Основы квантовой механики

82

при целых положительных значениях квантового числа l, причем l ≥ |m|. Функции Θlm можно выбрать действительными и такими, что они удовлетворяют условию ортогональности

π

0

Подведем итоги:

•Собственные значения квадрата момента импульса и его проекции на ось квантования (ось z) определяются формулами (8.9), где квантовые числа l и m принимают значения

Для каждого значения орбитального квантового числа l магнитное квантовое число m может иметь 2l + 1 значение.

• Общие собственные функции оператора квадрата момента импульса ˆ2 и опе-

L

ратора проекции момента импульса ˆ имеют вид (8.11) и удовлетворяют

условиям ортогональности

Lz

Ω

где dΩ = sin ϑ dϑ dϕ — элемент телесного угла и интеграл берется по полному телесному углу.

Напомним читателю, что в сферической системе координат элемент объема записывается в виде

Полный телесный угол равен

Для полноты следовало бы выписать выражения для функций Ylm(ϑ, ϕ), которые в математике называются сферическими функциями. Общая формула для них является довольно сложной и в дальнейшем нам не понадобится1. Приведем явные

1Подробное рассмотрение сферических функций интересующийся читатель может найти в учебниках по квантовой механике [2, 4].

83

выражения только для первых нормированных сферических функций:

(8.26) Во приложениях квантовой механики важную роль играет следующее свойство сферических функций. Изменим одновременно знаки координат любой точки про-

странства x, y, z или, как говорят, выполним преобразование инверсии1

При этом любая функция (например, волновая функция частицы) ψ(x, y, z) заменяется новой функцией:

Если в результате преобразования инверсии волновая функция либо не меняется вовсе, либо просто меняет знак, то говорят, что волновая функция (и соответствующее квантовое состояние) обладают определенной четностью:

Заметим, что суперпозиция только четных (нечетных) состояний снова является четным (нечетным) состоянием, а суперпозиция, в которую одновременно входят четные и нечетные состояния, уже не обладает определенной четностью.

деленной четностью при инверсии координат. Для сферических координат преобразование инверсии (8.27) выглядит так (эти соотношения легко проверить с

Можно показать, что сферические функции с l = 0, 2, . . . являются четными, а сферические функции с l = 1, 3, . . . — нечетными. Итак,

•Квантовые состояния частицы с четным l — четны, а квантовые состояния с нечетным l — нечетны.

Советуем запомнить это правило, так как оно часто бывает полезным в конкретных задачах.

В заключение сделаем одно замечание, относящееся к формулам (8.9). Величи-

ну L = l(l + 1) можно рассматривать как значение модуля вектора момента импульса частицы. Тогда, при фиксированном L, величины Lz = m есть возможные

1Преобразование инверсии соответствует тому, что направления осей системы координат меняются на противоположные.

84

значения проекции вектора момента импульса на ось квантования. С этой точки зрения в квантовой механике максимальное значение проекции момента импульсаl всегда меньше значения его модуля. Таким образом, в отличие от классических векторов, квантовомеханический вектор момента импульса никогда не может быть ориентирован строго вдоль пространственной оси. Этот неожиданный вывод согласуется, однако, с соотношением неопределенностей. Действительно, если бы существовало такое квантовое состояние частицы, в котором Lz = L, то в этом состоянии мы имели бы Lx = Ly = 0. Но поскольку операторы проекций момента импульса не коммутируют друг с другом, они не могут иметь определенные значения в одном и том же квантовом состоянии. Поэтому максимальное значение проекции Lz не может быть равно модулю момента импульса L.

