Проверяется гипотеза H0: ϕ = 0. Оцененная модель: ∆xt = 47.069 + 0.00522 xt–1 + et ; t- статистика tφ = 0.335. Критическое (5%) значение tкрит = – 2.98 Î гипотеза единичного корня не отвергается.

xt = xt–1 + εt .

Интерпретация

Если мы соглашаемся с несомненной тенденцией возрастания совокупного располагаемого дохода с течением времени (по крайней мере, в США), то принятую нами на последнем шаге модель вряд ли можно считать удовлетворительной: случайное блуждание без сноса должно со временем обнаружить убывание значений ряда.

Возможная причина этого – неотклонение гипотезы H0: β = 0 на шаге 2. (Заметим, что там разница между наблюдаемым и критическим значениями t-статистики была довольно небольшой: τβτ = 2.680, tкрит = 2.85.) Если возвратиться к шагу 2 и изменить решение в пользу отклонения гипотезы H0: β = 0 , так что тогда β ≠ 0, то гипотеза H0: ϕ = 0 проверяется в рамках пары

SM: ∆xt = α + βt +ϕ xt–1 + εt , DGP: ∆xt = α + βt + εt , β ≠ 0.

В таком случае статистика tφ имеет асимптотически нормальное N(0, 1) распределение, 5% критическое значение одностороннего критерия приближенно равно tкрит = – 1.645. У нас же наблюдаемое значение tφ = – 2.640 (см. шаг 1), так что гипотеза единичного корня отвергается, и мы имеем тогда дело с процессом, стационарным относительно линейного тренда:

∆xt = 461.338 + 25.857 t – 0.448 xt–1 + εt .

6.8. Обзор некоторых других процедур

6.8.1. Критерий Филлипса – Перрона

Этот критерий, предложенный в работе [Phillips, Perron (1988)], сводит проверку гипотезы о принадлежности ряда xt классу DS к проверке гипотезы H0 : ϕ = 0 в рамках статистической модели

SM: ∆xt =α + β t +ϕ xt−1 +ut , t = 2,…,T ,

где, как и в критерии Дики – Фуллера, параметры α и β могут быть взяты равными нулю. Однако, в отличие от критерия Дики – Фуллера, случайные составляющие ut с нулевыми математическими ожиданиями могут быть автокоррелированными (с достаточно быстрым убыванием автокорреляционной функции), иметь различные

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

дисперсии (гетероскедастичность) и не обязательно нормальные распределения (но

Дики – Фуллера, к рассмотрению допускается более широкий класс временных рядов.

Критерий Филлипса – Перрона основывается на t-статистике для проверки гипотезы H0 : ϕ = 0 в рамках указанной статистической модели, но использует вариант этой статистики Zt , скорректированный на возможную автокоррелированность и гетероскедастичность ряда ut . При вычислении статистики Zt приходится оценивать так называемую “долговременную” (“long-run”) дисперсию ряда ut , которая определяется как

где

γ j = T −1 ∑l ut ut − j t = j +1

j-я выборочная автоковариация ряда ut . Если и l и T стремятся к бесконечности, но

так, что (lT 1/ 4 )→ 0 , то тогда (λ2 ) – состоятельная оценка для λ2 (см. [Phillips (1987)]) и асимптотические распределения статистики Zt совпадают с соответствующими асимптотическими распределениями статистики tϕ в критерии Дики – Фуллера. Поскольку реально мы имеем лишь конечное количество наблюдений, встает вопрос о выборе количества используемых лагов l в оценке Newey – West (параметр l называют “шириной окна” – window size). Этот вопрос достаточно важен, т.к. недостаточая ширина окна ведет к отклонениям от номинального размера критерия (уровня значимости). В то же время, увеличение ширины окна для избежания отклонений от номинального размера критерия ведет к падению мощности критерия. Таким образом, выбор какой-то конкретной ширины окна является компромиссом между двумя этими противоположными тенденциями.

Целый ряд исследований в этом направлении (сюда относятся, например, работы

[Phillips, Perron (1988)], [Schwert (1989)]) не привел к какому-либо простому правилу выбора значения l.

Часто при выборе этого параметра пользуются рекомендациями [Schwert (1989)], полагая l = [K×(T/100)1/4], где [a] – целая часть числа a, а значение K полагается равным 4 для квартальных и равным 12 для месячных данных. Другое правило выбора значения l реализованное, в частности, в пакете EVIEWS, состоит в выборе значения l = [4×(T/100)2/9] ([Newey, West (1994)]). Некоторые авторы рекомендуют не опираться только лишь на длину ряда, а учитывать при выборе l количество значимых автокорреляций ряда.

Критические значения для статистики Zt берутся из тех же таблиц [Fuller (1976)] или вычисляются по формулам [МacKinnon(1991)].

Заметим также, что если ряд xt представляется моделью IMA(1, q), то тогда это значение q и следует использовать в качестве параметра l в оценке Newey-West. Если

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Статистические выводы, полученные при применении критерия Перрона с шириной окна, выбранной в соответствии с рекомендациями [Newey, West (1994)], противоположны выводам, полученным при применении расширенного критерия Дики

– Фуллера с включением в правую часть одной запаздывающей разности.

Пример

Сравним результаты применения критериев Дики – Фуллера и Филлипса – Перрона на реализациях ST_1, ST_2, ST_3: для ST_1 и ST_2 – в паре

DGP: xt = xt–1 + εt , SM: xt = α + a1 xt–1 + εt ;

для ST_3 – в паре

DGP: xt = α + xt–1 + εt (или DGP: xt = xt–1 + εt) , SM: xt = α + βt + a1 xt–1 + εt .

Для статистик этих критериев используем обозначения DF и PP(l), соответственно, где l – ширина окна, используемая при построении статистики Филлипса – Перрона и выбираемая в соответствии с рекомендациями [Newey, West (1994)].

Статистические выводы, полученные с применением статистик DF и PP, здесь совпадают и указывают на возрастание мощности критериев при увеличении количества наблюдений.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm