3.2. Проверка адекватности подобранной модели имеющимся статистическим данным: формальные статистические процедуры

Помимо графических, существует довольно много процедур, предназначенных для проверки выполнения стандартных предположений о линейной модели наблюдений, использующих статистические критерии проверки гипотез. Мы остановимся только на нескольких таких процедурах. В каждой из этих процедур в качестве нулевой гипотезы берется гипотеза

.

Однако приспособлены соответствующие критерии для выявления специфическихнарушений стандартных предположений, что делает каждый из критериев особо чувствительным именно к тем нарушениям, на которые он «настроен».

Критерий Голдфелда-Квандта (Goldfeld-Quandt). Если графический анализ остатков указывает на возможную неоднородность дисперсий ошибок, то

наблюдения, насколько это возможно, упорядочиваютв порядке предполагаемоговозрастания дисперсий случайных ошибок;

отбрасывают центральных наблюдений (для более надежного разделения групп с малыми и большими дисперсиями случайных ошибок), так что для дальнейшего анализа остаетсянаблюдений;

производят оценивание выбранной модели отдельнопо первыми по последнимнаблюдениям;

вычисляют отношение остаточных сумм квадратов, полученных при подборе модели по последним(остаточная сумма квадратов) и по первым(остаточная сумма квадратов) наблюдениям.

При принятии решения учитывают, что если все же , (дисперсии однородны) и выполнены остальные стандартные предположения о модели наблюдений, включая предположение о нормальности ошибок, то тогда отношение

имеет— распределение Фишерас

и степенями свободы.

Гипотеза

, (дисперсии однородны)

отвергается, если вычисленное значение-отношения «слишком велико», т. е.превышает критический уровень

соответствующий выбранному уровню значимости .

Критерий Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson). Этот критерий применяется, когда наблюдения производятся последовательно во времени, с равными интервалами, и график изменения остатков во времени указывает на наличиеавтокоррелированностислучайных составляющихмодели наблюдений. Предполагается, что эта автокоррелированность определяется соотношением

где , а— независимые в совокупности случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение, причемне зависит статистически отдля.

Статистика Дарбина-Уотсона определяется соотношением

где — остатки, получаемые при оценивании линейной модели наблюдений.

В качестве нулевой гипотезы здесь берется гипотеза

соответствующая (при нашем предположении о нормальности распределения случайных ошибок) независимости в совокупности случайных величин . В качестве альтернативной при анализе экономических данных чаще всего используют гипотезу

соответствующую положительной автокоррелированности случайных величин (т. е.тенденции преимущественного сохранения знакаслучайной ошибки при переходе от-го наблюдения к-му).

Статистика принимает значения в интервале от до .Рассматриваемая как случайная величина она имеетпри гипотезе(т. е. если эта гипотезаверна) функцию плотности,симметричную относительно точки— середины этого интервала. Если в действительностито тогда значения статистики тяготеют к левой границе интервала. Поэтому, в соответствии с общим подходом к построению односторонних статистических критериев, мы должны были бы для выбранного нами уровня значимостинайти соответствующее ему критическое значениеиотвергать гипотезув пользупри выполнении неравенства.

Однако распределение статистики Дарбина-Уотсона зависит не только оти, но также и от конкретных значенийобъясняющих переменных, что делает неосуществимым построение таблиц критических значений этого распределения. Дарбин и Уотсон преодолели это затруднение следующим образом. Они нашли (при различных значенияхи)нижнюю и верхнюю границыинтервала, в котором только и могут находиться критические значениястатистики Дарбина-Уотсона, независимо от того, каковы конкретные значения . Иными словами,

где и не зависят от конкретных значений , а определяются только количеством наблюдений, количеством объясняющих переменных и установленным уровнем значимости критерия.

Гипотеза

отвергается в пользу гипотезы , если;

не отвергается, если.

Если же

то никакого вывода относительно справедливости или несправедливости гипотезы не делается.

При соблюдении этих правил вероятность ошибочного отвержения гипотезыне превосходит заданного уровня значимости.

Критерий Жарка-Бера (Jarque-Bera). Этот критерий используется в ряде пакетов статистического анализа данных (например, в EVIEWS) дляпроверки гипотезынормальности ошибокв модели наблюдений, точнее,



(значение не конкретизируется). Если эта гипотеза верна,топри большом количестве наблюденийстатистика

имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы , функция плотности которого имеет вид

Здесь «sample skewness» — выборочный коэффициент асимметрии,

«sample kurtosis» — выборочный коэффициент эксцесса,

где

и — остатки, полученные при оценивании модели.

Если распределение ошибок действительно является нормальным, то значения выборочного коэффициента асимметрииблизки к нулю, а значения выборочного коэффициента эксцессаблизки к .

Существенное отличие выборочного коэффициента асимметрии от нуля указывает на несимметричность(относительно нуля) графика функции плотности распределения ошибок («скошенность» распределения). Существенное отличие отвыборочного коэффициента эксцесса указывает на не характерные для нормального распределения«островершинность» (при значении этого коэффициента, большем трех) или излишнюю «сглаженность» (при значении этого коэффициента, меньшем трех) графика функции плотности распределения ошибок.

При нарушении условия нормальности распределения ошибок значения статистики имеют тенденцию к возрастанию. Поэтому гипотеза нормальности ошибокотвергается, если значения этой статистики «слишком велики», а именно, если

где — квантиль распределения, соответствующая уровню.

Замечание. Критерии Дарбина-Уотсона и Голдфелда-Квандта являютсяточными, в том смысле, что они непосредственно учитывают количество наблюдений. В противоположность этому, критерий Жарка-Бера являетсяасимптотическим критерием: распределение статистикихорошо приближается распределениемтолько прибольшом количестве наблюдений. Поэтому вполне полагаться на результаты применения критерия Жарка-Бера можно только в таких ситуациях. Помимо критерия Жарка-Бера в специализированные пакеты программ статистического анализа данных часто встраиваются и другие асимптотические критерии, например, критерии Уайта и Бройша-Годфри, которые рассматриваются ниже.

Критерий Бройша-Годфри (Breusch-Godfrey). Этот критерий используется в ряде пакетов статистического анализа данных (например, в EVIEWS) дляпроверки гипотезынекоррелированности ошибокв модели наблюдений

При наших предположениях это соответствует гипотезе независимости в совокупности случайных величинНапомним, что критерий Дарбина — Уотсона основан на рассмотрении модели наблюдений, в которой случайные составляющиесвязаны соотношением

где , а— независимые в совокупности случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение. В такой модели наблюдений случайные составляющие, разделенные двумя или более периодами времени и очищенные от влияния промежуточных, оказываютсянезависимыми.

Критерий Бройша-Годфри допускает зависимость случайных составляющих, разделенныхпериодами времени и также очищенных от влияния промежуточных; соответствующая модель зависимости имеет вид

Статистика этого критерия равна , где- коэффициент детерминации, получаемый при оценивании модели

а - остатки, полученные при оценивании основной модели наблюдений. (Недостающие значениязаменяются нулями.)

В рамках последней модели проверяется гипотеза

Если эта гипотеза верна, то при большом количестве наблюденийстатистика критерия имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат сстепенями свободы. Гипотезаотвергается при заданном уровне значимости, есливычисленноезначениепревышает критическоезначение, равное квантили уровняуказанного распределения, т. е. если

Конечно, при интерпретации результатов применения критерия Бройша-Годфри следует помнить, что этот критерий асимптотический, тогда как критерий Дарбина-Уотсонаточный. Однако возможность применения критерия Дарбина-Уотсона ограничивается тем, что

он допускает зависимость «очищенных» случайных ошибок только на один шаг, т. е. ;

он неприменим в ситуациях, когда в число объясняющих переменных включаются запаздывающие значения объясняемой переменной.

Критерий же Бройша-Годфри свободен от этих ограничений.

Критерий Уайта (White). Этот критерий используется в ряде пакетов статистического анализа данных (например, в EVIEWS) дляпроверки однородности дисперсий ошибокв модели наблюдений

Критерий имеет два варианта.

Вариант I. В рамках модели

где - остатки, полученные при оценивании основной модели наблюдений, проверяется гипотеза

Статистика критерия равна , где- коэффициент детерминации, получаемый при оценивании последней модели.

Если указанная гипотеза верна, то при большом количестве наблюденийстатистика критерия имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат сстепенями свободы. Гипотезаотвергается при заданном уровне значимости, есливычисленноезначениепревышает критическоезначение, равное квантили уровняуказанного распределения, т. е. если

Вариант II. В рамках модели

где - остатки, полученные при оценивании основной модели наблюдений, проверяется гипотеза

Статистика критерия равна , где- коэффициент детерминации, получаемый при оценивании последней модели.

Если указанная гипотеза верна, то при большом количестве наблюденийстатистика критерия имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат сстепенями свободы. Гипотезаотвергается при заданном уровне значимости, есливычисленноезначениепревышает критическоезначение, равное квантили уровняуказанного распределения, т. е. если

Как и в случае критерия Бройша-Годфри, при интерпретации результатов применения обоих вариантов критерия Уайта следует помнить, что этот критерий асимптотический.

Замечание. При описании критериев Уайта мы неявно предполагали, что. Если постоянная не включена в исходную модель наблюдений, то в моделях, оцениваемых на втором шаге обоих вариантов критерия Уайта, суммирование следует производить, начиная с.