8.3. Операторы ˆ и ˆ

L+ L−

При рассмотрении общих вопросов теории момента импульса и в конкретных

Ясно, что эти операторы не являются эрмитовыми, поэтому сами по себе они не соответствуют наблюдаемым физическим величинам. Впрочем, эрмитовые опера-

Приведем несколько важных соотношений для операторов ˆ . Во-первых, с помо-

L±

щью формул (8.31) и (4.17) легко проверить, что справедливы правила коммутации

Наконец, с помощью формул (8.32) убеждаемся, что оператор квадрата момента импульса (8.5) записывается в виде

ные соотношения удается вывести непосредственно из приведенных выше формул, избегая явного использования несколько громоздких выражений (8.4) для опера-

торов ˆ и ˆ . В качестве иллюстрации приведем один пример.

Lx Ly

Предположим, что волновая функция ψm описывает состояние, в котором проекция момента импульса на ось квантования z имеет значение Lz = m, т. е.

86

момента электрона1 c помощью соотношения

называется магнетоном Бора и является естественной единицей магнитного момента. Отметим, что для электрона знаки Lz и µz в одном и том же квантовом состоянии противоположны, так как заряд электрона имеет отрицательный знак.

Указание: Частную производную по x (при фиксированных y и z) можно записать в виде

∂x∂ = ∂x∂r ∂r∂ + ∂ϕ∂x ∂ϕ∂ + ∂ϑ∂x ∂ϑ∂ .

Для ∂/∂y и ∂/∂z справедливы аналогичные выражения. Частные производные декартовых координат по сферическим легко вычислить, используя формулы

8.2. Доказать равенства (8.8).

Указание: Использовать соотношения (4.17) и тождество (4.14).

1Слово “орбитальный” добавлено не случайно. Электрон обладает также собственным или спиновым магнитным моментом, который не связан с движением в пространстве (см. раздел 11.5.).

87

8.3. Проверить условие ортогональности (8.20) для функций (8.19), явно вычислив интеграл.

Указание: Удобно записать произведение ΦmΦm в виде

ΦmΦm = 21π ei(m−m )ϕ = 21π cos[(m − m )ϕ] + i sin[(m − m )ϕ] .

8.4.Используя (8.20) и (8.21), проверить условия ортогональности (8.23) для сферических функций.

8.5.Проверить правило четности состояний с различными l, используя явные выражения (8.26) для первых сферических функций.

9.Водородоподобные атомы

В первой же работе Э. Шредингера по волновой механике им были найдены волновые функции стационарных состояний атома с одним электроном и был получен энергетический спектр, который в точности совпал с результатом теории Бора. Это было важным достижением, так как квантование энергии атома естественным образом следовало из общих принципов квантовой механики без введения дополнительного квантового условия, которое в теории Бора используется вместе с классическим уравнением движения электрона.

9.1.Стационарные состояния частицы в центральном поле

Прежде чем приступить непосредственно к задаче об атоме водорода, обсудим общие свойства стационарных состояний частицы, находящейся в центральном силовом поле. Напомним читателю, что силовое поле называется центральным, если потенциальная энергия частицы U (r) зависит только от расстояния

r = x2 + y2 + z2 до силового центра, который расположен в начале системы ко-

соединяющей частицу с силовым центром. Нас будут интересовать стационарные состояния частицы, т. е. состояния с определенной энергией E. Как мы увидим дальше, именно в этой задаче очень удобно использовать сферические координаты.

Так как мы собираемся работать в сферической системе координат, то оператор Лапласа 2 нужно записать в сферических координатах. Из математики известно,

1В этом разделе масса частицы будет обозначаться буквой µ, чтобы избежать путаницы с магнитным квантовым числом, для которого сохраним обозначение m.

