Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

где v есть скорость ракеты, а u есть скорость выбрасываемого газа. Первый закон динамики (7.1.1) в данном случае принимает вид

Уравнение (7.4.1) и есть знаменитое уравнение И.В. Мещерского, полученное в 1893 г. Последнее слагаемое в правой части уравнения Мещерского называется реактивной силой, вектор u − v есть скорость истечения газов относительно ракеты. Из уравнения Мещерского можно получить множество важных и полезных результатов. Однако только уравнения Мещерского недостаточно для изучения динамики полета ракеты. В дополнение надо указать закон изменения массы топлива и увязать этот закон со скоростью истечения газа из ракеты. Всем этим занимаются специалисты по ракетной технике. Ниже мы ограничимся приложением уравнения Мещерского к совсем простой задаче о движении тележки, нагружаемой, например, песком.

Пусть по рельсам движется тележка со скоростью v(t). Для простоты считаем, что тележка движется по инерции. При этом на тележку насыпается, например, песок. Поэтому масса m(t) тележки с песком меняется во времени. Считаем, что на тележку никаких сил не действует. Это, в частности, означает, что колея прямолинейна, а трение в подшипниках колес отсутствует. Нужно найти скорость движения тележки.

Первый закон динамики записывается в виде

где dm(t)/dt — есть скорость подвода массы, а u(t) — абсолютная скорость, с которой масса dm(t) подводится к тележке.

Задачу можно немного усложнить. Пусть на тележку насыпается песок двух сортов. Тогда вместо (7.4.2) будем иметь следующее уравнение:

где ρ1, ρ2 — скорости подвода массы песка первого и второго сорта соответственно; u1, u2 суть скорости, с которыми упомянутые массы подводятся к тележке.

Движение тележки существенно зависит от способа подведения к ней количества движения. Например, если песок подается из неподвижного (падает сверху в тележку) источника, то u = 0. Если песок подается с вертолета, летящего над тележкой с той же скоростью, то u = v. В первом случае скорость тележки будет уменьшаться с ростом ее массы, а во втором случае будет сохраняться неизменной. Можно, разумеется, и разгонять тележку, сбрасывая с нее песок с подходящей скоростью (реактивное движение).

7.5.Задача Кэйли о падающей цепочке

Чтобы еще немного пояснить особенности работы с открытыми системами, рассмотрим задачу Кэйли (1857) о падающей цепочке [38]. В задаче требуется исследовать движение нерастяжимой тяжелой цепи, конец которой свешивается с горизонтального стола, тогда как не вступившая еще в движение часть цепи свернута в клубок у самого края стола. Пусть ρ = const и L суть погонная масса и длина цепи. В качестве тела A выбираем свисающую часть цепи, а через x обозначим ее длину. Запишем уравнение движения свисающей части

где в левой части уравнения стоит скорость изменения количества движения свисающей части цепи. В правой части: первое слагаемое — вес свисающей части, второе слагаемое — сила, приложенная к верхнему концу свисающей части, последнее слагаемое есть скорость подвода количества движения в свисающую часть цепи. Отметим, что в уравнении, используемом Кэйли, два последних слагаемых в правой части отсутствуют. Покажем, что так и должно быть. Уравнение (7.5.1) содержит две неизвестных функции. В качестве дополнительного уравнения запишем уравнение баланса количества движения для части цепи, лежащей на столе

Подставляя полученное выражение для силы F в уравнение (7.5.1), прихо-

Примем, что в начальный момент времени цепь находилась в покое и свисала ее бесконечно малая часть, т.е. примем следующие начальные условия

Решение уравнения (7.5.2) при начальных условиях (7.5.3) в теории обыкновенных дифференциальных уравнений называется задачей Коши. Сформулированная задача имеет единственное решение при ε 6= 0. Любопытно, что при ε = 0 единственность решения данной задачи Коши теряется. В самом деле, легко убедиться, что функции

являются решением задачи (7.5.2)–(7.5.3) при ε = 0. Надо сказать, что подобная ситуация в осмысленных задачах механики возникает весьма редко. Решение задачи (7.5.2)–(7.5.3) легко сводится к квадратуре. Сделаем замену переменных

Используя эти замены, переписываем уравнение (7.5.2) в следующем виде

Получили линейное дифференциальное уравнение. Уравнение с переменными коэффициентами такого типа называется уравнением Эйлера и легко интегрируется. Его решение, удовлетворяющее начальным условиям имеет вид

Получили уравнение с разделяющимися переменным, которое, в принципе, легко интегрируется, но не в элементарных функциях. При очень малых ε и при не очень малых временах решение (7.5.6) практически совпадает со вторым из решений (7.5.4). На этом мы пока и остановимся. Но читателю предлагается задуматься над следующим вопросом. Понятие энергии у нас еще не введено, но из школьного курса физики известно, как понятие кинетической энергии, которое нами уже введено, так и понятие потенциальной энергии, которое нам еще предстоит обсудить. Сейчас мы будем апеллировать к школьному курсу физики. Выясним сохраняется ли энергия у движущейся цепи. При t = 0 цепь обладала только потенциальной энергией P0 = ρ g L2.

Спрашивается, куда пропала энергия ρ g L2/6?

7.6.Поперечные колебания струны

Споперечными колебаниями струны сталкивались практически все люди, которым знакомы струнные музыкальные инструменты. Многие знают, как

настраивается, например, гитара. Для этого гитарист меняет силу натяжения струны так, чтобы при колебаниях она воспроизводила нужную ноту. Неудивительно, что, уже на ранней стадии становления рациональной механики, поперечные колебания струны оказались в центре внимания ученых. Частоты и формы поперечных колебаний струны интенсивно изучались всю первую половину XVIII века. Главными действующими лицами здесь были Даниил Бернулли, Жак Даламбер и Леонард Эйлер. Некоторые конечные результаты этих исследований будут описаны ниже.

Задачу о равновесии нерастяжимой нити мы уже рассматривали в главе, посвященной статике. Здесь мы будем придерживаться тех же обозначений. Будем полагать, что струна расположена горизонтально и закреплена на левом конце, а правый конец струны закреплен от вертикальных смещений и к нему приложена горизонтальная растягивающая сила T = T i. Струна является закрытым телом и ни с кем своей массой не обменивается. В равновесном положений натянутая струна расположена практически горизонтально (вспомним струну на гитаре) и ее весом можно пренебречь. Длину натянутой струны обозначим через l. Точки струны будем идентифицировать расстоянием s от левого конца струны, т.е. определять заданием вектора r(s) = si. Положение точки струны в отклоненном положении будем задавать вектором

R(s, t) = r + w(s, t)j = s i + w(s, t) j,

где j есть орт вертикали, функция w(s, t) есть нормальное смещение точек струны и считается малой в сравнении с длиной струны. В качестве тела A будем рассматривать часть струны, заключенную между точками s1 и s2. Тогда количество движения тела A вычисляется по формуле

где ρ есть погонная масса струны.

Внешняя сила, действующая на струну находится точно также, как это было сделано при выводе уравнения равновесия струны. Повторяя все рассуждения, приводящие к уравнению (1.7.5), получаем уравнение

ющая сила в струне направлена по касательной к деформированной струне

Выразим производные по старым переменным через производные по новым переменным

Подставляя эти выражения в уравнение (7.6.4), получаем следующее урав-

нение

4 ∂2w = 0, ∂ξ∂η

которое без труда интегрируется. Его общее решение имеет вид

w(η, ξ) = ϕ(η) + ψ(ξ) w(s, t) = ϕ(s − c t) + ψ(s + c t), (7.6.5)

где функции ϕ и ψ суть произвольные функции, причем каждая зависит только от одного аргумента, являющегося линейной комбинацией переменных s и t.

Чтобы найти эти функции, необходимо воспользоваться краевыми и начальными условиями. Здесь мы этого делать не будем, но это детально описано в книгах по уравнениям с частными производными, например, в [28]. Ниже решение рассматриваемой задачи будет построено другим, не менее замечательным в теоретическом и в историческом отношениях, методом. Сейчас же присмотримся внимательнее к функциям ϕ(s − ct) и ψ(s + ct). Функции такого вида называются волнами. Почему? Рассмотрим функцию ϕ(s − ct). Зафиксируем ее аргумент

Значение функции ϕ(a) задано, если сама эта функция уже определена. Точка s, отвечающая фиксированному числу a, согласно (7.6.6) бежит вдоль оси (вдоль струны) вправо со скоростью c. Вместе с ней перемещается вправо с той же скоростью значение функции ϕ(a). Иными словами, если при t = 0 функция ϕ(s) задана, то при t 6= 0 весь график функции ϕ(s) смещается вправо со скоростью c. Это напоминает движение волны на воде. Поэтому такое движение и называется волновым, а величина c называется скоростью волны. Функция ψ(s + ct) также является волной, но она бежит вдоль струны влево с той же скоростью. Итак, решениями уравнения (7.6.4) являются волны. Отсюда и название — “волновое уравнение”.

Решение Бернулли–Эйлера. Как это ни удивительно на первый взгляд, но решение уравнения (7.6.4) было построено Даниилом Бернулли и Леонардом

Эйлером еще до того, как было выведено само уравнение поперечных колебаний струны [68]. При этом струна рассматривалась как система с конечным числом степеней свободы, а затем делался предельный переход. Именно это решение мы сейчас и построим, но на основе непосредственного решения уравнения (7.6.4), что, конечно, намного проще.

Решение будем строить так называемым методом разделения переменных. Сначала будем искать частные решения уравнения (7.6.4) специального вида

w(s, t) = X(s)Y(t).

Подставляя это представление в (7.6.4) и деля получившееся уравнение на X(s)Y(t), получаем

Величина λ2 постоянна, ибо первое равенство показывает, что она не зависит от t, а второе равенство показывает, что она не зависит и от s. Таким образом, функции X(s) и Y(t) должны быть решениями уравнений

Функция X(s), называемая формой колебания, должна удовлетворять краевым условиям (7.6.3): X(0) = X(l) = 0. При этих условиях нетрудно доказать, что величина λ2 вещественна и положительна. Решение первого из уравнений (7.6.7) имеет вид

X(s) = A cos λs + B sin λs.

