С помощью оператора проектирования разложение (16.14) вектора состояния
записывается в виде
|Ψ(t) =
ˆ
|Ψ(t) .
(16.20)
Pa
a
Заметим теперь, что эта формула эквивалентна утверждению, что сумма всех опе-
раторов проектирования есть единичный оператор ˆ, если набор базисных состоя-
1
ний является полным. Итак:
• Для любого полного набора базисных состояний выполняется соотношение
Pˆa ≡
|a a| = 1ˆ.
(16.21)
a
a
Оператор проектирования — очень полезная конструкция. Он часто применяется для упрощения и “автоматизации” преобразований самых разных выражений.
Вернемся к вопросу о связи между волновыми функциями в двух различных a- и b-представлениях. Волновая функция a|Ψ в a-представлении определяется формулой (16.14), а волновая функция b|Ψ в b-представлении — аналогичной
формулой
|Ψ(t) = b
|b b|Ψ(t) .
(16.22)
Запишем теперь очевидную цепочку равенств
ˆ
b|a a|Ψ ,
b|Ψ = b|1|Ψ =
a
где мы заменили единичный оператор выражением (16.21). Мы приходим к простому правилу преобразования волновой функции при переходе от одного представления к другому:
•Если {|a} и {|b} — два полных ортонормированных набора базисных состояний, то волновые функции системы в a- и b-представлениях связаны друг c другом соотношением
b|Ψ(t) =
(16.23)
b|a a|Ψ(t) .
a
Ясно, что обратное преобразование имеет вид (нужно просто сделать замену a ↔ b)
a|Ψ(t) = b
a|b b|Ψ(t) .
(16.24)
Итак, для преобразования любой волновой функции из одного представления в другое нужно знать лишь скалярные произведения новых и старых базисных векторов. Совокупность скалярных произведений b|a называется матрицей преобразования от a-представления к b-представлению. В силу свойства (16.7)
213
скалярного произведения, элементы матрицы обратного преобразования a|b выражаются через элементы матрицы прямого преобразования:
a|b = b|a .
(16.25)
Матрице преобразования b|a можно приписать и другой смысл. Ее элементы есть не что иное как волновые функции старых базисных состояний |a в новом b-представлении, а элементы матрицы обратного преобразования a|b — волновые функции новых базисных состояний в старом a-представлении. Заметим также, что матрица b|a определяет связь между новыми и старыми базисными состояниями. Действительно, применяя формулу (16.14) к новым базисным состояниям |b , получаем
|b =
(16.26)
|a a|b .
a
Это соотношение весьма поучительно. Оно показывает, что при переходе от одного представления к другому новые базисные состояния всегда являются суперпозицией старых. В связи с этим возникает вопрос, важный для конкретного построения базисных наборов состояний. Предположим, что мы уже имеем некоторый полный набор ортонормированных векторов состояния {|a} и хотим построить новый базис {|b}. Возьмем в качестве новых базисных векторов линейные комбинации
|b = Cba |a (16.27)
a
с некоторыми коэффициентами Cba. Каким условиям должны удовлетворять эти коэффициенты, чтобы новый набор базисных векторов состояния также был полным и ортонормированным? Можно показать, что необходимыми и достаточными условиями являются соотношения (см. упражнение 16.1.)
b
(16.28)
Cba Cb a = δbb ,
Cba Cba = δaa .
a
Формулы (16.23), (16.24) и (16.26) демонстрируют полезность понятия вектора состояния и удобство “скобочных” обозначений, также придуманных Дираком, для перехода от одного представления к другому. Это уже немало, но дело не только в удобстве схемы Дирака при выполнении математических манипуляций. Имеется глубокая физическая причина для построения квантовой механики без использования с самого начала волновой функции. По мере развития квантовой механики выяснилось, что существуют квантовые состояния, которые невозможно описать волновой функцией, зависящей от координат частиц, а для некоторых систем вообще невозможно разумным образом определить такую волновую функцию1. Например, невозможно ввести понятие “волновой функции фотона”
— кванта электромагнитного излучения. Между тем, для фотона можно ввести ортонормированные базисные векторы состояний |p, α , где p — импульс фотона2, а квантовое число α определяет состояние поляризации фотона — аналог
1Особенно много таких примеров встречается в релятивистской квантовой теории.
2В качестве характеристики состояния фотона вместо импульса p часто используется
волновой вектор = . k p/
214
спинового состояния. Фотон, как и электрон, обладает собственным моментом импульса. Он не называется спином, так как его свойства несколько отличаются от свойств спина “массивных” частиц. Собственный момент фотона может быть направлен либо вдоль направления его движения (т. е. вдоль вектора импульса p ), либо в противоположную сторону. Проекция момента фотона Sp на направление
p принимает значения Sp = α, где α = ±1. Говорят, что в состоянии с α = 1
фотон является правополяризованным, а в состоянии с α = −1 — левополяризованным. Когерентное электромагнитное излучение с циркулярной поляризацией, знакомое читателю из курса оптики, состоит из фотонов с определенной поляризацией. Линейно поляризованное излучение состоит из фотонов, находящихся в квантовом состоянии |p, l , которое является суперпозицией состояний с разными поляризациями, например,
1
1
(16.29)
|p , l = √
|p , +1 + √
|p , −1 .
2
2
Как видим, можно описывать состояния фотона и составлять их суперпозицию, не прибегая к понятию волновой функции.
16.2.Различные представления операторов
Обсудим теперь вопрос о том, как работать с операторами в квантовой механике, построенной на основе понятия векторов состояния. Пока мы имеем лишь постулат, что оператор, действуя на любой вектор состояния, переводит его в другой вектор состояния. Опираясь только на этот постулат можно дать важное определения линейного оператора1.
• Оператор ˆ называется линейным, если он обладает свойством
A
Aˆ
ci |Ψi =
ci Aˆ|Ψi ,
(16.30)
i
i
где |Ψi — любые векторы состояния системы, ci — произвольные комплексные числа.
Нетрудно также, действуя по аналогии с алгеброй операторов в волновой механике Шредингера, ввести общее определение эрмитово сопряженного оператора и
самосопряженного (или эрмитового) оператора. В схеме Дирака оператор ˆ†
A
называется эрмитово сопряженным оператору ˆ, если для любых векторов состо-
A
яния выполняется равенство
ˆ†
ˆ
.
(16.31)
Ψ1|A
|Ψ2 = Ψ2|A|Ψ1
Если ˆ† ˆ, то оператор ˆ называется самосопряженным или эрмитовым.
A = A A
Более сложным является, на первый взгляд, вопрос: как определить само действие интересующего нас оператора на векторы состояния? Не станем же мы перечислять результаты его действия на все возможные векторы состояний системы. Выход из положения такой:
1Как известно, все операторы наблюдаемых физических величин — линейные операторы, поэтому нас прежде всего интересует этот класс операторов.
215
1)Нужно определить, как оператор действует на волновую функцию a|Ψ хотя бы в одном из возможных представлений.
2)Нужно сформулировать правило, позволяющее определить действие оператора на волновую функцию b|Ψ в любом другом представлении.
Решив эти две задачи, мы сможем, например, исходить из координатного представления, где уже было построено много различных операторов, а затем найти явный вид этих операторов в том представлении, которое нас интересует. Или, если оператор встречается первый раз, можно построить его сначала в наиболее удобном для этого представлении, а затем распространить его действие на все другие представления.
Итак, пусть ˆ — некоторый линейный оператор. Найдем, как он действует на
A
волновую функцию a|Ψ в a-представлении. Если
| | (16.32)
ˆ
Ψ = A Ψ ,
то нужно найти связь между a|Ψ и волновой функцией возникшего состояния
| . Здесь опять помогают скобочные обозначения Дирака. Умножая скалярно a Ψ
обе части равенства (16.32) на базисный вектор |a , получим
a Ψ =
ˆ
=
a
ˆ ˆ
Ψ =
a A Ψ
A 1
|
| |
|
|
| ˆ| | a A a a Ψ ,
a
где мы снова воспользовались выражением (16.21) для единичного оператора.
Комплексные числа | ˆ| называются матричными элементами оператора a A a
вa-представлении. Набор матричных элементов образует матрицу оператора
вданном представлении. Итак, мы приходим к заключению:
ˆ
на волновые функции в этом
• В любом a-представлении действие оператора A
представлении Ψ(a) ≡ a|Ψ полностью определяется его матричными эле-
ментами ≡ | ˆ| :
Aaa a A a
если
ˆ
(16.33)
Ψ(a) =
),
Aaa Ψ(a
|Ψ = A|Ψ .
a
Иначе говоря, достаточно знать, как оператор действует на базисные векторы состояний |a , чтобы определить его действие на произвольную волновую функции в этом представлении.
Все свойства операторов можно записать на языке матричных элементов.
Например, матрица эрмитово сопряженного оператора ˆ†, согласно соотноше-
A
нию (16.31), выражается через матрицу самого оператора ˆ такой формулой:
A
ˆ†
(16.34)
(A
)aa = Aa a.
Если оператор ˆ эрмитов, то его матричные элементы в любом представлении
A
удовлетворяют соотношению
Aaa = Aa a
для эрмитового оператора.
(16.35)
216
В математике матрицы с таким свойством называют эрмитовыми.
Если базисных состояний |a немного, то Aaa — обычная матрица, знакомая читателю из курса алгебры. Проиллюстрируем это на следующем простом примере.
Предположим, что оператор ˆ изменяет только спиновое состояние электрона1.
A
Введем базисные спиновые состояния
|↑ ≡ |1 ,
|↓ ≡ |2 .
(16.36)
В первом состоянии проекция спина электрона на ось квантования z равна Sz =/2, а во втором Sz = − /2. Базисные векторы состояния ортогональны друг к другу и можно считать, что они нормированы на единицу. Произвольное спиновое состояние электрона описывается вектором |χ , который имеет вид суперпозиции
|χ = c1 |↑ + c2 |↓ ≡ c1 |1 + c2 |2 .
(16.37)
Для того, чтобы вектор состояния был нормирован на единицу, комплексные коэффициенты c1 и c2 должны удовлетворять условию (проверьте!)
|c1|2 + |c2|2 = 1.
(16.38)
Собственно говоря, коэффициенты
c1 = 1|χ ,
c2 = 2|χ
(16.39)
и играют роль спиновой “волновой функции” электрона в представлении с базисными состояниями (16.36), причем |c1|2 есть вероятность того, что Sz = /2, а |c2|2
— вероятность того, что Sz = − /2.
ˆ
в базисе (16.36) представляется матри-
Любой спиновый оператор электрона A
цей
Aij =
A11
A12
A21
A22 .
(16.40)
Если |χ
ˆ
и c2) для
= A|χ , то спиновая “волновая функция” (коэффициенты c1
|
состояния
χ
, согласно общей формуле (16.33), находятся по формулам
2
ci =
j
(16.41)
Aij cj .
=1
Удобно записать спиновую волновую функцию в виде столбца (спинора)
c1
= c1
1
+ c2
0
.
χ = c2
0
1
(16.42)
Тогда правая часть формулы (16.41) выглядит как произведение матрицы Aij на столбец cj . Как видим, мы пришли к описанию спиновых состояний и спиновых операторов электрона, которое уже было сформулировано в параграфе 11 на основе других соображений. Теперь мы исходили из общей схемы Дирака.
1Это могут быть, например, операторы проекций спина ˆ , ˆ , ˆ .
Sx Sy Sz
217
В рассмотренном примере базисных состояний было всего два, поэтому в математическом отношении теория спина электрона оказалась очень проста. К сожалению, в большинстве случаев базис {|a} содержит бесконечное число векторов состояния. В частности, даже для одной частицы естественный базис |p Sz бесконечен, так как проекции импульса p могут принимать бесконечный набор значений.