89

Это уравнение можно записать в более простом виде, если сделать подстановку

где χ(r) — новая неизвестная функция. Подставляя (9.10) в (9.9), приходим к уравнению

По форме оно совпадает со стационарным уравнением Шредингера для одномерного движения частицы с “эффективной потенциальной энергией”

вид которой зависит от значения квадрата момента импульса частицы. Это обстоятельство часто оказывается полезным для качественного исследования уравнения (9.11). Сделаем еще одно важное замечание. Уровни энергии частицы должны быть найдены из уравнения (9.9) [или, что то же самое, из уравнения (9.11)], если наложить на “радиальную функцию” R(r) дополнительные условия, вытекающие из физической постановки задачи1. В принципе, допустимые значения энергии могут зависеть от азимутального квантового числа l, т. е. от значения квадрата момента импульса, однако они не будут зависеть от квантового числа m, определяющего значение проекции момента импульса на ось квантования, так как в уравнение (9.9) это квантовое число не входит. Таким образом, уровни энергии частицы в любом центральном силовом поле вырождены. Поскольку каждому значению l соответствует 2l + 1 различных значений m, кратность вырождения уровня энергии при фиксированном квадрате момента импульса равна 2l + 1, т. е. ему соответствуют 2l + 1 возможных состояний частицы, отличающихся значением проекции момента импульса на ось квантования. Это вырождение уровней энергии связано со сферической симметрией центрального поля.

Подведем основные итоги нашего обсуждения.

•При движении в произвольном центральном силовом поле частица, находясь в стационарном состоянии, имеет определенные значения энергии, квадрата момента импульса и его проекции на ось квантования.

•Уровни энергии частицы в любом центральном поле вырождены по магнитному квантовому числу m. При фиксированном l кратность вырождения уровня энергии равна 2l + 1.

•Угловая часть волновой функции стационарного состояния совпадает с соб-

ственной функцией Ylm(ϑ, ϕ) квадрата момента импульса и его проекции на ось квантования, а радиальная часть R(r) удовлетворяет уравнению (9.9).

1В частности, всегда требуется, чтобы решение уравнения (9.9) было конечной и однозначной функцией.

91

учитывая явное выражение для потенциальной энергии электрона в кулоновском поле ядра, приходим к уравнению

Математическое исследование этого уравнения проводится примерно так же, как это делалось в разделе 6.3. при решении задачи о квантовом гармоническом осцилляторе. Мы опустим детали этого исследования1 и перечислим основные выводы.

•Решения R(r) = χ(r)/r, которые описывают связанные состояния электрона в атоме, то есть удовлетворяют условию R(r) → 0 при r → ∞, существуют

только при значениях энергии E = En, которые нумеруются целым числом n ≥ (l + 1) и даются формулой

Целое число n называется главным квантовым числом. Так как азимутальное квантовое число l принимает значения 0, 1, 2, . . ., то возможные значения главного квантового числа равны

Вспоминая выражение (9.15), видим, что в случае атома водорода (Z = 1) уровни энергии (9.19) точно совпадают с результатом (2.9) теории Бора2.

Все уровни энергии (9.19) отрицательны. Это легко понять, если вспомнить, что речь идет о связанных состояниях электрона в атоме. В самом деле, использование формулы (9.14) для потенциальной энергии соответствует тому, что нулевой потенциальной энергией обладает свободный электрон, находящийся на бесконечном расстоянии от ядра.

•Однозначные, конечные и непрерывные решения уравнения (9.17) существуют при любом значении E > 0, т. е. в этом случае спектр энергии непрерывный. Квантовые состояния с E ≥ 0 соответствуют электрону, пролетающему около ядра и снова уходящему на бесконечность.

9.3.Стационарные состояния водородоподобного атома

Итак, для энергий стационарных состояний электрона в водородоподобных атомах квантовая механика дает тот же результат, что и теория Бора. Это уже хорошо, поскольку из формулы (9.19) следует предсказание спектра излучения, который прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Однако, в отличие от теории Бора, квантовая механика дает гораздо больше информации о стационарных состояниях водородоподобного атома. Прежде всего напомним, что

1Решение уравнения (9.18) подробно рассмотрено, например, в учебниках [2, 4].

2Впрочем, очевидно, что результаты для уровней энергии в квантовой механике и в теории Бора совпадают для любого водородоподобного атома.