Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

тальные законы понятий. Например, понятия количества движения у Декарта, Ньютона и Эйлера одинаковы по смыслу, но различны по формальным признакам. В данной книге используется определение количества движения, по форме отличающееся от многих других книг. Однако суть этого понятия у всех одинакова.

Согласно основной аксиоме механики, в инерциальной системе отсчета количество движения изолированного тела сохраняется неизменным. Если тело является материальной точкой, то это утверждение вытекает из Принципа инерции Галилея и позволяет ввести в рассмотрение инерциальные системы отсчета. Так что в этом случае основная аксиома не дает ничего нового. Для произвольного тела основная аксиома уже не вытекает из Принципа инерции Галилея и является новым постулатом. Наблюдение показывает, что, как правило, количество движения тела A меняется. В механике полагают, что причина этого заключается в наличии других тел во Вселенной. Но тела, сами по себе, в рациональной механике не обсуждаются. Их наличие моделируется воздействиями и, в некоторых случаях, потоками количества движения. Следует при этом иметь в виду, что под телами механика понимает не только тела типа твердых, жидких и газообразных тел. Электромагнитное поле и многие другие тонкие состояния материи также являются телами. Первый фундаментальный закон фиксирует связь между воздействиями (другими телами) и изменением количества движения рассматриваемого тела. При этом первый фундаментальный закон устанавливает баланс между изменением количества движения тела A и силой, действующей на тело A. Кроме того, баланс учитывает и возможный подвод количества движения в тело A.

Уравнение баланса количества движения: скорость изменения количества движения тела A равна силе F(A, Ae) плюс скорость подвода количества движения k1(A, Ae) в тело A

В приведенной формулировке уравнение баланса энергии стало использоваться в научной литературе относительно недавно, но у него было много предшественников. Сначала частная форма этого закона применялась Галилеем и Гюйгенсом. Затем появился самый знаменитый в механике закон, получивший название второго закона Ньютона

(m v)· = F.

Второй закон Ньютона относится к материальной точке, так что на нее действуют только внешние силы. Поэтому не было нужды разделять силы на внешние и внутренние. Следует отметить, что второй закон у Ньютона был

Иными словами, сила, действующая на тело B со стороны тела C, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны тела B на тело C. Именно в такой форме сформулировал этот закон Ньютон [50]. Тела B и C у Ньютона совсем не обязательно являются материальными точками, что прямо следует из рассуждений Ньютона, непосредственно продолжающих формулировку трех законов. В современных учебниках третий закон Ньютона формулируют несколько иначе [41], сужая его на взаимодействующие материальные точки и добавляя утверждение о том, что силы взаимодействия направлены по прямой, соединяющей материальные точки. Это последнее добавление невозможно распространить на тела общего вида, входящие в (7.1.5), ибо разных прямых, соединяющих не точечные тела B и C, можно провести сколько угодно. Более того, если считать, что силы имеют точку приложения, то равенство (7.1.5) также теряет смысл. Это является одной из причин того, что в данной книге понятие “точка приложения силы” не используется, а сама сила рассматривается как свободный вектор. В таком случае равенство (7.1.5) имеет однозначный смысл. Наконец, из равенства (7.1.5) следует, что сила, действующая на тело B со стороны самого тела B, равна нулю, т.е. F(B, B) = 0. После формулировки второго закона динамики будет доказано, что в системе материальных точек силы взаимодействия между точками направлены вдоль прямых, соединяющих эти точки. Иными словами, в системе материальных точек внутренние силы центральны. Ничего подобного не имеет места для тел, отличных от материальных точек.

Применительно к закрытой материальной точке уравнение (7.1.1) есть второй закон Ньютона. Рассмотрим систему материальных точек и запишем первый закон динамики для каждой из материальных точек, входящих в систему

(7.1.6) Уравнения (7.1.6) впервые [68] были сформулированы Л. Эйлером в 1747 г., а затем были воспроизведены в работе [76]. Складывая все уравнения в систе-

ме (7.1.6) и учитывая равенство (7.1.5), приходим к первому закону динамики (7.1.1) при k1(A, Ae) = 0. Таким образом, первый закон динамики заменяет собой все три закона Ньютона, но обладает большей общностью. На базе только первого закона динамики можно исследовать огромное количество важных задач. В частности, он позволяет, при добавлении закона Всемирного тяготения, построить теорию движения Луны и планет, т.е. небесную механику. На этом законе базируется механика сплошных сред, гидроаэромеханика и т.д. Некоторые задачи, имеющие историческую ценность, будут рассмотрены ниже в этом параграфе. Огромные возможности, открываемые первым законом

динамики, конечно, впечатляют. Но давно сказано, что недостатки являются продолжением достоинств. Так и получилось с первым законом динамики. Следствия из него столь значительны, что многие, вплоть до настоящего времени, полагают, что первый закон динамики — это и есть вся механика. Тем не менее, тревожный звонок прозвучал еще в конце XIX века, когда физика стала внедряться в микромир. Механика, базирующаяся только на первом законе и трансляционных движениях, забуксовала и не смогла полноценно описать ни явления электромагнетизма, ни строение атома. Бремя лидерства в исследовании микромира взяла на себя теоретическая физика, методы и дух которой резко отличаются от методов, используемых механикой. В настоящее время уже ясно, что в микромире главную роль играют спинорные движения, которыми управляет второй закон динамики. Поэтому, несмотря на огромные возможности первого закона динамики, одного этого закона недостаточно для построения полноценной рациональной механики. Подчеркнем следующее обстоятельство. На протяжении многих столетий механика изучала только закрытые тела. Открытые тела казались экзотикой. В XX веке уравнения движения открытых тел стали активно использоваться в теории реактивного движения. В последние два-три десятилетия открытые тела стали интенсивно исследоваться в связи с современными технологиями, в которых разделение чисто механических и физико-химических процессов оказывается недопустимым. Заметим, что в механике открытых тел еще имеется много белых пятен, связанных с отсутствием достоверно установленных принципов построения потоков подвода количества движения в сложных системах в зависимости от различных физико-химических факторов. Тем не менее, даже начинающий изучать механику человек, должен знать, что механика отнюдь не сводится ко второму закону Ньютона, как это утверждается в школьных, и не только школьных, курсах физики. Именно поэтому в данной книге за основу принимается уравнение баланса количества движения в его наиболее общей форме.

Замечание. Многие физики полагают, что третий закон Ньютона не выполняется в микромире. При этом в третий закон включают и утверждение о центральности сил взаимодействия. Однако в эйлеровой механике третий закон Ньютона без допущения о центральности сил взаимодействия уже не аксиома, а доказанная теорема, и она не может нарушаться. Ниже будет доказано, что силы взаимодействия центральны только для системы материальных точек. Поэтому нарушение условия центральности сил в микромире указывает на то, что многие “элементарные частицы” нельзя рассматривать как материальные точки — это многоспиновые частицы.

Важнейшей особенностью фундаментальных законов механики, включая

первый закон динамики, является то, что они принципиально не могут быть ни подтверждены, ни опровергнуты экспериментальными методами. В первый закон входит вектор силы, который не поддается прямому экспериментальному определению, хотя, разумеется, существует много косвенных методов измерения силы. На самом деле, силы, как таковые, в Природе не существуют. Наблюдаемыми и измеряемыми величинами являются движения. Задача механики состоит в определении движений тел. Поскольку в уравнение (7.1.6) входит два неизвестных вектора Ri и F(Ai, Aei ), то оно не замкнуто и требуется дополнительное уравнение, связывающее силы с движениями.

Определение: уравнения, связывающие силы с движениями, называются определяющими и устанавливаются в дополнение к законам динамики.

Хорошей иллюстрацией к сказанному является закон Всемирного тяготения, открытый Р. Гуком и И. Ньютоном. Этот закон утверждает, что между любыми двумя точечными телами в солнечной системе действует сила, определяемая по закону

Закон Всемирного тяготения является типичным определяющим уравнением, использование которого в небесной механике позволяет найти траектории движения планет солнечной системы, которые превосходно согласуются с наблюдениями. Именно поэтому закон Всемирного тяготения считается правильным, а вовсе не потому, что некие прямые эксперименты позволяют установить конкретный закон (7.1.7). Более того, с экспериментальной точки зрения нельзя утверждать, что силы в точности обратно пропорциональны квадрату расстояния. Но даже незначительное отклонение от закона (7.1.7), привело бы к катастрофическим последствиям.

Построение определяющих уравнений относится к числу трудных проблем механики. Во многих конкретных случаях проблема определяющих уравнений уже разрешена, но во многих важных для практики случаев она еще ждет своего решения. Часто поступают так. На основе интуитивных соображений задаются какими-то определяющими уравнениями и, тем самым, получают замкнутую систему уравнений, описывающую механическое поведение рассматриваемой умозрительной системы. Исследуют поведение этой системы. Если оказывается, что поведение умозрительной системы в основных чертах совпадает с наблюдаемым поведением реальной системы, то определяющие уравнения считаются приемлемыми. Если этого нет, то ищут другие определяющие уравнения. На первый взгляд может показаться, что построение определяющих уравнений основано на произвольных допущениях. Это не так. Фундаментальные законы, особенно третий фундаментальный закон, наклады-

вают довольно жесткие ограничения на определяющие уравнения. Но сейчас мы еще не готовы обсуждать эту проблему, ибо еще не введены необходимые понятия. Определяющие уравнения относятся не только к силам и движениям. Например, при вычислении скорости подвода количества движения в тело также приходится принимать соответствующие определяющие уравнения. К сожалению, в общем случае этот вопрос не разрешен на формальном уровне, хотя во многих приложениях особых проблем не возникает. Поэтому ниже мы ограничимся иллюстративными примерами.

7.2.Теорема об изменении кинетической энергии

Кинетическая энергия входит в список исходных динамических структур рациональной механики. Выше она вводилась вне всякой связи с уравнениями движения. Количество движения определялось через кинетическую энергию. Однако кинетическую энергию можно ввести иначе. Сейчас мы ограничимся рассмотрением тела A, состоящего из материальных точек Ai. Такого рода тела являются основным объектом исследования в механике Ньютона. В качестве исходного понятия можно рассматривать количество движения тела A, как это принималось И. Ньютоном и Л. Эйлером, и определять его как линейную форму скоростей

Для каждой из материальных точек можно записать первый закон динамики (7.1.6), дополненный подводом количества движения в каждую из частиц системы (i = 1, 2, . . . , n)

Умножим обе части каждого из уравнений (7.2.1) скалярно на вектор ско-

рости ˙ и сложим получившиеся уравнения. Тогда с учетом равенств (7.1.3)

Ri

получим

В классической механике принимают, что массы материальных точек, составляющих тело A, не меняются. Поэтому второе слагаемое в правой части (7.2.2) обычно отсутствует. Первое слагаемое в правой части равенства (7.2.2) есть мощность внутренних сил плюс скорости обмена энергией между частицами за счет переноса количества движения от одной частицы к другой. Важно заметить, что первое слагаемое описывает изменения внутри системы. Если система смещается как жесткое целое, т.е. скорости всех частиц одинаковы, то это слагаемое обращается в нуль. Второе слагаемое в правой части равенства (7.2.2) есть мощность внешних сил, определенная равенством (6.3.1). Третье слагаемое в этом равенстве можно назвать скоростью подвода энергии в тело A за счет переноса массы в систему. Равенство (7.2.2) сильно упрощается, если принять, что обмен количеством движения отсутствует, а массы частиц неизменны. Для очень широкого класса механических систем эти допущения справедливы. В этом случае равенство (7.2.2) принимает вид

Таким образом, доказана

Теорема: скорость изменения кинетической энергии закрытого тела A,

состоящего из материальных точек, равна мощности сил, действующих на каждую из частиц тела A.

