на основании которой строим уточненную оценку для дисперсии инноваций

~1 ∑T ~

σp2, q = T t =1εt2 .

При этом предполагается, что сами инновации, зная точно коэффициенты ARMA

≥ q0 , что ведет к состоятельности оценок (~p, q~).

3.2. Оценивание коэффициентов модели

После того как произведена идентификация (стационарной) модели ARMA, т.е. на основании имеющихся наблюдений принято решение о значениях p, q в модели ARMA(p, q), порождающей данные, переходят к этапу оценивания коэффициентов модели. На этом этапе обычно используется метод максимального правдоподобия, который в конечном счете сводится к методу наименьших квадратов. За исключением некоторых наиболее простых случаев (например, модели AR(1)), эта задача решается итерационными методами, требующими задания некоторых “начальных” (“стартовых”) значений параметров, которые затем последовательно уточняются.

В качестве таких начальных значений можно использовать предварительные оценки, полученные на первом этапе. Такие начальные значения можно найти, приравнивая неизвестные “истинные” значения автокорреляций ρ(k) значениям r(k) выборочной автокорреляционной функции и используя функциональную связь между значениями ρ(k) и значениями коэффициентов модели. Например, если оценивается модель AR(p), то коэффициенты a1, …, ap определяются из системы первых p уравнений Юла – Уокера

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

в которые вместо неизвестных значений ρ(1), …, ρ(p) автокорреляций подставляются наблюдаемые (вычисляемые по реализации ряда) значения r(1), …, r(p) выборочных автокорреляций.

При оценивании моделей с MA(q) составляющей (q > 0) существенным оказывается условие обратимости, сформулированное в разд. 2.5. Покажем это на примере MA(1) модели

Xt – µ = εt + bεt–1 , t = 1, … , T .

Имея наблюдаемые значения x1, x2, … , xT , мы последовательно выражаем ε1, ε2, … , εT через эти значения и (ненаблюдаемое) значение ε0 :

ε1 = X1 – µ – bε0 ,

ε2 = X2 – µ – bε1 = X2 – µ – b(X1 – µ – bε0) = (X2 – µ) – b(X1 – µ) + b2 ε0,

…

εT = XT – µ – bεT – 1 = (XT – µ) – b(XT – 1– µ) + b2(XT – 2– µ) –

+(–1)T – 1 b T – 1 (X1 – µ) + (–1)T b T ε0 .

Максимизация (по b) условной функции правдоподобия, соответствующей наблюдаемым значениям x1, x2, … , xT при фиксированном значении ε0 , равносильна минимизации суммы квадратов

Q(b) = ε12 + ε22 + … + εT2 ,

которая является нелинейной функцией от b . Для поиска минимума этой суммы квадратов приходится использовать численные итерационные методы оптимизации, которые, в свою очередь, требуют задания начального (“стартового”) значения параметра b . Как мы уже говорили, такое стартовое значение может быть получено на этапе идентификации модели. Однако полученное в итоге итераций “оптимальное” значение b зависит от неизвестного нам значения ε0 , что затрудняет интерпретацию результатов. Задача интерпретации облегчается, если выполнено условие обратимости ‌ b ‌< 1, и при этом значение ‌b ‌существенно меньше 1.

Действительно, при выполнении этого условия можно просто положить ε0 = 0 . Эффект от такой замены истинного значения ε0 на нулевое быстро убывает, так что сумма квадратов, получаемая в предположении ε0 = 0, может служить хорошей аппроксимацией для суммы, получаемой при истинном значении ε0 , при достаточно большом количестве наблюдений. Те же аргументы пригодны и для модели MA(q) с q > 1 : в этом случае можно положить ε0 = ε–1 = … = ε − q +1 = 0 . Для получения более

точной аппроксимации, в пакетах статистических программ (в том числе и в EVIEWS) предусмотрена процедура (backcasting) , в которой процесс итераций включает в себя также и оценивание значений ε0 , ε–1 , … , ε − q +1 путем построения для них “обратного

прогноза”.

Если в результате оценивания получена модель, в которой условие обратимости не выполняется, рекомендуется повторить процедуру оценивания с использованием другого набора начальных значений.

