6.8.2.Критерий Лейбурна

Вработе [Leybourne (1995)] предлагается вычислять значения статистики критерия

Дики – Фуллера DF для исходного ряда xt и для ряда, получаемого из исходного обращением времени, и затем взять максимум DFmax из двух полученных значений. Лейбурн изучил асимптотическое распределение статистики DFmax и построил таблицы критических значений при T = 25, 50, 100, 200, 400 для моделей с (линейным) трендом и без тренда. Таблицы получены моделированием в предположении независимости и одинаковой распределенности ошибок (инноваций). Однако автор утверждает, что ими можно пользоваться и в рамках расширенного варианта критерия Дики – Фуллера. Критерий Лейбурна обладает несколько большей мощностью по сравнению с критерием Дики – Фуллера.

Пример

При анализе стационарного ряда ST_3 по 100 наблюдениям мы получили значение статистики Дики – Фуллера DF = – 3.207 . Для обращенного ряда значение статистики Дики – Фуллера равно – 3.352. Максимум из этих двух значений, равный – 3.207, остается выше 5% критического уровня –3.45, рассчитываемого по таблицам Фуллера. Однако 5% критический уровень для максимума приблизительно равен (по Лейбурну)

– 3.15, и это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня для ряда ST_3 уже на 5% уровне.

6.8.3.Критерий Шмидта – Филлипса.

Вработе [Schmidt, Phillips (1992)] авторы строят критерий для проверки гипотезы DS (в форме гипотезы единичного корня) в рамках модели

xt =ψ +ξ t + wt ,

где

wt = β wt−1 +ε t , t = 2,...,T .

Это удобно тем, что здесь в любом случае (β = 1 или β ≠ 1) параметр ψ представляет уровень, а параметр ξ представляет тренд. При этом распределения статистик критерия и при нулевой (DS) и при альтернативной (TS) гипотезах не зависят от мешающих параметров ψ, ξ и σε . Асимптотические распределения выводятся при тех же условиях, что и в критерии Филлипса – Перрона, и при ширине окна l порядка T1/2. Вместо линейного тренда в модели можно использовать и полиномиальный тренд. Более полное описание этого критерия и таблицу критических значений можно найти в [Maddala, Kim (1998), стр.85]. Здесь мы ограничимся только рассмотрением примера его применения.

Пример

Опять обращаясь к анализу ряда ST_3 по 100 наблюдениям, находим значение статистики критерия Шмидта – Филлипса: – 3.12. В то же время, 5% критическое значение равно – 3.06. Это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня на 5% уровне.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

6.8.4. Критерий DF-GLS

Этот критерий, асимптотически более мощный, чем критерий Дики – Фуллера, был предложен в работе [Elliott, Rothenberg, Stock (1996)]. Критерий DF-GLS проверяет (см. [Maddala, Kim (1998)]) нулевую гипотезу a0 = 0 в модели

∆ydt= a0 ydt–1+a1∆ydt–1+ + ap∆ydt–p+error,

где ydt - “локально детрендированный” ряд (подробности см. в цитированной работе).

единичного корня отвергается на 5% уровне, причем более уверенно, чем в случаях критериев Лейбурна и Шмидта-Филлипса.

6.8.5. Критерий Квятковского – Филлипса – Шмидта – Шина (KPSS)

Этот критерий, предложенный в работе [Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin (1992)],

в качестве нулевой берет гипотезу TS. Рассмотрение ведется в рамках модели

Ряд = Детерминированный тренд + Стохастический тренд + Стационарная ошибка.

Стохастический тренд представляется случайным блужданием, и нулевая гипотеза предполагает, что дисперсия инноваций, порождающих это случайное блуждание, равна нулю. Альтернативная гипотеза соответствует предположению о том, что эта дисперсия отлична от нуля, так что анализируемый ряд принадлежит классу DS рядов. В такой формулировке предложенный критерий является LM критерием для проверки указанной нулевой гипотезы.

Как и в критерии Филлипса-Перрона, требования на ошибки здесь менее строгие, чем в критерии Дики - Фуллера. Однако при применении данного критерия возникает проблема выбора ширины окна l в оценке Newey-West, поскольку значения статистики критерия довольно чувствительны к значению l. Сами авторы в цитируемой статье рассматривают варианты выбора ширины окна, следующие рекомендациям Шверта (см. [Schwert (1989)]).

Подробное описание критерия KPSS можно найти вместе с таблицей критических значений в [Maddala, Kim (1998), стр.120-122].

Пример

При анализе ряда ST_3 по 100 наблюдениям значение статистики критерия KPSS с l = 3 равно 0.157. В рамках этого критерия нулевая гипотеза о том, что мы имеем дело с TS рядом, отвергается, если наблюдаемое значение статистики критерия превышает критический уровень. По таблицам, предусматривающим наличие линейного тренда, находим: 5% критический уровень равен 0.146, так что TS гипотеза отвергается в пользу DS гипотезы. Такой вывод противоречит статистическим выводам, полученным при применении критериев Лейбурна, Шмидта-Филлипса и DF-GLS, и иллюстрирует трудности с различением TS и DS рядов, имеющих похожие реализации.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

6.8.6. Процедура Кохрейна (отношение дисперсий)

Эта процедура, предложенная в работе [Cochrane (1998)], основывается на изучении характера поведения отношения дисперсий

VRk = Vk V1

(VR – variance ratio), где

Vk = 1k D(xt − xt−k ) .

Если xt − случайное блуждание, то тогда VRk = 1 , а если xt − процесс, стационарный

относительно линейного тренда (или просто стационарный), то тогда VRk → 0 при k →

∞.

При работе с реальными данными дисперсии заменяются их состоятельными оценками и полученное отношение умножается еще на T / (T − k + 1) для достижения несмещенности полученной оценки для VRk . Затем строится график значений полученных оценок для VRk при различных k = 1,…, K и по поведению этого графика делаются выводы о принадлежности ряда классу TS или DS, имея в виду различия в поведении этого графика для этих двух классов временных рядов.

Другой вариант работы с реальными данными состоит в использовании равносильного представления статистики отношения дисперсий VRk :

где rj − значение на лаге j автокорреляционной функции ряда разностей ∆xt = xt − xt–1

.

Пример

Обратимся опять к реализации ST_3 ряда, стационарного относительно линейного тренда, по которой оказалось затруднительным вынести определенное решение относительно принадлежности к классу TS или к классу DS модели, порождающей эту реализацию. Привлечем к решению этого вопроса процедуру Кохрейна.

VARRATIO

Поведение отношения дисперсий говорит в пользу TS гипотезы.

Для сравнения приведем аналогичный график отношения дисперсий для реализации WALK_2 случайного блуждания со сносом:

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm