Основы квантовой механики

263

вероятность вынужденного излучения пропорциональна квадрату амплитуды электромагнитного поля, которая в классическом пределе пропорциональна среднему числу фотонов. Процессы вынужденного излучения широко применяются в квантовых генераторах света — лазерах. Схематично принцип работы лазера выглядит так. С помощью накачки, роль которой может играть, например, предварительное облучение светом, атомы вещества лазера переводятся в так называемое метастабильное возбужденное состояние, т. е. в состояние, для которого очень мала вероятность спонтанного излучения и, следовательно, велико время жизни. Если затем возбудить в объеме лазера электромагнитное поле

с волновым вектором , энергия кванта которого соответствует переходу в k ω

основное состояние, то становится заметной вероятность вынужденного излучения

(благодаря множителю n ). Рост числа фотонов данного сорта еще больше уве-

kα

личивает вероятность вынужденного излучения, так что процесс вынужденного излучения атомами принимает “лавинообразный” характер. В результате в лазере возникает почти монохроматическое излучение с большой амплитудой.

Упражнения

18.1.Исходя из уравнения (18.1) для вектора состояния, вывести уравнение Шредингера для волновой функции бесспиновой частицы Ψ(r, t), находящейся во внешнем поле U (r ).

18.2.Пусть |1 и |2 — нормированные на единицу, но не ортогональные базисные состояния, причем c = 1 |2 = 2 |1 . Перейдем от этих базисных состояний

кдвум другим:

|1 = |1 , |2 = α (|2 − β |1 ) .

Потребуем, чтобы новый базис был ортонормированным, т. е. чтобы выполнялись соотношения 1|1 = 2|2 = 1, 1|2 = 0. Найти из этих условий величины α и β. Является ли выбор α и β однозначным?

18.3. Проверить, что из условия нормировки Ψ(t)|Ψ(t) вектора состояния (18.7) следуют соотношения

|a1|2 + |b1|2 + |a2|2 + |b2|2 = 1, a1b1 = −a2b2,

где a1, b1, a2, b2 — коэффициенты в формулах (18.17) для амплитуд вероятности. Указание: Использовать условие нормировки, записанное в форме (18.8).

18.4.Проверить непосредственным вычислением скалярного произведенияI|II , что базисные состояния (18.27) и (18.29) ортогональны друг к другу.

Указание: Учесть равенства (18.6) и явные выражения (18.25) для уровней энергии.

18.5.Найти векторы стационарных состояний молекулы аммиака в электрическом поле.

Указание: Воспользоваться формулами (18.27), (18.29) и выражениями (18.41) для уровней энергии.

18.6.Взаимодействие атома с классическим переменным электромагнитным полем описывается оператором (18.42). Во многих случаях основную роль играет взаимодействие с электрическим полем волны, так что оператор взаимодействия

265

В начальный момент времени a(0)(0) = 1 и a(f±i )(0) = 0. Уравнения для амплитуд a(f±i )(t) решаются методом итераций (см. стр. 255) в первом приближении по опе-

ратору возмущения ˆ , а затем находятся соответствующие вероятности перехода.

W

Библиографический список

[1]Савельев И.В. Курс общей физики. Том 3. – M.: Наука, 1982.

[2]Давыдов А.С. Квантовая механика. – М.: Наука, 1973.

[3]Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Высшая школа, 1961.

[4]Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория).

– М.: Наука, 1974.

[5]Тарасов Л.В. Основы квантовой механики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1978.

266

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Физические истоки квантовой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Явления, противоречащие классической физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Гипотеза Планка о квантовании энергии осциллятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Гипотеза Эйнштейна о квантах электромагнитного поля. . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.4. Импульс фотона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Квантование энергии атома. Волновые свойства микрочастиц . . . . 11

2.1. Теория атома Бора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.2. Гипотеза де-Бройля о волновых свойствах частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Волновая функция свободной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4. Дифракция микрочастиц. Суперпозиция состояний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.5. Статистическая интерпретация волновой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Квантовая механика одной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1. Квантовое состояние частицы.

