Основы квантовой механики

55

Приведем также собственные функции импульса и условие их нормировки для случая одномерного движения частицы (вдоль оси x):

При решении конкретных задач наличие непрерывного спектра у физических величин и, как следствие, необходимость работать с волновыми функциями, нормированными на дельта-функцию, нередко приводит к математическим трудностям (особенно для начинающих). Кроме того, многие рассуждения и выводы выглядят более ясными и простыми в случае дискретного спектра. Мы опишем один весьма популярный и полезный прием, позволяющий использовать для импульса частицы собственные функции, нормированные на единицу.

Для простоты начнем со случая одномерного движения, когда волновая функция зависит лишь от одной переменной x. Допустим, что волновая функция частицы отлична от нуля не на всей оси x, а только на конечном отрезке длины Lx, скажем, в промежутке 0 ≤ x ≤ Lx. Если в конце вычислений мы выполним предельный переход Lx → ∞, то вернемся к случаю неограниченной области движения. Собственные функции импульса по-прежнему имеют вид

ψpx (x) = C eipxx/ ,

но теперь эти функции можно нормировать на единицу. Оставляем читателю проделать это самому и выпишем окончательное выражение для нормированных собственных функций:

Все было бы хорошо, но, к сожалению, если px — произвольное действительное число и px = px, то ψpx и ψpx не ортогональны друг к другу (см. упражнение 5.6.). Это

неприятное свойство собственных функций (5.52) противоречит общим принципам квантовой механики. Избавиться от него можно следующим образом. Потребуем, чтобы все ψp (x) были периодическими функциями с периодом Lx, т. е. чтобы выполнялось xусловие

Ясно, что теперь px не может быть любым действительным числом. Найдем его возможные значения. Подставляя в (5.53) явное выражение (5.52) для собственной функции, приходим к условию

Соотношение (5.56) показывает, что собственные функции (5.52) образуют ортонормированный набор, если спектр значений импульса определяется формулой (5.55).

Переходу к неограниченной области движения частицы соответствует предел Lx → ∞. При этом спектр значений импульса (5.55) становится непрерывным. В собственных функциях (5.52) невозможно выполнить предельный переход, так как множитель перед экспонентой стремится к нулю1. Напомним, однако, что сама по себе волновая функция не является наблюдаемой, поэтому нужно определить правило для предельного перехода в выражениях, которые встречаются при вычислении наблюдаемых величин. Обычно приходится иметь дело с суммами типа

где f (px) — гладкая функция импульса. Покажем, что в пределе Lx → ∞ сумма преобразуется в интеграл по определенному правилу.

Изобразим дискретные собственные значения импульса (5.55) точками на оси px. При большом Lx соседние точки расположены очень близко друг к другу, т. е. спектр импульса “почти непрерывный”. Возьмем интервал ∆px, который значительно превышает расстояние 2π /Lx между соседними собственными значениями импульса. Число точек, попавших в интервал ∆px равно ∆pxLx/2π . Разделим теперь всю ось px на интервалы ∆px, пронумеруем их индексом i и запишем приближенное значение суммы (5.58) в виде

где pxi — произвольная точка в интервале с номером i. Например, это может быть середина интервала. Пусть Lx растет. Одновременно можно уменьшать ∆px. При этом сумма в правой части (5.59) будет стремиться к интегралу от функции f (px) по всем px. Мы получаем правило перехода от дискретного спектра импульса к непрерывному:

Обобщим все сказанное выше на трехмерный случай2. Дискретный спектр импульса соответствует предположению, что частица находится в параллелепипеде

1Хотя при Lx → ∞ сама волновая функция всюду стремится к нулю, размер области движения стремится к бесконечности, поэтому при любом Lx остается справедливым соотношение (5.56).

2Обоснование приводимых утверждений оставляем читателю в качестве упражнения.

58

5.4. Показать, что общее решение первого из уравнений (5.43) имеет вид

ψpx (r ) = eipxx/ Φ(y, z),

где Φ(y, z) — произвольная функция.

5.5. Рассмотреть уравнения для собственных функций операторов pˆy и pˆz [по

аналогии с предыдущей задачей] и показать, что собственная функция импульса частицы, соответствующая собственному значению p = {px, py, pz }, дается форму-

лой (5.45).