Матричные элементы операторов | ˆ| в этом базисе образуют матрицы с p Sz A p Sz
бесконечным числом столбцов и строк. Наглядно изобразить их, конечно, невозможно.
Для полноты нужно сформулировать правило, по которому, зная матрицу оператора Aaa в a-представлении, можно найти матрицу этого оператора Abb в любом другом b-представлении. Решить эту задачу в общем виде совсем несложно. Запишем
| ˆ| |ˆ ˆˆ| | | ˆ| | b A b = b 1A1 b = b a a A a a b ,
a ,a
где для двух единичных операторов было использовано выражение (16.21). Итак, правило преобразования матрицы оператора гласит:
• Матрицы одного и того же оператора ˆ в двух различных представлениях
A
связаны соотношением
b|a b |a Aaa .
(16.43)
Abb =
a,a
При записи правой части мы заменили a |b на b |a , что можно сделать в силу равенства (16.25). Подчеркнем, что матрицы всех операторов при переходе от одного представления к другому преобразуются совершенно одинаково.
Как уже знает читатель, в квантовой механике важную роль играют собственные волновые функции операторов физических величин. В частности, набор собственных функций любой такой величины является полным и, следовательно, по этим функциям можно разложить любую волновую функцию системы. В схеме Дирака естественно ввести понятие собственных векторов операторов.
• Вектор состояния | называется собственным вектором оператора ˆ, ес-
A A
ли выполняется соотношение
ˆ
(16.44)
A|A = A|A .
Комплексное число A называется собственным значением оператора.
Уравнение (16.44) на собственные значения и собственные векторы оператора можно преобразовать в уравнение для волновой функции ψA(a) ≡ a|A в любом a- представлении (см. упражнение 16.4.).
Предположим, что уравнение (16.44) решено, т. е. найдены все собственные
значения An данного оператора
ˆ
и соответствующие собственные векторы |n .
A
Если ˆ соответствует наблюдаемой физической величине, то набор {| } явля-
A n
ется полным1. Поэтому его можно взять в качестве базисного набора состояний (предварительно проведя процедуру ортогонализации и нормирования) и построить соответствующее представление для волновых функций и операторов.
1Обсуждение вопроса о полноте набора собственных состояний физических величин см. в разделе 5.4.
218
• Представление, в котором базисные векторы состояний |n являются соб-
ственными векторами оператора ˆ, называется собственным представле-
A
нием этого оператора.
Особая роль собственного представления состоит в следующем очевидном факте:
• В собственном представлении оператора Aˆ его матрица Ann ≡ n|Aˆ|n диа-
гональна:
Ann = An δnn ,
(16.45)
где An — собственные значения оператора.
Благодаря этому свойству матричные элементы оператора в любом другом a- представлении можно выразить через его собственные значения. Вспоминая формулу (16.43), находим, что
(16.46)
Aaa = a|n a |n An.
n
В заключении остановимся еще на одном моменте. Напомним читателю, что наблюдаемыми значениями физических величин, т. е. значениями, которые реально могут быть измерены в эксперименте, являются средние значения, которые в схеме Дирака даются формулой
A
t
ˆ
(16.47)
= Ψ(t)|A|Ψ(t) .
Они могут быть вычислены в любом a-представлении с помощью волновой
функции системы Ψ(a, t) = a|Ψ(t) . Действительно, используя опять соотноше-
ние (16.21), пишем
A
t
=
ˆ
|Ψ(t)
Ψ(t)|a a|A|a
a
a ,a
или, что то же самое,
A t =
(16.48)
Ψ (a, t) Aaa Ψ(a , t).
a,a
Читатель согласится, наверное, что на уровне общих соотношений изложенная выше схема квантовой механики довольно проста и красива. Для лучшего усвоения смысла основных понятий рекомендуем читателю самостоятельно разобрать несколько примеров, которые приведены в упражнениях к этому параграфу. Следует, однако, отметить, что построение базисных векторов состояния, вычисление матричных элементов операторов и волновых функций для конкретной квантовой системы может оказаться сложной задачей. Тем не менее, теория Дирака служит надежной основой для многочисленных приложений квантовой механики и пока находится “вне конкуренции”. В разное время были предложены и другие схемы, но они оказались более удобными лишь для решения частных проблем.
219
16.3.Координатное, импульсное и энергетическое представления
Для иллюстрации формальных конструкций из предыдущих разделов рассмотрим три представления, которые весьма часто используются в конкретных задачах.
Координатное представление. Начнем с координатного представления, которое соответствует волновой механике Шредингера. Однако теперь мы взглянем на него с точки зрения общей схемы Дирака. Для простоты ограничимся случаем одной бесспиновой частицы1.
В координатном представлении базисными квантовыми состояниями частицы являются состояния |r ≡ |x, y, z , где совокупность координат играет роль индекса “a” базисного состояния. В состоянии |r частица локализована в точке с радиусомвектором r. Спектр координат непрерывный, поэтому базисные векторы состояния нормированы на дельта-функцию:
r |r = δ(r − r ) ≡ δ(x − x ) δ(y − y ) δ(z − z ).
(16.49)
Условие полноты набора базисных векторов состояния |r , согласно (16.21), символически записывается в виде
|r r | d
r = 1
,
(16.50)
3
ˆ
где для элемента объема введено обозначение d3r вольного вектора состояния частицы по базисным
= dx dy dz . Разложение произдается формулой
(16.51)
|Ψ(t) = |r r |Ψ(t) d3r.
Скалярные произведения (они же — амплитуды вероятности)
Ψ(r, t) = r |Ψ(t)
(16.52)
играют роль волновой функции в координатном представлении. Это — хорошо знакомая волновая функция Шредингера. Таким образом, произвольный вектор состояния частицы выражается через Ψ(r, t):
(16.53)
|Ψ(t) = Ψ(r, t) |r d3r.
Благодаря этому соотношению и условию нормировки (16.49) все действия с векторами состояния в координатном представлении сводятся к действиям с волновыми функциями. В качестве простого упражнения проверим, что волновая функция нормирована на единицу, если вектор состояния |Ψ(t) удовлетворяет условиюΨ(t)|Ψ(t) = 1. Из (16.52) следует, что
|Ψ(r, t)|
2
3
r =
3
ˆ
d
Ψ(t)|r r |Ψ(t) d
r = Ψ(t)|1|Ψ(t) = 1,
1Некоторые приводимые ниже соотношения являются обобщением на трехмерный случай формул для одномерного движения, кратко рассмотренного в разделе 16.1.
220
где мы
использовали свойство скалярного произведения векторов состояния
r |Ψ(t)
= Ψ(t)|r и условие полноты базиса (16.50). Покажем теперь, что
скалярное произведение двух векторов состояния |Ψ1 и |Ψ2 в координатном представлении выражается через скалярное произведение волновых функций Ψ1(r ) и Ψ2(r ), которым мы неоднократно пользовались. Действительно, снова используя условие полноты (16.50), находим, что
| |ˆ| | | 3 3
Ψ1 Ψ2 = Ψ1 1 Ψ2 = Ψ1 r r Ψ2 d r = Ψ1(r ) Ψ2(r ) d r.
Посмотрим теперь, как выглядит в координатном представлении основное правило действия операторов (16.33). Поскольку в данном случае a|Ψ это волновая
частицы Ψ(r, t), а суммирование по индексу базисных состояний — интегрирование
по r, операторы в координатном представлении должны действовать
на волновые
функцию следующим образом:
ˆ
ˆ
Ψ(r, t) = r |Aˆ| r Ψ(r , t) d3r .