Принцип причинности в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Уравнение Шредингера для одной частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. Стационарные квантовые состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4. Динамические переменные в квантовой механике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.5. Средние значения динамических переменных. Операторы . . . . . . . . . . . . . . 26 3.6. Примеры операторов динамических переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Алгебра операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1. Основные свойства операторов динамических переменных . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2. Произведение операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3. Коммутатор операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4. Квантовая неопределенность физических величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5. Соотношение неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.6. Изменение средних значений физических величин со временем . . . . . . . . . 37

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Собственные функции и собственные значения физических величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1. Спектр значений физической величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2. Уравнение для собственных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3. Свойства собственных функций и собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.4. Разложение волновых функций по собственным функциям

динамических переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5. Собственные функции нескольких динамических переменных . . . . . . . . . . 49 5.6. Непрерывный спектр значений физических величин.

Дельта-функция Дирака. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 5.7. Спектр и собственные функции импульса частицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

267

6. Примеры стационарных состояний частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.1. Частица в одномерной потенциальной яме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2. Частица в трехмерной потенциальной яме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3. Квантовый гармонический осциллятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7. Движение частиц через потенциальный барьер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

7.1. Потенциальная стенка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2. Туннельный эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.3. Примеры туннельного эффекта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8. Момент импульса микрочастицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.1. Оператор момента импульса в сферических координатах . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.2. Собственные значения и собственные функции момента импульса . . . . . . 80

9. Водородоподобные атомы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.1. Стационарные состояния частицы в центральном поле. . . . . . . . . . . . . . . . . .87 9.2. Спектр энергии водородоподобного атома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.3. Стационарные состояния водородоподобного атома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10. Стационарная теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10.1. Матричная форма стационарного уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . 94 10.2. Теория возмущений для невырожденного энергетического спектра . . . . 96 10.3. Теория возмущений для вырожденного энергетического уровня . . . . . . 100 10.4. Пример: двукратно вырожденный уровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11. Спин микрочастиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.1. Спиновые состояния электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.2. Операторы спина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 11.3. Полный момент импульса частицы со спином . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 11.4. Стационарные состояния водородоподобного атома

с учетом спина электрона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 11.5. Спиновый магнитный момент электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 11.6. Уравнение Шредингера для частицы в магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . 123 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

12. Квантовая механика системы частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

12.1. Волновая функция и динамические переменные системы частиц . . . . . 127 12.2. Квантовые системы тождественных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.3. Статистика Бозе-Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 12.4. Статистика Ферми-Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 12.5. Волновые функции двух фермионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

13. Стационарные состояния сложных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

13.1. Атом с двумя электронами: основное состояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

268

13.2. Атом с двумя электронами: возбужденные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . 148 13.3. Периодическая система элементов Менделеева. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 13.4. Самосогласованное поле в атоме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.5. Спин-орбитальное взаимодействие в сложных атомах . . . . . . . . . . . . . . . . 159 13.6. Атом в постоянном электрическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 13.7. Атом в постоянном магнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

14. Стационарные состояния молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

14.1. Молекула водорода: электронные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 14.2. Молекула водорода: поступательное движение молекулы,

колебания и вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 14.3. Энергетический спектр молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

15. Электронные состояния в кристаллах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

15.1. Основные приближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 15.2. Уравнение Шредингера для валентных электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 15.3. Квазиимпульс электрона в кристалле. Обратная решетка . . . . . . . . . . . . 194 15.4. Энергетические зоны электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 15.5. Приближения слабо и сильно связанных электронов. . . . . . . . . . . . . . . . . .201 15.6. Понятие эффективной массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 15.7. Электронные энергетические зоны в металлах,

диэлектриках и полупроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

16. Общая схема квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

16.1. Вектор состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 16.2. Различные представления операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 16.3. Координатное, импульсное и энергетическое представления . . . . . . . . . . 219 16.4. Представление чисел заполнения для осциллятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

17. Вторичное квантование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

17.1. Представление чисел заполнения для бозонов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231 17.2. Представление чисел заполнения для фермионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

18. Квантовая динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

18.1. Матричная форма уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 18.2. Квантовая динамика системы с двумя базисными состояниями . . . . . . 244 18.3. Примеры систем с двумя базисными состояниями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 18.4. Квантовые переходы под влиянием внешнего возмущения . . . . . . . . . . . . 253 18.5. Вероятность перехода в единицу времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 18.6. Излучение и поглощение фотонов атомами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265