Более подробное изложение процедур оценивания стационарных ARMA моделей методом максимального правдоподобия можно найти, например, в книге [Hamilton (1994)]. Там же можно прочитать о том, каким образом вычисляются приближения для стандартных ошибок оценок коэффициентов этих моделей, которые можно использовать при большом количестве наблюдений обычным образом.

В заключение необходимо только сделать одно важное замечание. Пусть мы имеем стационарную AR(p) модель

a(L) Xt = δ + εt .

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Мы уже говорили о том, что в этом случае математическое ожидание µ процесса Xt связано с константой δ соотношением

При этом можно сначала оценить коэффициенты a1, … , ap и δ , применяя обычный метод наименьших квадратов к модели

Xt = δ + a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ap Xt–p + εt ,

а затем, используя полученные оценки aˆ1, ..., aˆ p и δˆ , получить оценку для µ в

виде

Однако можно поступить и иначе, как это предусмотрено, например, в пакете EVIEWS (Econometric Views), используемом нами в последующих примерах. Именно, мы можем записать ту же модель в виде

Xt = µ (1 – a1 – a2 – …– ap) + a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ap Xt–p + εt

и одновременно оценивать и a1, … , ap и µ . Такая процедура теоретически более эффективна. Однако в такой форме модель оказывается нелинейной по параметрам, и это обстоятельство, как и при оценивании MA моделей, требует применения нелинейного метода наименьших квадратов (NLLS – nonlinear least squares) и численных итерационных методов оптимизации.

Пример

Рассмотрим данные о годовом потреблении рыбных продуктов в США (на душу населения, в фунтах).

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Коррелограмма, построенная по этим данным, имеет вид

Ориентируясь на указанные ранее приближенные критерии, прежде всего найдем значение 2/√T = 2/√20 = 0.447. Из полосы ± 0.447 не выходит ни одна из выборочных автокорреляций и частных автокорреляций. Поэтому с точки зрения этих критериев, мы не должны отвергать гипотезу о том, что наблюдаемый ряд порождается моделью

MA(0)

X0 = µ + εt .

С другой стороны, если ориентироваться на критерий Люнга – Бокса, то пик ACF на лаге 1 является статистически значимым. Это означает, что в качестве потенциальных моделей порождения данных можно предварительно рассматривать модели AR(1) и MA(1). Таким образом, мы сталкиваемся здесь с конфликтной ситуацией: статистические выводы, получаемые при использовании разных критериев, не соответствуют друг другу. Подобная ситуация не является чем-то исключительным и достаточно часто встречается при идентификации модели, порождающей наблюдаемый ряд, тем более, что используемые критерии – асимптотические, тогда как обычно в распоряжении исследователя имеется не слишком большое количество наблюдений.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Последнее обстоятельство связано в значительной степени с тем, что для многих экономических рядов периоды, на которых порождающая ряд модель может считаться стационарной, обычно непродолжительны из-за изменения общей экономической обстановки, в которой эволюционирует рассматриваемый ряд. Это соображение можно легко проиллюстрировать на примере того же самого ряда данных о потреблении рыбных продуктов в США, если привлечь дополнительно статистические данные за период с 1940 по 1945 годы (годы Второй мировой войны). Эволюция ряда на расширенном периоде с 1940 по 1965 годы представлена следующим графиком:

Провал траектории ряда в 1942 – 1944 г.г. не позволяет трактовать этот ряд как стационарный на всем периоде с 1940 по 1965 годы. Поэтому мы продолжаем далее рассматривать значения ряда только на послевоенном периоде – с 1946 по 1965 г.г.

Если остановиться на модели AR(1), то для нее, как мы знаем, ρ(1) = a1. Поэтому приравнивая неизвестное значение ρ(1) значению r(1) = 0.429, мы получаем предварительную оценку для неизвестного значения a1. В то же время, производя непосредственное оценивание модели AR(1) с ненулевым математическим ожиданием нелинейным методом наименьших квадратов, получаем следующие результаты.

Dependent Variable: X

Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947 1965

Included observations: 19 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations

В данной ситуации уточненная оценка практически совпадает с предварительной

уравнению b1/(1 + b12) = 0.429. Корни последнего уравнения равны 0.567 и 1.704.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm