Основы квантовой механики

132

•Квантовые состояния систем, состоящих из тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином), описываются волновыми функциями, антисимметричными относительно перестановки любой пары частиц.

Приведенные выше утверждения являются постулатами квантовой механики. В дальнейшем мы увидим, что различия в симметрии волновых функций бозонов и фермионов кардинально влияют на физические свойства квантовых систем. В настоящее время все имеющиеся экспериментальные данные подтверждают справедливость постулатов симметризации волновых функций.

12.3.Статистика Бозе-Эйнштейна

Простейшей моделью квантовой системы является модель, в которой взаимодействие между частицами является слабым, так что в нулевом приближении им можно вообще пренебречь. Часто такую модель называют квантовым газом.

Рассмотрим квантовый газ, состоящий из N невзаимодействующих бозонов. Гамильтониан системы можно записать в виде суммы одночастичных гамильтонианов

Если, например, магнитное поле отсутствует и каждая из частиц независимо движется в некотором потенциальном поле U (r ), то

щем случае ˆ может содержать операторы, которые действуют и на спиновую переменную.Hk

Легко проверить (оставляем это читателю в качестве упражнения), что для системы, состоящей из невзаимодействующих частиц, переменные в уравнении Шредингера (12.4) разделяются, т. е. волновая функция всей системы есть произведение одночастичных волновых функций:

где индексы lk характеризуют одночастичные состояния. Каждая из волновых функций Ψlk удовлетворяет одному и тому же одночастичному уравнению Шредингера

Согласно постулату, введенному в предыдущем разделе, волновая функция системы тождественных бозонов должна быть симметрична относительно перестановок частиц. Волновая функция (12.17) не обладает этим свойством, если одночастичные функции Ψlk различны. Можно, однако, построить такую суперпозицию

133 функций (12.17), которая будет симметричной относительно перестановок тожде-

Дело в том, что если даже одночастичные волновые функции нормированы на единицу, то Ψ не удовлетворяет условию нормировки. Постоянная A определяется из этого условия [см. формулу (12.2)].

Итак, произвольное квантовое состояние системы, состоящей из N невзаимодействующих бозонов, описывается симметризованными произведениями одночастичных волновых функций вида (12.19). А как строить волновые функции с правильной симметрией для системы, в которой частицы взаимодействуют друг с другом и этим взаимодействием нельзя пренебречь? Покажем, что и в этом случае симметризованные произведения одночастичных волновых функций оказываются очень полезными.

Кроме того, предположим, что этот набор функций является полным в том смысле, что любую одночастичную волновую функцию Ψ(q, t) можно представить в виде

ряда (суперпозиции)

где al(t) — зависящие от времени комплексные коэффициенты. В дальнейшем будем называть функции ϕl(q) базисными одночастичными волновыми функциями, а квантовые состояния, которым они соответствуют, — базисными одночастичными состояниями3. Для базисных одночастичных состояний мы будем иногда использовать общепринятое обозначение | l .

1Напомним, что благодаря линейности уравнения Шредингера, любая суперпозиция его решений тоже будет решением этого уравнения.

2Любую перестановку переменных в волновой функции можно осуществить последовательным применением нескольких операторов Pkk с некоторыми индексами.

3Выбор функций ϕl(q) обычно диктуется физическими соображениями. Например, для описания квантовых газов часто используются функции (11.25). В этом случае индекс l включает импульс частицы p и квантовое число ms, определяющее проекцию спина на ось квантования. Для системы электронов в атоме разумнее взять в качестве базисных одночастичных волновых функций собственные функции момента импульса, и т.д.

Имеет смысл остановиться на связи между функциями (12.22) и функциями

функций, которые формально отличаются лишь расположением индексов. Если

из них выбрать действительно различные функции, то мы получим набор {Φ(s) }}.

{nl

Каждую из функций Φ(s) можно записать в виде

{nl}

P

где A{nl} — нормировочная постоянная. Как выбрать индексы l1, . . . , lN в правой

части, если задан набор чисел {nl} ? Для ответа на этот вопрос расположим значения индекса l в некотором порядке. Тогда набор {nl} есть последовательность чисел n1, n2, . . . Среди индексов li в правой части n1 раз должен встречаться индекс l = 1, n2 раз — индекс l = 2 и т. д.1

Проиллюстрируем это правило на конкретном примере. Чтобы избежать громоздких формул, возьмем случай N = 3. Предположим также, что спин частиц равен нулю, и выберем в качестве одночастичных состояний | l состояния |p с

различными значениями импульса частицы p. Тогда каждая из функций Φ({sn) } ха-

p

рактеризуется набором чисел {np }, причем сумма np по всем возможным p равна 3. Иначе говоря, каждое из базисных состояний системы характеризуется тем, как три частицы “распределены” по одночастичным состояниям с различными значениями импульса. Например, возможно такое базисное состояние системы, когда

np = 2, np = 1, и np = 0 для всех импульсов, не равных p1 и p2. Соответствующая

1 2

базисная волновая функция имеет вид

— нормированная на единицу волновая функция свободной бесспиновой частицы в объеме V . В правой части (12.26) стоит сумма 3! = 6 функций, в которых аргументы rk расставлены всеми возможными способами2. Ясно, что три частицы можно распределить по одночастичным состояниям |p бесконечным числом спо-

1Так как число частиц N конечно, а возможных одночастичных состояний |l , как правило, бесконечно много, то последовательность n1, n2, . . . содержит конечное число ненулевых членов и бесконечно много нулей.

2Рекомендуем читателю выписать все эти функции в явном виде и убедиться, что некоторые из них совпадают друг с другом из-за того, что индекс p1 входит дважды.

136

Вернемся к выражению (12.25) для базисных волновых функций системы бозонов. В него входит постоянная A{nl}, которую нужно подобрать так, чтобы вол-

новая функция была нормирована на единицу. Идея проста: нужно вычислить

нице. Вычисление сводится к исследованию большого количества многомерных интегралов от произведений одночастичных функций, каждый из которых, однако, оказывается равен нулю или единице в силу условия (12.20). Мы не будем приводить детали всей этой процедуры и сразу выпишем результат для нормиро-

все l

При записи этого выражения предполагается, что 0! = 1. Появление множителя N ! связано с суммированием по перестановкам P частиц в симметризованных волновых функциях, в появление факториалов nl! связано с тем обстоятельством, что в случае nl ≥ 1 все перестановки одночастичных волновых функций с одинаковым

ные произведения (12.25) любых функций ϕl(q), которые образуют полную и ортонормированную систему одночастичных волновых функций. Тогда произвольное квантовое состояние системы бозонов описывается суперпозицией

которое следует из условия нормировки для функции Ψ(t).

Как уже отмечалось, явно выписать все базисные волновые функции Φ(s)

{nl}

невозможно, однако формула (12.29) замечательна тем, что она дает наглядную картину “строения” квантовых состояний системы, состоящей из тождественных бозонов. В самом деле, из (12.29) видно, что произвольное квантовое состояние

системы есть суперпозиция состояний Φ(s) , в каждом из которых частицы как-

{nl}

то распределены по одночастичным состояниям | l . Величины nl принято назы-

137

вать числами заполнения одночастичных состояний1. Для незанятых состояний nl = 0, а для занятых nl может принимать любое значение от 1 до N . В принципе, все N бозонов могут быть обнаружены в одном и том же одночастичном состоянии | l0 . Для такой базисной волновой функции nl0 = N и nl = 0, если l = l0.

Коэффициенты C ({nl}, t) в формуле (12.29) имеют смысл амплитуд вероят-

ностей различных распределений частиц по состояниям | l , а |C ({nl}, t)|2 — вероятности этих распределений. Заметим, что при этом тождественные частицы остаются “обезличенными” или “неразличимыми”, так как не указывается, какая именно частица находится в данном одночастичном состоянии | l .

Принято говорить, что частицы, для которых числа заполнения nl одночастичных квантовых состояний могут принимать все возможные значения от 0 до N , подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна2. С этим связано и происхождение термина “бозоны”.

12.4.Статистика Ферми-Дирака

Рассмотрим теперь квантовые системы, состоящие из тождественных частиц с полуцелым спином, и попытаемся построить для них базисный набор волновых функций, аналогичный набору функций (12.25).