5.6. Доказать что две собственные функции импульса (5.52), соответствующие собственным значениям px и px = px, ортогональны друг к другу, если спектр значений импульса имеет вид (5.55).

Указание: Скалярное произведение двух собственных функций импульса на конечном отрезке 0 ≤ x ≤ Lx записывается как

5.7. Частица совершает одномерное движение вдоль оси x. Так как xˆ = x, то собственные функции оператора координаты определяются из уравнения

xψx0 (x) = x0ψx0 (x),

являются собственными функциями оператора xˆ и удовлетворяют условию нормировки на дельта-функцию (5.41).

5.8. Пусть спектр некоторой динамической переменной A включает дискретный набор собственных значений {An} и участок непрерывного спектра в интервале от A до A . Тогда естественное обобщение разложения волновой функции Ψ(t) по собственным функциям переменной A имеет вид (аргумент r опущен)

Записать условие нормировки волновой функции Ψ(t) и выражение для среднего значения A t через амплитуды вероятности an(t) и aA(t). Предполагается, что дискретные собственные значения An лежат вне интервала A < A < A .

6.Примеры стационарных состояний частицы

Изложенный выше аппарат квантовой механики является формальной схемой, которую еще нужно научиться применять в конкретных физических задачах. В этом параграфе мы обсудим стационарные состояния частицы, используя простые модели для потенциальной энергии U (r ).

60

Оно содержит две произвольные постоянные A и B, которые из самого уравнения не определяются. Вспомним, однако, что функция (6.6) должна удовлетворять граничным условиям (6.2). Из условия в точке x = 0 следует, что B = 0, а условие в точке x = l дает A sin kl = 0. Так как A = 0 (иначе все функции (6.6) тождественно равны нулю), приходим к выводу, что

Отсюда находим возможные значения параметра k в собственной функции (6.6):

Согласно формуле (6.4), значения энергии частицы или, как часто говорят, уровни энергии образуют дискретный спектр

и нумеруются целым квантовым числом n. Отметим, что квантование энергии частицы возникло благодаря граничным условиям для волновой функции. В дальнейшем мы увидим, что это — общее явление в квантовой механике.

Поскольку спектр энергии (6.9) дискретный, собственные функции можно нормировать на единицу. Для краткости функцию, соответствующую энергии En, обозначим

В принципе, нормировочная постоянная An может зависеть от n, поэтому мы ее снабдили индексом. Вычислим интеграл от |ψn|2 по всей возможной области движения, т. е. на интервале 0 < x < l. Запишем

Легко убедиться, что интеграл от косинуса в последнем выражении равен нулю благодаря условию (6.8). Поэтому

l

|ψn(x)|2 dx = 12 |An|2l .

0

Приравнивая это выражение единице и выбирая для An действительное значение,

61

Функции с разными номерами n и m соответствуют разным собственным значениям энергии, поэтому они ортогональны друг к другу (см. раздел 5.3.). Так как в данном случае собственные функции действительны и движение частицы одномерное, свойство ортогональности (5.6) записывается в виде

l

0

Это свойство можно проверить и прямым вычислением интеграла, используя явное выражение (6.11) для собственных функций энергии.

Напомним читателю, что собственные функции гамильтониана (6.11) не совпадают с полными волновыми функциями стационарных состояний, которые зависят от времени согласно формуле (3.14). Стационарные состояния частицы в потенциальной яме описываются волновыми функциями

Впрочем, если частица находится в стационарном состоянии с номером n, то для вычисления средних значений физических величин наличие зависящего от времени множителя в (6.13) несущественно, так как он исчезает во всех формулах. В самом

деле, если ˆ — оператор некоторой физической величины, то

A

Таким образом, роль волновой функции играет собственная функция гамильтониана ψn и все средние не зависят от времени. Роль временн´ого множителя в волновых функциях (6.13) важна в тех случаях, когда частица находится в нестационарном состоянии, которое описывается, например, суперпозицией

Согласно постулату, приведенному в разделе 5.4., волновую функцию любого состояния частицы в одномерной потенциальной яме можно представить в виде ряда (6.15), так как {ψn(x)} образуют ортонормированную систему собственных функций динамической переменной, в данном случае — энергии частицы. Обратим внимание на то, что при разложении волновой функции в ряд по собственным функциям гамильтониана зависимость от времени амплитуд (6.16) очень проста: они периодически изменяются со временем с частотами ωn = En/ .