1.12. Линейные модели с несколькими объясняющими переменными

Рассмотрим статистические данные о потреблении текстиля (текстильных изделий) в Голландии в период между двумя мировыми войнами с 1923 по 1939 годы. В приведенной ниже таблице T — реальное потребление текстиля на душу населения,DPI — реальный располагаемый доход на душу населения,P — относительная цена текстиля. Все показатели выражены в индексной форме, в процентах к 1925 году.

Год	T	DPI	p		Год	T	DPI	p
1923	99.2	96.7	101.0		1932	153.6	105.3	65.4
1924	99.0	98.1	100.1		1933	158.5	101.7	61.3
1925	100.0	100.0	100.0		1934	140.6	95.4	62.5
1926	111.6	104.9	90.6		1935	136.2	96.4	63.6
1927	122.2	104.9	86.5		1936	168.0	97.6	52.6
1928	117.6	109.5	89.7		1937	154.3	102.4	59.7
1929	121.1	110.8	90.6		1938	149.0	101.6	59.5
1930	136.0	112.3	82.8		1939	165.5	103.8	61.3
1931	154.2	109.3	70.1

Для объяснения изменчивости потребления текстиля в указанном периоде мы можем привлечь в качестве объясняющей переменной как располагаемый доход DPI, так и относительную цену на текстильные изделияP. Если исходить из предположения опостоянстве эластичностейпотребления текстиля по доходу и цене, то тогда следует подбирать линейные моделидля логарифмовиндексов, а не для самих индексов. Подбор таких моделей методом наименьших квадратов приводит к следующим результатам (использовались десятичные логарифмы):

Вторая модель, несомненно, лучшеописывает наблюдаемую динамику потребления текстиля. Однако, естественно возникает вопрос о том, нельзя ли для объяснения изменчивости переменнойТ использоватьодновременно и располагаемый доход и относительную ценутекстиля, улучшит ли это объяснение изменчивости потребления текстиля.

Чтобы привлечь для объяснения изменчивости потребления текстиля обе переменныеDPI иT, мы рассматриваеммодель линейной связи логарифмовэтих величин

и соответствующую ей модель наблюдений

Оценки параметров можно опять находитьметодом наименьших квадратов, путем минимизации по всем возможным значениям суммы квадратов

Минимум этой суммы достигается на некотором наборе так что

Это минимальное значение мы опять обозначаем

и называем остаточной суммой квадратов.

Коэффициент детерминации определяется, как и в модели связи между двумя переменными:

Здесь

где

При этом,

где

так что

(и опять, разложение справедливотолько при включении постоянной составляющей в правую часть соотношения, определяющего линейную модель связи). При этом также

т. е. коффициент детерминации равен квадрату (обычного) выборочного коэффициента корреляции между переменнымии

Разности

называются остатками.

По поводу получения явных выражений для оценок наименьших квадратов мы поговорим несколько позднее, а сейчас просто приведем результаты оценивания для нашего примера:

Мы видим, что в результате привлечения для объяснения изменчивости потребления текстиля сразу двухпоказателей и произошло заметноеувеличениекоэффициента детерминации по сравнению с лучшей из двух моделей, использовавших только один показатель — от значения до значения .

Коэффициент в подобранной модели связи интерпретируется здесь какэластичностьпотребления текстиляпо доходупри неизменном значении относительной цены на текстиль, а коэффициент — какэластичностьпотребления текстиляпо относительным ценампри неизменном уровне дохода. Такие значения коэффициентов говорят в пользу того, что потребление текстиляэластично по доходаминеэластично по ценам. Вопрос о том, в какой степени можно доверять подобным заключениям, мы рассмотрим далее в контекстевероятностных моделей.