Постоянная A обращается в нуль, поскольку X(0) = 0. Постоянная B не может равняться нулю, ибо в таком случае имеем только нулевое решение, которое не представляет интереса. Следовательно, для обращения X(l) в нуль необходимо выполнение условия

sin λ l = 0 λ l = nπ, n = 1, 2, 3, . . . ,

где n любое целое число.

Таким образом, получили счетное множество частных решений волнового уравнения

где

λn = nπ/l, ωn = c λn = c nπ/l.

Функции, характеризующие изменение нормального прогиба вдоль струны, называются собственными формами колебаний струны. Каждой собственной

форме колебания отвечает строго определенная собственная частота ωn колебания. Оказалось, что струна имеет счетное множество собственных форм колебаний и, соответственно, счетное множество собственных частот или тонов. Вспомнив выражение для скорости распространения волны c, запишем формулу для собственных частот

Отсюда видим, что чем больше натяжение струны, тем выше ее собственные частоты, тем на более высокой ноте может звучать струна. Увеличение погонной массы струны, напротив, ведет к снижению собственных частот. Поэтому басовые струны у гитары самые толстые. При настройке гитары музыкант-исполнитель увеличивает или уменьшает силу натяжения струны и тем самым повышает или снижает тон звучания струны. Кроме того, частоту колебания можно менять изменением длины струны, как это и делает гитарист, прижимая струну к деке в определенных местах.

Общее решение волнового уравнения дается суммой частных решений (7.6.8) и называется решением Бернулли–Эйлера. Оно имеет вид

∞

X

w(s, t) = (An cos ωn t + Bn sin ωn t) sin λn s. (7.6.9)

n=1

Постоянные An и Bn должны определяться по начальным условиям. В начальный момент времени мы должны задать прогиб струны и начальные скорости

w(s, 0) = f(s), v(s, 0) = w˙ (s, 0) = g(s).

Потребуем, чтобы решение (7.6.9) удовлетворяло начальным условиям

Получили задачу о разложении произвольной функции в ряд по заданной системе функций. В настоящее время это совершенно стандартная вещь, которая излагается студентам младших курсов. Но в момент ее возникновения около 1730 г. эта проблема вызвала весьма горячие дискуссии. В самом деле, функция f(s), например, задана на непрерывном интервале, содержащем несчетное множество точек. Соответственно, она характеризуется несчетным множеством значений. Представление функции f(s) рядом (7.6.10) содержит счетное множество подлежащих определению коэффициентов, т.е. функция

Итак, в струне возбуждается счетное множество форм колебаний, каждая из которых меняется во времени по гармоническому закону с определенной для этой формы колебания частотой. Однако слушая гитару, мы слышим фактически только первый тон. Когда это не так, возникает диссонанс, весьма неприятный для нашего слуха, что имеет место в звуковых колонках низкого качества. Но вернемся к струне. Почему же мы слышим только первый тон? Кажущийся правильным ответ напрашивается сам собой. Потому что, во-первых, уже третий тон ослаблен в 27 раз и, во-вторых, из-за наличия трения, пропорционального скорости и приводящего к значительно более сильному затуханию третьего тона в сравнении с первым. В известной мере этот ответ верен, но имеется еще и третье обстоятельство, и именно оно является определяющим. Чтобы понять это обстоятельство, нужно разобраться почему мы вообще слышим. Слух определяется давлением, оказываемым воздухом на барабанные перепонки нашего уха. Если бы струна колебалась в вакууме, то мы бы вообще ничего не услышали. Следовательно, важным является давление, создаваемое

ввоздухе колеблющейся струной. Иными словами, определяющим является излучение струны в воздухе. Определение этого излучения является довольно сложной проблемой, исследованием которой занимается специальный раздел механики, называемый акустикой. Так вот, волна давления, создаваемая данной формой колебания струны в воздухе существенно зависит от числа узлов формы колебания струны. Чем больше узлов, тем быстрее затухает волна давления

впространстве. У первой формы колебания узлов нет, т.е. она обращается в нуль только на краях струны. У второй формы колебания, которая в данном случае не возбуждается, имеется узел в середине струны. У третьей формы имеется два узла и т.д. Анализ показывает, что давление, создаваемое третьей формой колебания, меньше давления, создаваемого первой формой колебания, не в 27 раз, а в 272 = 729 раз, т.е. является почти неразличимым и, к тому же, очень быстро затухает в пространстве. Разумеется, все сказанное имело своей целью не ясное объяснение явления излучения, а указание на взаимосвязанность различных явлений в Природе и их весьма нетривиальный характер, изучением которого и занимается механика.

Замечание. Приведенное выше рассуждение справедливо для струны, колеблющейся в воздухе. Мощность излучения струны в воздух весьма мала и на