1.2. Две переменные: меры изменчивости и связи

В приводимой ниже таблице 1.2 указаны уровни безработицы (в %) среди белого и цветного населения США в период с марта 1968 г. по июль 1969 г. (месячные данные). В первом столбце расположены номера последовательных наблюдений (для марта 1968 г.,=17 для июля 1969 г.), во втором столбце - значенияуровня безработицы среди белого населения в-ом месяце, а в третьем - значенияуровня безработицы среди цветного населения в-ом месяце.

Табл. 1.2

i	BEL	ZVET	i	BEL	ZVET
1	3.2	6.9	10	3.0	6.5
2	3.1	6.7	11	3.0	6.0
3	3.2	6.5	12	2.9	5.7
4	3.3	7.1	13	3.1	6.0
5	3.3	6.8	14	3.1	6.9
6	3.2	6.4	15	3.1	6.5
7	3.2	6.6	16	3.0	7.0
8	3.1	7.3	17	3.2	6.4
9	3.0	6.5

Рассмотрим, прежде всего, графики изменения уровней безработицы в обеих группах в течение указанного периода времени (Рис. 1.2).

Первое впечатление от просмотра этих графиков - уровень безработицы среди цветного населения существенно выше и изменяется со временем со значительными колебаниями; уровень безработицы среди белого населения изменяется плавно и в довольно узком диапазоне.

Рис. 1.2

Для того, чтобы использовать обозначения, соответствующие общепринятой практике, мы обозначим через последовательно наблюдаемые уровни безработицы среди цветного населения, а через- соответствующие им уровни безработицы среди белого населения США, так что мы можем говорить о наблюдаемых значениях двух переменных: переменной- уровня безработицы среди цветного населения, и переменной - уровня безработицы среди белого населения.

Наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности и, являются их средние значения (means)

а также дисперсии(точнее,выборочные дисперсии - sample variances)

характеризующие степень разброса значений() вокруг своего среднего(, соответственно), иливариабельность (изменчивость)этих переменных на множестве наблюдений. Отсюда обозначениеVar (variance). Впрочем, более естественным было бы измерение степени разброса значений переменных в тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная. Эту задачу решает показатель, называемыйстандартным отклонением (standard deviance - Std.Dev.)переменной(переменной), определяемый соотношением

(соответственно).

Вычисления по указанным формулам приводят к значениям =,=;,=. Иными словами, уровень безработицы среди цветного населения, в среднем, более, чем в два раза превышает уровень безработицы среди белого населения. Стандартные отклонения, соответственно, относятся приблизительно как 4:1, что указывает на гораздо более сильную изменчивость (“вариабельность”) уровня безработицы среди цветного населения. Размахи колебаний уровней равны, соответственно, 7.3 - 5.7 = 1.6 и 3.3 - 3.1 = 0.2.

Удобным графическим средством анализа данных является диаграмма рассеяния (scatterplot),на которой в прямоугольной системе координат располагаются точки,i = 1, 2, ...,n, гдеn - количество наблюдаемых пар значений переменныхи. В нашем примереn = 17, и диаграмма рассеяния имеет вид

Рис. 1.3

Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение о том, что существует некоторая объективная тенденция линейной связи между значениями переменныхи, выражаемой соотношением

где — уровень безработицы среди цветного, а— среди белого населения. В то же время, указанное соотношение выражает всего лишьтенденцию: реально наблюдаемые значенияотличаются от значений на величину

так что

Последнее соотношение определяет линейную модель наблюдений, тогда как соотношение

определяет линейную модель связи между рассматриваемыми переменными.

Заметим, однако, что видимая степень проявления вытянутости облака точек на диаграмме рассеяния (при наличии линейной связи между переменными) существенно зависит от выбора единиц измерения переменных и. Поэтому, во-первых, желательно при построении диаграммы выбирать масштабы и интервалы изменения переменных таким образом, чтобы диаграмма имела вид квадрата и чтобы на диаграмме имелись точки, достаточно близко расположенные к каждой из четырех границ квадрата. Во-вторых, желательно иметь какие-то числовые характеристики, которые отражали быдействительное наличие вытянутости облака точек вдоль наклонной прямой ине зависели от шкал, в которых представлены значения переменных.

Одна из характеристик такого рода связана с разбиением диаграммы рассеяния горизонтальной и вертикальной прямыми на 4 прямоугольника.

Разбивающие диаграмму прямые (секущие) проводятся через точку так что если точкалежит правее вертикальной секущей, то отклонениеимеет знак плюс, а если левее, то знак минус. Аналогично, если точкалежит выше горизонтальной секущей, то отклонениеимеет знак плюс, а если она расположена ниже этой секущей, то знак минус (см. Рис. 1.4).

Рис. 1.4

Пусть — количество таких точек среди, для которыхи(верхний правый прямоугольник); _— количество точек, для которыхи(нижний правый прямоугольник);— количество точек, для которыхи(верхний левый прямоугольник);- количество точек, для которыхи(нижний левый прямоугольник). В нашем примере,,,(точки, соответствующие наблюдениям с номерами 6 и 17, имеют совпадающие координаты),(точки, соответствующие наблюдениям с номерами 9 и 10, имеют совпадающие координаты), так что количество точек с совпадающими знаками отклоненийи равно, а количество точек, у которых знаки отклонений различны, равно.

Количество точек с совпадающими знаками отклонений от средних значений составляет 10/17=0.59, т. е. около 59% общего числа точек, и это служит некоторым указанием на наличие вытянутости облака точек в направлении прямой, имеющей положительный угловой коэффициент. Если бы большинство составляли точки с противоположными знаками отклонений от средних значений, то это служило бы объективным указанием на наличие вытянутости облака точек в направлении прямой, имеющейотрицательный угловой коэффициент. Последняя ситуация часто наблюдается при рассмотрении зависимости спроса на товар от его цены.

Более распространенным является определение степени выраженности линейной связи между произвольными переменными и , принимающими значенияи,, посредством(выборочного) коэффициента корреляции (sample correlation coefficient)

Величина стоящая в числителе, определяется соотношением

и называется (выборочной) ковариацией переменных и , так что, формально,

Если указанная тенденция выражена на диаграмме рассеяния довольно ясно, то значения по абсолютной величине близки к единице (т. е. значенияблизки к +1 или к –1). Если же наличие линейной тенденции связи обнаруживается на диаграмме рассеяния с трудом, то тогда значения близки к нулю. Как мы увидим позднее, значенияужене зависят от выбора шкал измерения переменныхи (если, конечно, эти шкалылинейны).

В нашем примере ,,, откуда находим

т. е. получаем значение , расположенное приблизительно посередине между 0 и 1.

Замечание

Мы определили Var и Cov, деля соответствующие суммы квадратов на n-1. Это имеет свое объяснение, которое пока выходит за рамки нашего обсуждения. Вместе с тем, в разных руководствах по эконометрике Var и Cov определяются по-разному. Деление на n - 1 используется, например, в книгах Доугерти (1997), Айвазяна и Мхитаряна (1998), тогда как в книге Магнуса, Катышева и Пересецкого (1997) соответствующие суммы квадратов делятся не на n - 1, а на n. К счастью, и Cov и Var будут играть у нас лишь вспомогательную роль, а величина более существенного для нас коэффициента корреляции r_xy не зависит от того, каким из двух способов мы будем определять Var и Cov, лишь бы только при определении обеих этих характеристик использовался один и тот же способ.