Ясно, что в данном случае симметризованные произведения одночастичных волновых функций не годятся, так как волновая функция системы фермионов должна быть антисимметричной, т. е. должна менять знак при перестановке любых двух частиц. Заметим, однако, что любая перестановка в наборе индексов {l1, . . . , lN } сводится к четному или нечетному числу перестановок пар частиц. Введем для каждой перестановки множитель (−1)P , который равен +1 или −1 в зависимости от того, сводится данная перестановка к четному или нечетному числу перестановок пар частиц. Тогда в качестве полностью антисимметричных базисных волновых функций системы можно взять функции3

P

Рекомендуем читателю самостоятельно проверить, что эти функции удовлетворяют условию ортогональности

которое аналогично условию (12.24) для симметричных базисных волновых функций.

1Во избежании недоразумений подчеркнем, что не следует путать два понятия: “квантовое состояние системы” и “одночастичные состояния” | l , по которым распределяются частицы.

2Индийский физик Бозе первым предложил описание квантовых состояний системы фотонов с помощью чисел заполнения. Эйнштейн обобщил это описание на произвольные системы частиц с нулевым и целым спином.

3Верхний индекс (a) у волновой функции — первая буква английского слова “antisymmetric” — “антисимметричный”.

138

Как и в предыдущем разделе, набор чисел заполнения одночастичных состояний {nl} должен удовлетворять условию (12.23). Однако между функциями (12.32) и базисными волновыми функциями для системы бозонов имеется важное разли-

чие: волновая функция Φ(a) равна нулю, если хотя бы для одного одночастичного

{nl}

состояния | l соответствующее число заполнения превышает единицу, или, что то же самое, если среди индексов l1, . . . , lN есть хотя бы два одинаковых. Пусть, например, l1 = l2, т. е. одночастичное квантовое состояние | l1 заполнено двумя

фермионами. При перестановке этих индексов происходит замена Φ(a) → −Φ(a). Но, с другой стороны, индексы одинаковы, поэтому их перестановка не меняет функцию Φ(a). Это может быть только в случае, когда Φ(a) ≡ 0.

Таким образом, любой набор чисел заполнения одночастичных квантовых состояний в базисных волновых функциях системы фермионов (12.32) всегда представляет собой последовательность нулей и единиц. Для свободных одночастичных состояний nl = 0, а для занятых nl = 1. Принято говорить, что частицы, для которых числа заполнения nl одночастичных квантовых состояний могут принимать лишь значения 0 и 1, подчиняются статистике Ферми-Дирака1. Отсюда и название таких частиц — “фермионы”.

Вычисление нормировочной постоянной в формуле (12.32) производится так же, как и в случае бозонов. Результат, однако, проще (см. упражнение 12.5.):

т. е. нормировочная постоянная для всех наборов чисел заполнения одна и та же.

Для базисных волновых функций (12.32) существует компактная форма записи, которая удобна при небольшом числе частиц N в рассматриваемой системе. Предположим, что в базисном состоянии системы заполнены одночастичные состояния с индексами l1, l2, . . . , lN . Тогда соответствующую волновую функцию (12.32) можно записать в виде так называемого детерминанта Слэтера

Любая волновая функция системы, состоящая из N тождественных фермионов,

1Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми и английского физика Поля Дирака, которые независимо предложили изложенное здесь описание квантовых состояний систем частиц с полуцелым спином и выяснили ограничения на числа заполнения nl.

Как и раньше, верхние индексы (s) и (a) обозначают, соответственно, симметричную и антисимметричную функцию.

Итак, если гамильтониан двух одинаковых частиц со спином s = 1/2 не содержит спиновых операторов, то координатные волновые функции могут быть как симметричными, так и антисимметричными относительно перестановки координат. При этом, однако, и спиновые волновые функции в состояниях (12.40) и (12.41) имеют различную симметрию относительно перестановки спиновых переменных. Интересно выяснить, чем физически отличаются состояния двух электронов с волновыми функциями (12.40) и (12.41). С этой целью рассмотрим спиновые части волновых функций.

Сначала построим базисные спиновые волновые функции для двух частиц со спином s = 1/2. В качестве таких функций удобно взять произведения одночастичных спиновых функций

Любую спиновую волновую функцию двух частиц с s = 1/2 можно представить в виде суперпозиции этих базисных функций.

К сожалению, не все базисные спиновые функции (12.43) обладают какой-либо симметрией по отношению к перестановке переменных σ1 и σ2. Однако из них можно построить новый базис, состоящий из симметричных и антисимметричных функций. Легко проверить (оставляем это читателю), что единственная антисимметричная комбинация функций (12.43) имеет вид

σ1, σ2

Кроме того, из функций (12.43) можно составить три симметричные линейные комбинации: