. Потенциальная стенка: а) реальная; б) стенка с бесконечно узкой переходной областью.

Поле такого вида обычно называется “потенциальной стенкой”. Потенциальная энергия возрастает от U = 0 при x → −∞ до U = U0 при x → +∞. Для заряженных микрочастиц потенциальная стенка возникает в случае, когда вдоль оси x приложено электрическое напряжение. Для упрощения математики мы в дальнейшем будем использовать модель потенциальной стенки с бесконечно узкой переходной областью (Рис. 7.1б.).

Предположим, что частица движется к потенциальной стенке слева направо. В классической механике поведение частицы легко предсказать. Если ее начальная энергия E меньше высоты стенки U0, то частица упруго отразится от стенки

70

и затем будет двигаться в обратном направлении со той же скоростью. Если же E > U0, то частица будет двигаться в прежнем направлении, но скорость ее станет меньше. Рассмотрим, что произойдет с частицей, если движение описывается квантовыми законами.

Сначала сформулируем задачу, исходя из физических соображений. Предположим, что слева на стенку падает стационарный поток частиц с плотностью jпад. Эта величина может быть экспериментально измерена: она равно числу частиц, проходящих за 1 секунду через площадку единичной площади в направлении стенки. Состояние частицы, движущейся к стенке, описывается волновой функцией

где A1 — постоянная амплитуда, E — энергия частицы. Как уже неоднократно обсуждалось, величина |Ψ1|2 = |A1|2 равна плотности вероятности обнаружить частицу в точке x. В данном случае частицы, движущиеся к стенке, свободны, поэтому |Ψ1|2 не зависит от x. Если на стенку непрерывно падает пучок частиц, то, согласно общим принципам теории вероятностей, величина |Ψ1|2 пропорциональна концентрации частиц nпад в пучке. Выберем коэффициент A1 так, чтобы

выполнялось равенство |A1|2 = nпад. Плотность потока частиц равна произведению скорости частиц v = p/m = k/m на их концентрацию. Поэтому

Кроме частиц, движущихся к потенциальной стенке, в области x < 0 могут быть зарегистрированы частицы, отраженные стенкой. Состояние отраженной частицы описывается волновой функцией

Согласно принципу суперпозиции квантовых состояний, до регистрации частица в области x < 0 имеет волновую функцию, равную сумме функций (7.1) и (7.3), т. е.

Величиной, которую можно измерить экспериментально, является коэффициент отражения

который равен доле числа частиц, отраженных стенкой. По отношению к одной частице R есть вероятность того, что частица отразится от стенки. Из определения коэффициента отражения ясно, что 0 ≤ R ≤ 1.

71

Перейдем теперь к области x > 0. Энергия частицы по-прежнему равна E, поэтому волновая функция должна иметь вид

Так как в области x > 0 частица находится в поле U (x) = U0, то ψ(x) удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера

Как уже отмечалось, в квантовой механике волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны в любой точке. В рассматриваемой задаче в областях x < 0 и x > 0 частица описывается разными волновыми функциями: (7.5) и (7.7). Поэтому мы должны потребовать, чтобы в точке x = 0 совпадали значения этих функций и значения их первых производных. Мы приходим к граничным условиям

где ψ (x) — первая производная производная ψ по x. Итак, для полного описания процесса прохождения частиц через потенциальную стенку нужно найти такое решение уравнения Шредингера (7.8), которое удовлетворяет граничным условиям (7.9).

Случай E > U0. Если энергия частицы превышает высоту потенциальной стен-

ки, то (E − U0) — положительная величина и, следовательно, решение уравнения (7.8) имеет вид волны де Бройля, бегущей в направлении оси x:

Вообще говоря, уравнение (7.8) имеет еще одно решение вида exp(−ik x), однако оно не имеет физического смысла (пусть читатель сам сообразит, почему).

Волновая функция (7.10) описывает частицу, движущуюся со скоростью v =k /m. Таким образом, плотность потока частиц, прошедших через стенку, равна

Измеряемой величиной является коэффициент прохождения, который естественно определить как

Для вычисления коэффициентов отражения и прохождения нужно выразить ам-