1.10. Нелинейная связь между переменными

Разумеется, связь между конкретными экономическими факторами вовсе не обязана быть линейной.

Например, если мы рассматриваем зависимость от располагаемого дохода не всех затрат на личное потребление, а лишь затратна некоторыйпродукт питания(или группу продуктов питания), например, на куриные яйца, то уже по чисто физиологическим причинам функция связи

скорее всего, должна замедлять свой ростпри возрастании, так что возможный график этой функции имеет вид

В такой ситуации нельзя говорить о склонности к потреблению данного продукта как о постоянной величине. Вместо этого, в рассмотрение вводят понятиепредельной (marginal) склонности к потреблению (MPC), которая для заданной величинырасполагаемого дохода определяется формулой

Иначе говоря,

Замедление скорости роста функции соответствуетубываниюс возрастанием.Уточняя предположения о поведении, можно получить ту или иную форму связи между переменнымии .

Среди прочих возможных форм связи между и отметимстепенную связь

в которой . Для такой связи

так что предельная склонность к потреблению монотонно убываетс ростом.

Степенную форму связи можно привести к линейной форме, если вместо уровней дохода и расходов на потребление рассмотреть логарифмы уровнейпо какому-нибудь (но одному и тому же!) основанию (например, натуральные или десятичные логарифмы).

Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаем соотношение

или, обозначая

Линейной модели связи в логарифмах соответствует линейная модель наблюдений

которую мы уже умеем оценивать.

Заметим, что коэффициент в последних выражениях есть не что иное как

эта величина не зависит от выбора основания логарифмов, так что

где используются натуральные логарифмы.

Вообще, если мы имеем связь между какими-то переменными экономическими факторами и в виде

то мы определяем функцию

как предельную склонность Y по отношению к X.

В экономической теории существенную роль играет функция эластичности, определяемая как предел

отношения процентногоизменения кпроцентномуизменению, когда последнеестремится к нулю. Правую часть последнего соотношения можно записать в виде

Заметим также, что

так что

Значение равно угловому коэффициенту касательной к графику функциипри, тогда как значениеравно угловому коэффициенту касательной к графику зависимостиотпри. Как следствие, условие постоянства, т. е., означаетлинейную связь между уровнями факторов

а условие постоянства эластичности означаетлинейную связь между логарифмами уровней

соответствующую степенной связи между уровнями

выражающей степенное возрастание (при ) или убывание (при) уровней факторапри возрастании уровней фактора.

Заметим, что если , то эту постоянную можно трактовать какпроцентное изменение уровня фактора при изменении фактора на 1%.

Отметим также, что в модели функция эластичности имеет вид

и при возрастает отдос возрастанием значенийотдо. Если , то . При функция эластичности убывает от до, когдаизменяется от до.

К линейной форме связи можно привести и некоторые другие виды зависимости, характерные для экономических моделей.

Так, если — объем плановых инвестиций, а — норма процента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена в форме

и имет графическое представление

Заменой переменной приводим указанную связь к линейной формеВ этой модели эластичностьпоотрицательна именьше единицы по абсолютной величине:

(«объем плановых инвестиций неэластиченпо отношению к норме процента»).

В моделях «доход — потребление», относящихся к потреблению продуктов питания, линейная модель в логарифмах уровней, выражающая уменьшениес возрастанием, все жене всегда удовлетворительна, посколькуэластичность в такой модели постоянна. Опять же по чисто физиологическим причинам, скорее более подходящей будет модель связи субывающей(в конечном счете)эластичностью. Такого рода связь между факторами и может иметь вид

(См. следующий график, построенный при  5,  10.)

Действительно,

однако, здесь возникают проблемы с отрицательными значениями при малых значениях.

Последнего недостатка нет в модели

т. е.

(График построен при значениях  0.1, 1.) Здесь

(закон Энгеля убывания эластичности потребления продуктов питания по доходу).

Обе последние модели сводятся к линейной форме связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или обратным величинам.

Замечание

Если исследователь принимает модель наблюдений

то тем самым, он соглашается тем, что

или

т. е. соглашается с мультипликативным вхождением ошибок в нелинейное уравнениедля.

В то же время, не исключено, что по существу дела модель должна иметь вид

т. е. имеет аддитивные ошибки. В последнем случае взятие логарифмов от обеих частейне приводит к линейной модели наблюдений. В такой ситуации оценки наименьших квадратов параметрови приходится получатьитерационными методами, в процессе реализации которых производитсяпоследовательное приближение к минимуму суммы квадратов