Глава 5. Нестационарные временные ряды

А для ряда NONDURABLE

Если отвлечься от видимой нестационарности этих рядов, то поведение выборочных ACF и PACF предполагает идентификацию обоих рядов как рядов типа AR(1). Имея в виду наличие у рядов выраженного линейного тренда, произведем оценивание моделей

Xt = α + β t + a1Xt –1 + ut .

(Здесь мы используем обозначение ut , а не εt , поскольку ряд ut на этот раз может и не являться белым шумом.)

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Это приводит к следующим результатам.1 Для ряда GNP:

Dependent Variable: GNP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947:2 1961:4

Included observations: 59 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations

Остатки обнаруживают явную автокоррелированность : P-значение критерия Бройша – Годфри при альтернативе AR(1) равно 0.0000. Переоценивание с включением в модель запаздывания на два квартала, дает:

Dependent Variable: GNP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947:3 1961:4

Included observations: 58 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations

Модули комплексных чисел, обратных авторегрессионным корням, равны 0.7926, что говорит в пользу стационарности детрендированного ряда

Xt0 = Xt – µ – γ t .

K построению модели для ряда GNP можно подойти и иначе. Сначала произвести детрендирование ряда, оценивая модель

Xt = µ + γ t + ut :

1 Приводимые в таблицах оценки константы (C) и коэффициента при переменной t (T) соответствуют оценкам µ и γ в представлении

(Xt – µ – γt ) = a1(Xt – 1 – µ – γ( t – 1)) + a2(Xt – 2 – µ – γ( t – 2)) + ut

(a2 = 0 для первой из двух таблиц). Эти оценки получаются применением нелинейного метода наименьших квадратов. При этом обозначение AR(1) указывает на оценку для a1 , а AR(2) – на оценку для a2 .

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

Остатки, полученные при оценивании этой модели, образуют оцененный детрендированный ряд, коррелограмма которого

позволяет идентифицировать этот ряд как AR(2). После этого можно строить AR(2) модель для (оцененного) детрендированного ряда

Объединяя результаты последних двух оцениваний, получаем оцененную модель

Xt – 218.4825 – 5.181995 t =

=1.379966 (Xt–1 – 218.4825 – 5.181995(t–1)) –

–0.630426 (Xt–2 – 218.4825 – 5.181995(t–2)),

или

Xt = [(1– 1.379966 + 0.630426)·218.4825

+1.379966·5.181995 – 0.630426·5.181995·2]

+(1 – 1.379966 +0.630426) ·5.181995 t

+1.379966 Xt–1 – 0.630426 Xt–2 + et

=55.338375 +1.297882 t + 1.379966 Xt–1 – 0.630426 Xt–2 + et .

Вто же время, по приведенным результатам оценивания модели

Xt = α + β t + a1Xt–1 + a2Xt–2 + ut

получаем

Xt – 217.7399 – 5.221538 t =

=1.380274 (Xt–1 – 217.7399 – 5.221538(t–1))

–0.630066 (Xt–2 – 217.7399 – 5.221538(t–2)),

или

Xt = [(1– 1.380274 + 0.630066)·217.7399

+1.380274·5.221538 – 0.630066·5.221538·2]

+(1 – 1.380274 +0.630066) ·5.221538 t

+1.380274 Xt –1 – 0.630066 Xt –2 + et

=55.017011 + 1.304298 t + 1.380274 Xt–1 – 0.630066 Xt–2 + et ,

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm

так что результаты, полученные при использовании обоих вариантов построения модели, практически совпадают. Поэтому можно использовать смешанный вариант – использовать детрендированный ряд для идентификации порядка модели, а оценивать идентифицированную модель вместе с включенным в нее трендом, в данном случае – оценивать модель Xt = α + β t + a1Xt–1 + a2Xt–2 + ut .

Заметим, что диагностика рядов остатков в обеих оцененных моделях говорит в пользу их адекватности.

Перейдем теперь к ряду NONDURABLE. Коррелограмма детрендированного ряда (ряда остатков от оцененной модели регрессии Xt на константу и t )

обнаруживает резко выделяющийся пик на лаге 1, так что можно попробовать оценить модель Xt = α + β t + a1Xt–1 + ut . Это дает следующие результаты:

Наблюдаемые P-значения статистик Люнга – Бокса для ряда остатков превышают 0.05 при всех выборах M от 1 до 20. Проверка на отсутствие автокоррелированности по критерию Бройша – Годфри дает P-значения, большие 0.05, как при AR(1) альтернативе, так и при альтернативах AR(2), AR(3) и т.д. Наконец, при проверке нормальности P-значение статистики Jarque – Bera равно 0.648 , так что по совокупности этих результатов мы могли бы говорить о пригодности оцененной модели

Xt – 47962.75 – 315.1909 t =

= 0.884803 (Xt–1 – 47962.75 – 315.1909 (t–1)) + et .

Обратим, однако, внимание на следующее обстоятельство. Оцененное значение 0.884803 коэффициента при Xt–1 достаточно близко к единице, и если ориентироваться на вычисленное значение 0.080824 стандартной ошибки для этого коэффициента, то при допущении отклонений от оцененного значения в пределах двух стандартных ошибок, в интервал допустимых значений 0.884803 ± 2·0.080824 попадают и значения, большие или равные 1. Но последние соответствуют нестационарному процессу авторегрессии.

Таким образом, несмотря на то, что при полученной точечной оценке 0.884803 коэффициента при Xt–1 построенная модель формально оказывается стационарной относительно детерминированного линейного тренда (т.е. детрендированный процесс следует стационарной AR(1) модели), мы не можем с достаточной степенью

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm