В.П.Носко

Эконометрика

Введение в регрессионный анализ временных рядов

Москва

2002

Оглавление

Оглавление

Введение Глава 1. Особенности регрессионного анализа для стохастических объясняющих

переменных

Глава 2. Стационарные ряды. Модели ARMA 2.1. Общие понятия.

2.2.Процесс белого шума

2.3.Процесс авторегрессии

2.4.Процесс скользящего среднего

2.5.Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего (процесс авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего)

2.6.Модели ARMA, учитывающие наличие сезонности

Глава 3. Подбор стационарной модели ARMA для ряда наблюдений 3.1. Идентификация стационарной модели ARMA

3.2.Оценивание коэффициентов модели

3.3.Диагностика оцененной модели

Глава 4. Регрессионный анализ для стационарных объясняющих переменных 4.1. Асимптотическая обоснованность стандартных процедур

4.2.Динамические модели

4.3.Векторная авторегрессия

4.4.Некоторые частные случаи динамических моделей Глава 5. Нестационарные временные ряды

5.1. Нестационарные ARMA модели

5.2.Проблема определения принадлежности временного ряда классу TS рядов или классу DS рядов

5.3.Различение TS и DS рядов в классе моделей ARMA. Гипотеза единичного корня. Глава 6. Процедуры для различения TS и DS рядов

6.1. Предварительные замечания

6.2.Критерии Дики – Фуллера

6.3.Расширенные критерии Дики - Фуллера

6.4.Краткий обзор критериев Дики – Фуллера

6.5.Некоторые другие сочетания DGP и SM

6.6.Ряды с квадратичным трендом.

6.7.Многовариантная процедура проверки гипотезы единичного корня

6.8.Обзор некоторых других процедур

6.8.1. Критерий Филлипса – Перрона 6.8.2. Критерий Лейбурна

6.8.3.Критерий Шмидта – Филлипса.

6.8.4.Критерий DF-GLS

6.8.5.Критерий Квятковского – Филлипса – Шмидта – Шина (KPSS)

6.8.6.Процедура Кохрейна (отношение дисперсий)

6.9.Некоторые проблемы, возникающие при различении TS и DS гипотез

6.9.1.Коррекция сезонности

6.9.2.Протяженность ряда и мощность критерия

6.9.3.Проблема согласованности статистических выводов при различении TS и DS гипотез

6.9.4.Наличие нескольких единичных корней

6.10. Критерий Перрона и его обобщение

6.10.1. Критерий Перрона

6.10.2. Обобщенная процедура Перрона Глава 7. Регрессионный анализ для нестационарных объясняющих переменных 7.1. Проблема ложной регрессии

7.2.Коинтегрированные временные ряды. Модели коррекции ошибок

7.3.Проверка нескольких рядов на коинтегрированность. Критерии Дики – Фуллера

7.4.Оценивание коинтегрированных систем временных рядов

Глава 8. Процедура Йохансена 8.1. Оценивание ранга коинтеграции

8.2. Оценивание модели коррекции ошибок Заключение Список литературы Указатель

Документ1

Введение

В начальных курсах эконометрики, в том числе и в ранее изданном автором учебном пособии “Эконометрика для начинающих” [Носко (2000)], первоочередное внимание уделяется статистическим выводам в рамках классической нормальной

линейной модели наблюдений

yt = θ 1 xt1+θ 2 xt2+ …+θ p xtp + ε t , t = 1, 2, …, n ,

в которой предполагается, что значения объясняющих переменных xt1, xt2, …, xtp , t = 1, 2, …, n , фиксированы, а случайные составляющие ε 1, ε 2, …, ε n (“ошибки”) являются независимыми случайными величинами, имеющими одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией (такие предположения об ошибках мы называем “стандартными”). Далее обычно анализируются последствия различного типа нарушений таких предположений об ошибках и рассматриваются методы коррекции статистических выводов о коэффициентах модели при наличии соответствующих нарушений стандартных предположений.

Вупомянутом пособии обсуждались методы коррекции статистических выводов

•при наличии гетероскедастичности (неоднородности дисперсий ошибок);

•при наличии автокоррелированности ошибок;

•при наличии сезонности.

При этом сохранялось предположение о фиксированности значений объясняющих переменных.

Последнее предположение в совокупности со стандартными предположениями об ошибках удобно с чисто математической точки зрения: при таких предположениях оценки параметров, получаемые методом наименьших квадратов, имеют нормальное распределение, что, в свою очередь, дает возможность

•строить доверительные интервалы для коэффициентов линейной модели, используя квантили t -распределения Стьюдента;

•проверять гипотезы о значениях отдельных коэффициентов, используя квантили t -распределения Стьюдента;

•проверять гипотезы о выполнении тех или иных линейных ограничений на коэффициенты модели, используя квантили F-распределения Фишера;

•строить интервальные прогнозы для “будущих” значений объясняемой переменной, соответствующих заданным будущим значениям объясняющих переменных.

Вместе с тем, используемое в классической модели предположение о фиксированности значений объясняющих переменных в n наблюдениях означает, что мы можем повторить наблюдения значений объясняемой переменной при том же наборе значений объясняющих переменных xt1, xt2, …, xtp , t = 1, 2, …, n ; при этом мы получим другую реализацию (другой набор значений) случайных составляющих ε t , t = 1, 2, …, n , что приведет к значениям объясняющей переменной, отличным от значений y1, y2, …, yn , наблюдавшихся ранее.

С точки зрения моделирования реальных экономических явлений, предположение о фиксированности значений объясняющих пременных можно считать реалистическим

Документ1

лишь в отдельных ситуациях, связанных с проведением контролируемого эксперимента. Например, можно представить себе гипотетический эксперимент, в котором в течение определенного периода времени значения располагаемого месячного дохода n домохозяйств остаются неизменными и наблюдаются ежемесячные расходы этих домохозяйств на личное потребление. Величина этих расходов для каждого отдельного домохозяйства будет изменяться от месяца к месяцу за счет факторов, не известных исследователю в рамках проводимого эксперимента, а потому эта изменчивость, с точки зрения исследователя, носит “случайный” характер, что формально описывается включением в модель наблюдений случайной составляющей – “ошибки”.

Между тем в реальных ситуациях по большей части нет возможности сохранять неизменными значения объясняющих переменных. Более того, и сами наблюдаемые значения объясняющих переменных ( как и “ошибки”) часто интерпретируются как реализации некоторых случайных величин. В таких ситуациях становится проблематичным использование техники статистических выводов, разработанной для классической нормальной линейной модели.

В наиболее выраженной степени сказанное относится к моделям, в которых наблюдения развернуты во времени, т.е. производятся в последовательные моменты времени (годы, кварталы, месяцы, дни и т.п.). При этом значения отдельной объясняющей переменной в последовательные моменты времени образуют временной ряд, и если говорить опять о линейной модели наблюдений, то теперь уже такая модель связывает временные ряды, и это самым существенным образом сказывается на свойствах оценок коэффициентов линейной модели. Упомянем в связи с этим простую

в которой ε 1, ε 2, …, ε n – независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ 2.

Это линейная модель наблюдений, в которой в качестве значения объясняющей переменной xt в момент времени t выступает запаздывающее на одну единицу времени значение объясняемой переменной, т.е. xt = yt – 1.

Предполагая, что процесс порождения данных описывается такой моделью (с не известными нам значениями параметров β и σ ), мы можем получить для β оценку наименьших квадратов, которая вычисляется по формуле

t=2

Вотличие от ситуации, когда значения объясняющей переменной фиксированы,

теперь наблюдаемые значения объясняющей переменной сами являются реализациями случайных величин и выражаются через значения случайных величин ε t :

x1 = 0 ,

x2 = y1 = ε 1 ,

x3 = y2 = β y1 +ε 2 = β ε 1 +ε 2 ,

x4 = y3 = β y2 +ε 3 = β (β ε 1 +ε 2 ) +ε 3 = β 2ε 1 + β ε 2 +ε 3 ,

…

xn = yn – 1 = β n – 2 ε 1 + β n – 3 ε 2 + … +ε n – 1 .

Это приводит к тому, что на сей раз распределение оценки наименьших квадратов для параметра β не является нормальным, так что t- и F- статистики, используемые для статистических выводов в классической нормальной линейной модели, уже не имеют t- и F-распределений, соответственно.

Документ1

Более того, если в действительности в процессе порождения данных β = 1, так что мы имеем дело с популярной моделью случайного блуждания (выходящего из нуля),

yt = yt – 1 +ε t , t = 1, 2, …, n , y 0 = 0,

то тогда распределение (центрированной и нормированной) оценки наименьших квадратов для β не сближается с нормальным даже при неограниченном возрастании количества наблюдений. Иначе говоря, в такой модели оценка наименьших квадратов для β даже не является асимптотически нормальной. Впервые на этот факт было указано в работе [White (1958)], и это открытие привело впоследствии к полному пересмотру методологии эконометрического анализа статистических данных, представляемых в виде временных рядов.

На первый план вышло фундаментальное различие между TS (trend stationary) рядами (стационарными или стационарными относительно детерминированного тренда) и DS (difference stationary) рядами, приводящимися к стационарным только в результате однократного или многократного дифференцирования. Это различие определяется наличием у DS рядов так называемого стохастического тренда, собственно и приводящего к неприменимости стандартной асимптотической теории при работе с такими рядами. В создании и развитии асимптотической теории, учитывающей возможное наличие у рассматриваемых переменных стохастического тренда, приняло участие большое количество авторов, среди которых непременно следует упомянуть Dickey D.A., Fuller W.A, Granger C.W.J., Hansen B.E., Johansen S., Juselius K., Perron P., Phillips P.S.B., Sims C.A., Stock J.H., Watson M.W.J. Прекрасный обзор полученных в этом направлении результатов содержится в работе [Maddala G.S., Kim In-Moo (1998)]; см. также [Hatanaka M. (1996)].

В предлагаемом учебном пособии мы даем краткое введение в современные методы эконометрического анализа статистических данных, представленных в виде временных рядов, которые учитывают возможное наличие у рассматриваемых переменных стохастического тренда. Основные акценты, как и в работе [Носко (2000)], смещены в сторону разъяснения базовых понятий и основных процедур статистического анализа данных с привлечением смоделированных и реальных экономических данных. Вместе с тем, от читателя требуется несколько большая осведомленность в отношении вероятностно-статистических методов исследования. Предполагается, что читатель имеет представление о совместной функции распределения, многомерном нормальном распределении, методе максимального правдоподобия, свойстве состоятельности оценок, характеристиках статистических критериев (ошибки первого и второго рода, мощность), а также владеет методами регрессионного анализа в рамках начального курса эконометрики. Кроме того он должен иметь некоторое представление о комплексных числах и комплексных корнях полиномов.

Пособие написано на основании курса лекций, прочитанных автором в Институте экономики переходного периода.