Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

202 Глава 5. Тела и их динамические структуры

(m)

На этом примере ясно видно, что наличие в выражении для кинетической энергии вектора угловой скорости не является признаком учета спинорных движений. Например, движение материальной точки по окружности можно описать с помощью вектора угловой скорости, но это движение является трансляционным.

Чтобы еще лучше выявить различие между телами, составленными из бесспиновых частиц, и телами, составленными из односпиновых частиц, рассмотрим квазитвердое тело, составленное из вращающихся частиц, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. Квазитвердое тело можно представить себе следующим образом. Пусть дано абсолютно твердое тело, которое будем называть несущим. Для наглядности можно представлять себе несущее тело в виде тела, в котором имеется множество маленьких полостей. Пусть в каждой полости установлен миниатюрный гироскоп, центр масс которого неподвижен относительно несущего тела. Гироскоп состоит из вращающегося ротора, закрепленного в специальной конструкции, называемой кардановым подвесом. При вращении ротора его ось может поворачиваться. Если ось ротора закреплена относительно несущего тела, а сам ротор является телом вращения, то распределение массы в таком квазитвердом теле не меняется в процессе движения. Квазитвердое тело, распределение массы в котором не меняется в процессе движения, называется гиростатом. Если квазитвердое тело состоит из односпиновых частиц, то более точным образом квазитвердого тела является кристаллическая решетка (безынерционное несущее тело), в узлах которой находятся быстровращающиеся атомы. На самом деле атом нужно моделировать многоспиновой частицей, но в иллюстративном примере можно ограничиться и односпиновыми атомами, которые в Природе не встречаются. Итак, рассмотрим тело, состоящее из множества вращающихся частиц. Допустим, что в момент времени t = 0 положение центра масс типичной частицы определялось вектором положения r. Ориентацию этой частицы относительно системы отсчета при t = 0 определим заданием

тензора поворота P0(r). Движение частицы определяется заданием вектора положения R(r, t), причем R(r, 0) = r, и тензора поворота P(r, t) такого, что P(r, 0) = P0(r). Примем теперь, что векторы положений центров масс частиц, составляющих рассматриваемое тело, образуют абсолютно твердое тело, которое будем называть несущим телом. Тогда для векторов положений односпиновых частиц, т.е. для несущего тела, справедлива основная теорема кинематики абсолютно твердого тела

где в качестве полюса выбрана точка, зафиксированная относительно несущего тела, причем RO(0) = rO, а тензор Q(t) определяет поворот несущего тела.

По выражению (5.4.5) находим трансляционную и угловую скорости несущего тела

v(r, t) = vO(t) + ωQ(t) × (R(r, t) − RO(t)) ,

Таким образом, мы видим, что движение квазитвердого тела характеризуется двумя угловыми скоростями: угловой скоростью несущего тела ωQ(t), которая характеризует трансляционное движение квазитвердого тела, и полем угловых скоростей ω(r, t) (или полем относительных угловых скоростей ωS(r, t)), характеризующим спинорные движения частиц квазитвердого тела.

Запишем выражение для кинетической энергии квазитвердого тела. Кинетическая энергия любого тела является аддитивной функцией массы этого тела и в соответствии с известной в теории меры теоремой Радона–Никодима может быть представлена интегралом по массе. Иными словами, необходимо

Если в качестве односпиновых частиц рассматривать микроскопические абсолютно твердые тела, то для массовых плотностей тензоров инерции мы

à) á)

A(r)

ρr

A

R(r)

A(r)

R(r)

0

Рис. 5.1. Принцип телеобъектива: а — взгляд издалека, б — в кадре одна частица

имели бы формулы, отличающиеся от (5.3.5) и (5.3.6) тем, что в них интегрирование производилось бы по распределению массы внутри частицы и они были бы разделены на массу частицы. Поскольку для этих частиц в качестве полюса выбран центр масс, то тензор B в (5.3.5) равнялся бы нулю. Именно этот случай мы и будем рассматривать ниже. Тогда кинетическая энергия

(5.4.10) где тензоры Θr(r, t) задают массовую плотность тензоров инерции односпиновых частиц.

Для них справедливы представления

Θr(r, t) = P(r, t) · Θ0r (r) · PT (r, t),

где тензоры Θ0r (r) определены в отсчетном положении, т.е. в начальный момент времени.

Задержим свое внимание на выражении для кинетической энергии (5.4.10) и на понятии квазитвердого тела. При построении разного рода теорий в рациональной механике широко используется, хотя и в неявной форме, некий принцип, который трудно поддается формализации. Для краткости назовем его

Принцип телеобъектива. Всякое тело A в рациональной механике долж-

но рассматриваться с двух точек зрения. При написании фундаментальных законов и общих структур тела используется взгляд на тело издалека, т.е. в кадр телеобъектива входит очень много частиц тела. При этом тело из-за использования малых масштабов воспринимается как нечто единое целое, например видится сплошным. При определении параметров, входящих в общие

структуры тела и определяемых микроструктурой тела, нужно рассматривать тело в резко увеличенном виде, когда в кадр телеобъектива входит только одна частица со всеми ее особенностями.

На первый взгляд кажется, что “Принцип телеобъектива” совмещает несовместимое и противоречив в логическом отношении. Но следует иметь в виду, что все плодотворные теории в механике, которые многократно проверены на практике, построены с использованием этого принципа. Например, при построении общей теории стержней последний рассматривается как одномерная упругая линия, лишенная толщины. Это типичный пример взгляда издалека, при котором стержень воспринимается как линия. При этом оказывается возможным построить полную и замкнутую теорию стержней. Однако в эту теорию будут входить, в частности, такие динамические характеристики, как плотность массы (масса на единицу длины) и тензоры инерции. Для их определения уже необходимо рассматривать стержень как трехмерный объект, т.е. рассматривать стержень с очень близкого расстояния. Следует также иметь в виду, что увеличение формальной строгости той или иной теории ведет к увеличению ее бесполезности. Абсолютно строгие теории, которые, естественно, не встречаются, абсолютно бесполезны. Искусство ученого-механика и, особенно, инженера-исследователя состоит в установлении правильного баланса между строгостью и полезностью: необходимо максимизировать строгость теории при сохранении ее полезности.

Проиллюстрируем “Принцип телеобъектива” на рассматриваемом случае квазитвердого тела. На рис. 5.1 представлены обе точки зрения. Рис. 5.1,а представляет взгляд на квазитвердое тело издалека. На рис. 5.1,б изображена одна из односпиновых частиц квазитвердого тела, которая сама является абсолютно

твердым телом. Ее тензор инерции находится по формуле (5.3.6)

Z

(mr)

Z

= P(r, t) · [ρr(x, 0) · ρr(x, 0)E − ρr(x, 0) ρr(x, 0)] d mr(x) · PT (r, t),

(mr)

где mr — масса частицы, которая в отсчетном положении занимала место r. Обратим внимание, что интегрирование в (5.4.11) ведется по массе части-

цы, а x есть внутренняя переменная интегрирования, о которой ничего не знает интеграл (5.4.10). Если все частицы, составляющие квазитвердое тело одинаковы, то mr = m0, ρr = ρ0 и массовая плотность тензоров инерции Θr частиц зависит от координаты r только через тензор поворота P(r, t).

Итак, пусть кинетическая энергия квазитвердого тела дается выражением (5.4.10). Количество движения и кинетический момент этого тела вычисляются

по формулам (5.2.9) и (5.2.10). Количество движения определяется выражени-

Вычисляя последний интеграл, получаем

K1(A) = mvO(t) + B · ωQ(t), B = m (RO(t) − RC(t)) × E.

Видим, что количество движения квазитвердого тела в точности совпадает с количеством движения абсолютно твердого тела. Вычислим кинетический момент квазитвердого тела

(m)

Последний интеграл в этом выражении представляет собой динамический спин квазитвердого тела, который в общем случае упростить невозможно. Примем, что все частицы тела одинаковы и одинаково вращаются

P(r, t) = P(t), Θr = P(t) · Θ0 · PT (t), ω(r, t) = ω(t).

При этих условиях кинетический момент квазитвердого тела легко вычисляется и имеет вид

KQ2 (A) = (RO − RQ) × K1(A) + vO · B + Θ · ωQ(t) + mP(t) · Θ0 · PT (t) · ω(t).

(5.4.12) Первые три слагаемые в правой части (5.4.12) дают кинетический момент квазитвердого тела, рассматриваемого как абсолютно твердое тело. Последнее слагаемое дает суммарный динамический микроспин частиц, составляющих квазитвердое тело. Чтобы сравнить вклады каждого из слагаемых, примем, что и само тело и частицы имеют шарообразную форму. В качестве полюса

RO выбираем центр инерции тела. Тогда тензоры инерции легко вычисляются и определяются формулами

где a и b радиусы тела и частицы соответственно, причем a >> b.

Следует обратить внимание, что тензоры Θ и Θ0 имеют разные физические размерности, поскольку тензор Θ0 есть массовая плотность спинорной

Если модули угловых скоростей ωQ(t) и ω(t) имеют одинаковый порядок, то динамическим микроспином можно пренебречь и квазитвердое тело по своим динамическим структурам не отличается от абсолютно твердого тела. Если же |ω(t)| >> |ωQ(t)|, то динамическим микроспином пренебрегать нельзя. Легко видеть, что квазитвердое тело переходит в абсолютно твердое тело при b → 0, когда односпиновая частица переходит в материальную точку. Таким образом, “парадокс”, указанный в начале этого параграфа, нашел свое разрешение.

5.5.Тензоры инерции твердого тела и их свойства

Согласно выражениям (5.3.5) и (5.3.6) тензоры инерции абсолютно твердого тела зависят от трех факторов: 1) движения тела; 2) выбора полюса в теле; 3) распределения массы в теле. Только последний фактор является неотъемлемым атрибутом тела, а первые два фактора связаны с внешними обстоятельствами. Важно в явном виде выделить влияние каждого из этих факторов. Сначала установим вид зависимости тензоров инерции от движения. Для этого достаточно воспользоваться формулами (5.3.5), (5.3.6) и основным уравнением кинематики (5.3.1). Учитывая, что тензор поворота не зависит от точек тела, получаем

где тензор B(0X) вычислен в отсчетном положении, которое не зависит от движения и выбирается произвольно; тензор поворота P(t) показывает поворот тела относительно отсчетного положения, все эти понятия подробно обсуждались в предыдущей главе; векторы rX и rC задают положения полюса и центра масс в отсчетном положении.

208 Глава 5. Тела и их динамические структуры

Аналогичные формулы справедливы и для эйлерова тензора инерции

Z

Θ(X)(t) = P(t) · Θ(0X) · PT (t), Θ(0X) = − (r − rX) × E × (r − rX) d m(r).

(m)

(5.5.2) Тензоры инерции B(0X) и Θ(0X) не зависят от движения и являются характеристиками рассматриваемого тела, но они по-прежнему зависят от выбора полюса в теле. Атрибутом тела является его центр масс. Если последний выбрать в качестве полюса, то тензор B(0C) обращается в нулевой тензор, а эйлеров тензор инерции Θ(0C) в этом случае называется центральным тензором инерции, который может служить паспортной характеристикой тела. Посмотрим как меняется эйлеров тензор инерции при замене полюса. Наряду с полюсом

X рассмотрим другой полюс Y. Тогда имеем

Z

Θ(0X) = − (r − rX − rY + rY ) × E × (r − rX − rY + rY ) d m =

(m)

= (rY − rX) × B(0X) + B(0Y) × (rY − rX) + Θ(0Y). (5.5.3)

Особый интерес представляет случай, когда полюс Y совпадает с центром масс тела. В этом случае имеем

Z

Θ(0X) = −m (rC − rX) × E × (rC − rX) − (r − rC) × E × (r − rC) d m. (5.5.4)

(m)

Последнее слагаемое в правой части последнего выражения есть центральный тензор инерции, вычисленный относительно центра масс C. Чтобы выяснить смысл первого слагаемого в правой части равенства (5.5.4), рассмотрим частный случай твердого тела. Пусть абсолютно твердое тело состоит из безмассового стержня, длина l которого равна |rC −rX|, и прикрепленной к одному концу стержня сосредоточенной массы m. Свободный конец стержня закреплен с помощью сферического шарнира в точке rX. В отсчетном положении конец стержня с массой m расположен в точке rC. Эйлеров тензор инерции рассмотренного тела в отсчетном положении вычисляется по формуле (5.5.2), в которой интегрирование по массе должно пониматься в смысле интеграла Стилтьеса [48]

Таким образом, эйлеровы тензоры инерции Θ(0X) и Θ(0C), вычисленные относительно полюсов X и C, т.е относительно точек rX и rC, соответственно,

где единичный вектор e направлен от точки rX к точке rC, а l есть расстояние между этими точками, т.е. l = |rX − rC|.

Представления (5.5.6) и (5.5.7) в некоторых книгах по механике [39] называют теоремой Гюйгенса–Штейнера.

Вернемся к выражению для кинетической энергии абсолютно твердого тела (5.3.4) и перепишем его в следующем виде

где vC есть скорость центра масс.

Для тензора инерции, входящего во второе слагаемое в кинетической энергии, имеем

Θ(X) − m1 (B(X))T · B(X) ≡ Θ(X) + m (RX − RC) ×E×(RX − RC) = Θ(C), (5.5.8)

где тензор Θ(C) есть центральный тензор инерции.

Подставляя выражение (5.5.8) и предыдущее равенство в формулу для кинетической энергии, получаем

где использован левый вектор угловой скорости Ω ≡ PT · ω, а тензор Θ(0C) есть центральный тензор инерции, вычисленный в отсчетном положении.

В представлении (5.5.9) легко узнается частный случай теоремы Кенига. На первый взгляд кажется, что выражение (5.5.9) проще, чем выражение (5.3.4), но это не всегда так. Например, при вращении твердого тела вокруг неподвижной

210 Глава 5. Тела и их динамические структуры

точки в качестве полюса удобно выбирать именно неподвижную точку. Тогда скорость полюса v = 0 и выражение (5.3.4) принимает совсем простой вид

где тензор инерции вычислен относительно неподвижной точки X.

Введем в рассмотрение важное понятие момента инерции относительно оси, натянутой на единичный вектор n и проходящей через ту точку тела, относительно которой вычислен тензор инерции

В выражении (5.5.11) вектор n0 определяет фиксированную материальную ось в теле в отсчетном положении, а вектор n определяет ту же материальную ось в актуальной конфигурации, т.е. вектор n вращается вместе с телом.

Физический смысл момента инерции сразу же усматривается из выражения для кинетической энергии, например, (5.5.10). Действительно, представим вектор угловой скорости в виде

ω = ωm, Ω = ωm0, m = P · m0,

где единичный вектор m определяет мгновенную ось вращения. Тогда кинетическая энергия (5.5.10) принимает вид

Отличие момента инерции J(mX) в (5.5.12) от момента J(nX) в (5.5.11) состоит в том, что J(mX) вычисляется относительно той материальной оси в теле, которая

вданный момент времени совпадает с мгновенной осью вращения. Поэтому,

вотличие от момента инерции J(nX), момент инерции J(mX) зависит от времени, поскольку в разные моменты времени он вычисляется относительно разных осей в теле. Тем не менее, из выражения (5.5.12) видим, что момент инерции определяет инерционность тела по отношению к спинорному движению точно так же, как масса определяет инерционность тела по отношению к трансляционному движению. Однако здесь имеется существенная разница: масса тела не

зависит от движения, а момент инерции J(mX) зависит от движения, т.е. зависит от времени.

По определению момента инерции видим, что он зависит от точки, относительно которой вычисляется тензор инерции. Особое значение имеет центральный момент инерции, который вычисляется по формуле (5.5.11) при выборе полюса совпадающим с центром масс

J(nC) ≡ n · Θ(C) · n = n0 · Θ(0C) · n0, n(t) = P(t) · n0.

Изменение момента инерции при изменении полюса сразу же следует из определения момента инерции (5.5.11) и формулы (5.5.7). После скалярного умножения уравнения (5.5.7) на вектор n слева и справа, получим

где D есть расстояние между осями, натянутыми на единичный вектор n и проходящими через полюса X и C, α есть угол между векторами n и RC − RX, l есть расстояние |RC − RX|.

Выражение (5.5.13) фигурирует в учебниках по механике под названием теоремы Гюйгенса–Штейнера. Нетрудно получить связь между моментами инерции относительно параллельных осей, проходящих через произвольно выбираемые полюса X и Y. Для этого достаточно записать выражение (5.5.13) для полюса Y и исключить из него с помощью (5.5.13) центральный момент инерции. В результате получим

J(nX) = J(nY) + m D21 − D22 ,

где D1 и D1 суть расстояния от осей, проходящих через полюса X и Y соответственно, до центра масс.

Как уже отмечалось, работать с величинами, зависящими от движения, не очень удобно. Вместе с тем, в соответствии с формулами (5.5.2), вместо тензора инерции в актуальном положении можно изучать эйлеров тензор в отсчетном положении. Именно так мы и будем поступать ниже. Эйлеров тензор инерции в отсчетном положении и вычисленный относительно произвольно выбранного полюса X определен второй из формул (5.5.2). Как видно из определения этот тензор симметричен и неотрицательно определен. Перепишем

(m)

где α есть угол между векторами a и r − rX.

Как известно, любой симметричный тензор второго ранга допускает спектральное разложение