(16.54)
Здесь, как и в (16.33), Ψ(r, t) = (AΨ)(r, t) — волновая функция состояния A|Ψ(t) ,
а r Aˆ
r — матричные элементы оператора в координатном представлении. На
первый| |
взгляд,
формула
(16.54) совершенно не похожа на правила, по которым
операторы действовали на волновую функцию в волновой механике Шредингера.
Например, для основных операторов
ˆ
ˆ
r
и p, из которых строился гамильтониан,
оператор момента импульса и т. д., мы имели довольно простые соотношения
ˆ
ˆ
(16.55)
(r Ψ)(r, t) = r Ψ(r, t),
(p Ψ)(r, t) = −i Ψ(r, t),
т.е. действие операторов координат x,ˆ y,ˆ zˆ сводилось к умножению волновой функции на сами координаты, а действие операторов проекций импульса — к дифференцированию волновой функции по координатам. Вместо этого, в формуле (16.54) производится интегрирование волновой функции с матричными элементами оператора1. Покажем, однако, что формула (16.54) дает старые привычные правила
для ˆ и ˆ.
r p
Напомним, что координатное представление является собственным представле-
нием для операторов xˆ, yˆ, zˆ, т. е.
ˆ
|r
= r |r .
(16.56)
r
Поэтому матрица оператора ˆ оказывается, как и должно быть, диагональной:
r
ˆ
| r
= r δ(r
− r
).
(16.57)
r | r
Подставляя это выражение в (16.54) и вспоминая основное свойство дельтафункции, приходим к первому равенству (16.55).
1В математике говорят, что формула (16.54) определяет интегральное преобразование волновой функции.
221
Покажем теперь, что для оператора импульса мы также получаем старое правило, если определим матричные элементы этого оператора формулой
ˆ
| r
= −i
− r
(16.58)
r | p
δ(r
),
где = ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z означает дифференцирование по проекциям r. В
{ }
формулу (16.58) входят производные дельта-функции, которые пока не встречались. Так как сама дельта-функция относится к обобщенным функциям (см. раздел 5.6.), то и ее производные естественно определить как обобщенные функции, т. е. через интегралы с обычными гладкими функциями. Мы ограничимся определением производной дельта-функции δ (x − x0) от одного аргумента x. Обобщение на случай нескольких переменных оставим читателю. По определению,
+∞
δ (x − x0) f (x) dx = −f (x0).
−∞
Легко заметить, что это правило соответствует хорошо известному приему “интегрирования по частям”. Аналогично определяются производные дельта-функции δ(n)(x − x0) высших порядков.
Согласно общему правилу (16.54) действия оператора на волновую функцию в координатном представлении, имеем
(pˆΨ)(r, t) =
r |pˆ|r Ψ(r , t) d3r =
=
−i δ (r − r ) Ψ(r , t) d3r
= i Ψ(r, t).
−
Таким образом, в координатном представлении общая схема квантовой механики, предложенная Дираком, эквивалентна волновой механике Шредингера.
Импульсное представление. В импульсном представлении в качестве базисных состояний берутся собственные состояния оператора импульса частицы. Обозначим эти состояния |p ≡ |px, py, pz . Для определенности будем считать, что
спектр импульса непрерывный1.
Волновую функцию частицы Φ(p, t) = p |Ψ(t) в импульсном представлении2 можно выразить через Ψ(r, t) с помощью соотношения (16.23), где следует поло-
жить b = p и a = r:
p | r Ψ(r, t) d3r.
Φ(p, t) =
(16.59)
Интегрирование по каждой из переменных x, y, z ведется от −∞ до +∞, так как мы предположили, что частица движется в неограниченной области. Остается найти матрицу преобразования p | r от координатного представления к импульсному. Проще, однако, найти сначала матрицу r | p , а потом воспользоваться
1Это означает, что частица движется в неограниченной области пространства (см. раздел 5.7.).
2Чтобы не спутать ее с волновой функцией Ψ в координатном представлении, мы обозначаем эту функцию буквой Φ.
