1.11. Пример подбора моделей нелинейной связи, сводящихся к линейной модели.

Суть политики Кеннеди-Джонсона (Джон Кеннеди — президент США с 1961 по 1963 г., Линдон Джонсон — президент США с 1963 по 1969 г.) состояла в сокращении налогов, увеличении расходов на оборону и ускорении роста количества денег в обращении. Предполагалось, что это вызовет оживление экономики США и будет способствовать снижению нормы безработицы (т. е. доли безработных в общей численности рабочей силы). Ожидалось также, что возрастание темпов инфляции будет при этом не очень сильным.

Рассмотрим прежде всего диаграмму рассеяния для переменных UNJOB (процент безработных в общей численности рабочей силы) иINF (темп инфляции):

Облако рассеяния довольно округло, и это согласуется с весьма низким значением коэффициента детерминации , получаемым при подборе модели линейной зависимости от.

Форма облака рассеяния не указывает и на какой-либо другой тип зависимости между этими двумя переменными на периоде наблюдений с 1958 по 1984 год.

В то же время, в период с 1961 по 1969 год наблюдалась следующая картина.

Год	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968	1969
INF	1.0	1.1	1.2	1.3	1.7	2.9	2.9	4.2	5.4
UNJOB	6.5	5.4	5.5	5.0	4.4	3.7	3.7	3.5	3.4

Характер диаграммы рассеяния явно указывает на наличие нелинейной связимежду рассматриваемыми переменными в период с 1961 по 1969 год(кривая Филлипса). Изображенная на диаграмме прямая, подобранная методом наименьших квадратов, очевидным образомне соответствует характеру статистических данных, хотя значение коэффициента детерминациии представляется достаточно высоким. (Позднее мы сможем более квалифицированно говорить о том, действительно ли получаемое при подборе модели значение коэффициента детерминации достаточно велико.) В связи с этим, при подборе моделей к реальным статистическим данным следует обращать внимание не только на коэффициент детерминации, но и (обязательно!) на соответствие подобранной модели характеру статистических данных. Далее мы специально обсудим эту проблему, известную какпроблема адекватностиполученной модели имеющимся статистическм данным.

Поскольку, на первый взгляд, расположение точек напоминает график обратной пропорциональной зависимости, можно попробовать рассмотреть модель наблюдений

соответствующую линейной связимежду переменными и. Подбор такой связи приводит к модели

с достаточно высоким коэффициентом детерминации . Однако, характер диаграммы рассеяния переменныхи

указывает на неадекватность и этой модели.

Обратившись еще раз к диаграмме рассеяния исходных переменных и (для данных за 1961—1969 годы), можно заметить, что кривая зависимости от по-видимому имеетвертикальнуюасимптоту. Учесть последнее обстоятельство можно в рамкахмодели Michaelis-Menton

которую можно преобразовать к виду

учитывающему наличие и вертикальной и горизонтальной асимптот. Такая модель связи линеаризуется переходом к обратным величинам,. Действительно, тогда

где

Диаграмма рассеяния для обратных величин ,имеет вид

Теперь уже точки на диаграмме рассеяния весьма хорошо следуют прямой линии, подобранной методом наименьших квадратов:

. Здесь , так что,, и оцененная модель Michaelis-Menton имеет вид

Модель Michaelis-Menton хороша тем, что учитывает наличие асимптот и линеаризуется. С другой, стороны, она является лишьчастным случаемболее общей модели связи

с тремя свободно изменяющимися параметрами. Действительно, в моделиMichaelis-Menton

и она только двухпараметрическая, так что модель с тремя свободными параметрами являетсяболее гибкой. Но, вместе с тем, трехпараметрическая модель ужене линеаризуется, и параметрыприходится оценивать, используя итерационную процедуру последовательного уменьшения суммы квадратов

(Конечно, в предположении аддитивности ошибок.) «Стартовые» значения параметровв этой процедуре можно взять близкими к оценкам, полученным при оценивании предыдущей модели, например,, а стартовое значениеможно положить равным.

Реализация итерационной процедуры приводит к следующим оценкам параметров:

при этом, . Оцененная модель имеет вид

На следующей диаграмме показаны наблюдаемые значения переменной INF (INFtrue) и значения (INFmodel), получаемые по оцененной модели.

Подобранная модель показывает, что экспансионистские экономические мероприятия первоначально обеспечивают снижение нормы безработицы и реальный экономический рост при умеренной инфляции. Однако, удержать норму безработицы ниже ее естественного значения в течение продолжительного времени можно лишь за счет постоянно ускоряющегося темпа инфляции. К окончанию срока пребывания у власти Линдона Джонсона темп инфляции начал стремительно возрастать, что потребовало смены экономической политики.

Соответственно, наблюдать кривые Филлипса в указанном виде удается только на краткосрочных интервалах.