Основы квантовой механики

112

11.3.Полный момент импульса частицы со спином

Итак, в квантовой механике имеется два рода момента импульса: орбитальный момент импульса, связанный с движением частицы в пространстве, и собственный

что некоторый прибор способен измерять момент импульса частицы, например, значения проекции момента импульса на ось z. Поскольку частица может обладать как орбитальным, так и спиновым моментом импульса, возникает естественный вопрос: каковы возможные результаты измерения полного момента импульса? Для ответа на этот вопрос нужно решить задачу на собственные функции и собственные значения соответствующего оператора полного момента, который обычно

Разумеется, это всего лишь предположение, но оказывается, что все следствия из него согласуются с известными экспериментальными данными.

Некоторые свойства оператора полного момента можно выяснить, опираясь только на формулу (11.33) и общие сведения из алгебры операторов, изложенной

ˆ

в параграфах 4 и 5. Прежде всего отметим, что оператор действует на волновые

J

функции ψ(r, σ, t), зависящие от координат частицы и от спиновой переменной σ.

Вспоминая коммутационные соотношения (4.17) и (11.17) для проекций операторов орбитального и спинового моментов, легко проверить (оставляем это читателю), что коммутационные соотношения для проекций полного момента имеют аналогичный вид:

Обсудим теперь вопрос о собственных значениях и собственных функциях опе-

коммутируют друг с другом, то в одном квантовом состоянии все три проекции момента не могут иметь точно определенные значения. С другой стороны, с помощью формул (11.35) можно убедиться, что оператор квадрата момента

коммутирует с каждым из операторов ˆ , ˆ и ˆ . Таким образом, общие соб-

Jx Jy Jz

ственные функции имеет оператор ˆ2 и оператор одной из проекций, например,

J

113

и спинового моментов. Это не случайно, поскольку все дело в коммутационных

Итак, волновые функции состояний, в которых квадрат полного момента частицы и его проекция на ось квантования (ось z) имеют точные значения, являются

где J 2 и Jz — собственные значения квадрата момента и его проекции. По аналогии с орбитальным и спиновым моментами, эти собственные значения записываются через квантовые числа j и mj , которые определяются формулами

Уравнения (11.37) удобно рассматривать в сферической системе координат, так

Прежде чем продолжить обсуждение уравнений (11.37), отметим одно важное обстоятельство. С помощью выражения (11.33) оператор квадрата полного момента записывается в таком виде:

тирует с первыми двумя операторами; это очевидно. Кроме того, мы знаем, что

где собственные значения оператора квадрата орбитального момента импульса выражены через квантовое число l, которое, как известно, может принимать значения 0, 1, 2, . . .. Физический смысл соотношений (11.40) состоит в том, что существует набор квантовых состояний с волновыми функциями ψlj mj (r, σ), в которых

квадрат орбитального момента импульса частицы, квадрат полного момента и его проекция на произвольную ось квантования z имеют точные значения. Легко про-

ко ˆ2 пропорционален единичному оператору и поэтому никаких дополнительных

S

114

ний (11.40), позволяющем найти возможные значения квантовых чисел j и mj и соответствующие волновые функции ψljmj , так как в дальнейшем явный вид

этих функций нам не понадобится. При необходимости их можно найти в книгах по квантовой механике (см., например, [2, 4]). Приведем лишь значения новых

где s — спиновое квантовое число, которое для одной частицы имеет фиксированное значение (например, для электрона s = 1/2). При каждом заданном j, квантовое число mj может принимать значения

Всего имеется 2j + 1 состояний с различными значениями проекции Jz .

В качестве иллюстрации найдем возможные значения квадрата полного момента и его проекции для электрона (s = 1/2). Начнем с состояний с l = 0, в которых орбитальный момент импульса равен нулю. В этом случае, согласно формуле (11.41), имеется только одна возможность: j = 1/2. Квантовое число mj

может принимать два значения −1/2 или 1/2, которые соответствуют двум значениям проекции полного момента электрона: Jz = − /2 и Jz = /2. С физической точки зрения это означает, что в состоянии с нулевым орбитальным моментом импульса полный момент электрона совпадает с его спиновым моментом. Для состояний с l ≥ 1 квантовое число j может принимать два значения: j = l ± 1/2. Если, например, l = 1, то возможные значения j таковы: j = 1/2 и j = 3/2. Иногда для наглядности говорят, что в первом состоянии орбитальный и спиновый моменты электрона “направлены в противоположные стороны”, а во втором состоянии они “параллельны”. Отметим, однако, что к любым подобным аналогиям следует относиться с осторожностью, так как “сложение” квантовых моментов нельзя представлять себе как сложение обычных векторов. Приведем простой пример, показывающий, что в квантовой механике “классическая интуиция” нередко подводит. Предположим, что спиновое число частицы s равно единице. Тогда в состоянии с l = 1 квантовое число j может иметь значения j = 0, j = 1, j = 2. Если первое и третье состояния можно представить себе как состояния, в которых орбитальный и спиновый момент “параллельны” или “антипараллельны”, то для состояния c j = 1 такой наглядной картины нет.

Остановимся теперь на одном вопросе, который часто приводит к недоразумениям при первом знакомстве с правилами сложения моментов в квантовой механике. Заметим, что имеется два различных набора волновых функций, которые можно использовать для характеристики возможных квантовых состояний частицы со спиновым и орбитальным моментами. Один набор состоит из функций ψlj mj .

1Во всех квантовых состояниях квадрат спина частицы S2 равен 2s(s + 1).

115

Они являются собственными функциями операторов ˆ2, ˆ2 и ˆ . Однако мы мо-

L J Jz

жем использовать и другой набор волновых функций ψlmms , которые являются

собственными функциями трех коммутирующих друг с другом операторов: ˆ2,

L

ˆ и ˆ . Эти волновые функции описывают квантовые состояния, в которых од-

Lz Sz

новременно имеют точные значения квадрат орбитального момента импульса, его

проекция на ось квантования и проекция спинового момента на ту же ось. Явное

Возникает вопрос: какой же из двух наборов волновых функций, {ψlj mj } или

{ψlmm }, является “правильным”? Ответ кажется на первый взгляд парадоксаль-

s

ным: оба набора “правильные” в том смысле, что любую волновую функцию частицы можно представить как суперпозицию функций ψlj mj или как суперпозицию

функций ψlmm . Нетрудно сообразить, что для этого нужно, чтобы функции из обоих наборов sбыли связаны друг с другом линейными соотношениями. Действи-

mj ψljmj (ϑ, ϕ, σ) = (m + ms) Cjmj ,mms ψlmms (ϑ, ϕ, σ).

m,ms

1Значения этих коэффициентов зависят не только от выписанных индексов, но и от квантовых чисел l и s. Таблицы для Cjmj ; mms приводятся в книгах по квантовой меха-

нике (см., например, [2]).

116

Сравнивая его с (11.45), видим, что эти два равенства не противоречат друг другу, если коэффициенты Cjmj ; mms отличны от нуля только в случае, когда ms +m = mj .

Таким образом, в формуле (11.45) одна из сумм снимается и, с учетом выражения (11.43), получаем

m

Для иллюстрации рассмотрим электрон (s = 1/2, ms = ±1/2), находящийся с p-состоянии (l = 1). Как мы уже выяснили, квантовое число j может при этом принимать значения j = 1/2 и j = 3/2. Ограничимся состояниями с j = 1/2, для которых mj = ±1/2. Тогда из формулы (11.46) находим, что

Ради краткости мы не выписали аргументы сферических функций Ylm(ϑ, ϕ) и спиновых функций χms (σ). В качестве упражнения предлагаем читателю записать

аналогичные формулы для волновых функций ψ1 32 mj (ϑ, ϕ, σ).

11.4.Стационарные состояния водородоподобного атома с учетом спина электрона

При изучении стационарных состояний водородоподобного атома в разделе 9.2. не учитывался спин электрона. Интересно выяснить, как влияет наличие спина у электрона на значения уровней энергии (9.19). Мы уже отмечали, что спин — явление релятивистское, поэтому последовательная квантовая теория водородоподобного атома должна быть основана на релятивистском обобщении уравнения Шредингера. Такое обобщение было получено Полем Дираком в 1928 году. Уравнение Дирака гораздо сложнее, чем уравнение Шредингера и его исследование выходит за рамки излагаемого здесь элементарного курса. Поэтому мы ограничимся некоторыми основными результатами этого исследования, которые важны для качественного понимания строения атома и его свойств.

Хотя полное уравнение Дирака является весьма сложным, применение его к теории атома облегчается тем обстоятельством, что средняя скорость движения электрона v мала по сравнению со скоростью света c и, следовательно, релятивистские поправки к спектру энергии (9.19) малы. Это позволяет учесть их методами теории возмущений, изложенной в параграфе 10. Предварительно нужно, конечно, построить гамильтониан электрона, пригодный для применения теории возмущений. Анализ уравнения Дирака показывает, что с точностью до членов порядка (v/c)2 гамильтониан электрона в водородоподобном атоме есть сумма операторов

117

— гамильтониан без учета релятивистских эффектов1. Только эта часть гамильтониана и использовалась в разделе 9.2. Функция W (r), явный вид которой мы не будем приводить, представляет собой поправку к кулоновскому полю ядра и качественно не меняет структуру уровней. Более интересен последний оператор в гамильтониане (11.48). Он называется оператором спин-орбитального взаимодействия и дается формулой

Видно, этот оператор изменяет спиновое состояние электрона.

Приведенных сведений достаточно, чтобы понять основные свойства стационарных состояний водородоподобного атома, который описывается гамильтонианом (11.48). Читатель уже должен знать, что при изучении стационарных состояний важно выяснить, операторы каких динамических переменных коммутируют с гамильтонианом, так как в стационарном состоянии эти динамические переменные имеют определенные значения одновременно с энергией. Невозмущенный гамильтониан (11.49) описывает движение электрона в центральном кулоновском поле ядра. Как мы выяснили в параграфе 9, его удобно записывать в сферической системе координат. Согласно формуле (9.5), имеем

ции невозмущенных стационарных состояний характеризуются квантовыми числами l и m, определяющими значения квадрата орбитального момента импульса электрона и его проекции на ось квантования z. При решении уравнения для радиальной части волновой функции возникает еще одно (главное) квантовое число n, определяющее значения энергии атома [см. формулу (9.19)]. Поскольку мы собираемся применять теорию возмущений, эти собственные значения оператора

Волновые функции невозмущенных стационарных состояний даются формулой (9.21). В рассматриваемом случае мы учитываем еще одну степень свободы

должны характеризоваться также соответствующими квантовыми числами s и ms. Для электрона во всех состояниях s = 1/2, так что нужно лишь указать значение магнитного спинового числа ms, которое определяет проекцию спина на ось z. Итак, волновые функции невозмущенных стационарных состояний водородоподобного атома с учетом спина электрона имеют вид

1В формуле (11.49) me — масса электрона, а при записи потенциальной энергии в кулоновском поле ядра использовано сокращенное обозначение (9.15).

121

Подчеркнуты пары состояний с одинаковой энергией. Совокупность уровней с одинаковым значением главного квантового числа n называется тонкой структурой. Разность значений энергии уровней внутри тонкой структуры мала по сравнению с

разностью En(0) −En(0)−1 благодаря малому значению постоянной α [см. (11.64)], которая называется постоянной тонкой структуры. Тем не менее, наличие тонкой структуры удается обнаружить с помощью оптических измерений.

В качестве примера рассмотрим головную линию серии Бальмера в спектре излучения водорода. Она возникает в результате излучения фотона электроном при его переходе с уровня с n = 3 на уровень с n = 2. Поскольку задание только главного квантового числа еще не определяет полностью квантовое состояние электрона, возникает вопрос: между какими состояниями, показанными на схеме (11.66), возможны переходы? Для ответа на это вопрос необходимо учесть закон сохранения момента импульса. Фотон обладает собственным моментом импульса, равным , поэтому при излучении или поглощении фотона момент импульса атома должен меняться так, чтобы сохранялся полный момент импульса системы “атом+фотон”. В квантовой механике доказывается, что при излучении и поглощении фотона должны выполняться так называемые правила отбора для квантовых чисел l и j, связанных с моментом импульса, а именно,

где ∆l и ∆j — изменение квантовых чисел состояния атома при переходе. Таким образом, головной линии се-

рии Бальмера в спектре излучения водорода соответствуют переходы электрона между следующими состояниями:

блюдаться пять линий с близкими частотами. Однако оптическими приборами (типа дифракционной решетки) разре-

шить все пять линий обычно не удается. Реально наблюдается так называемый “дуплет” — две линии с некоторыми “средними” частотами ω и ω . Дело в том, что “полная ширина тонкой структуры” уровня En быстро уменьшается с ростом n (см. упражнение 11.8.), поэтому расщепление спектральных линий в серии Бальмера определяется в основном тонкой структурой уровня с n = 2. Две линии с частотами ωi на Рис. 11.1. сливаются в одну линию дуплета, а три линии с частотами