Равенство (7.2.2) или равенство (7.2.3) можно принять за определение кинетической энергии тела A. Доказанную теорему в книгах по механике называют теоремой об изменении кинетической энергии. Несмотря на популярность теоремы об изменении кинетической энергии, тем не менее в приведенном виде она недостаточно информативна, поскольку в ее формулировку входит мощность внутренних сил, о которых заранее известно немногое. Более полная версия этой теоремы будет приведена в параграфе, посвященном обсуждению уравнения баланса энергии. Однако некоторые дополнения целесообразно сделать уже сейчас на простом примере тела, состоящего из материальных точек. А именно, необходимо расширить наши представления об энергии и ввести в рассмотрение предварительные представления о механической, внутренней и потенциальной энергиях. Позднее при обсуждении уравнения баланса энергии эти представления будут дополнены, но их содержание радикально не изменится.

7.3.Ограниченная теорема об изменении механической энергии

Будем исходить из равенства (7.2.3), т.е. ограничимся рассмотрением закрытых тел. Рассмотрение открытых тел будет продолжено после формулировки уравнения баланса энергии. Примем следующие определяющие уравнения для внутренних и внешних сил. Прежде всего разделим силы на позиционные, т.е. зависящие только от положений частиц, и диссипативные, т.е. зависящие не только от положений частиц, но и от их скоростей. Можно доказать, что для позиционных сил всегда существует производящая функция или потенциал. В математической форме все сказанное записывается в виде равенств

Πext(R1, . . . , Rn) есть потенциал внешних сил, диссипативные силы обозначены символами f(Ai, Ak) и f(Ai, Ae).

Как будет показано в главе, посвященной общей форме уравнения баланса энергии, потенциал внутренних сил составляет часть так называемой внутренней энергии тела. Потенциал внешних сил будем называть потенциальной энергией тела A и обозначать символом Πext(A).

Для любой функции V(R1, . . . , Rn) справедливо равенство

Теперь, с учетом равенств (7.3.1), равенство (7.2.3) можно переписать в следующей форме

будем, по определению, называть механической энергией тела A.

Замечание. Термин механическая энергия в механике не используется. Обычно величину EM(A), определенную формулой (7.3.3) называют полной

энергией или просто энергией. Например, в широко применяемом термине “интеграл энергии”, как правило, речь идет об энергии EM(A). Новым термином

мы хотим подчеркнуть, что механическая энергия появляется как следствие уравнений баланса количества движения и кинетического момента. Поэтому механическая энергия не является новой структурой в механике, независимой от законов движения. Называть ее полной энергией нехорошо, ибо под полной энергией тела A традиционно понимается сумма кинетической и внутренней энергий тела A. В частных случаях понятие внутренней энергии совпадает

с потенциалом внутренних сил. Однако в общем случае внутренняя энергия будет иметь более широкий смысл. Достаточно общее определение энергии будет дано при обсуждении уравнения баланса энергии.

Первое слагаемое в правой части (7.3.3) определяют диссипацию энергии в теле. При этом принимается следующий

Принцип диссипации энергии: работа внутренних диссипативных сил в теле A не может увеличивать механическую энергию тела A, т.е. справед-

ливо неравенство

n

X

i,k=1

Диссипативные силы, мощность которых строго меньше нуля, называются силами трения. Диссипативные силы, мощность которых равна нулю, называются гироскопическими силами. Что касается второй суммы в правой части равенства (7.3.3), то знак этого слагаемого может быть любым, т.е. внешние силы могут как отбирать энергию у тела, так и накачивать ее в тело.

Равенство (7.3.3) будем в дальнейшем называть ограниченной теоремой об изменении механической энергии. Ограниченной эта теорема называется потому, что она доказана только для системы материальных точек, но на самом деле она верна и для значительно более широкого класса тел. Практическое значение введенных понятий потенциалов внутренних и внешних сил обусловлено тем, что задавать их часто бывает проще, чем задавать сами силы. Потенциалы вводились как функции векторов положений, но они не могут быть произвольными функциями. Чтобы убедиться в этом, достаточно получить равенство (7.3.3) немного другим путем. В следующем параграфе будет доказано, что внутренние силы в системе материальных точек по необходимости являются центральными

F(Ai, Ak) = λ(Ai, Ak)γ−ik1 (Ri − Rk) , γ2ik ≡ (Ri − Rk) · (Ri − Rk) , (7.3.5)

где λ(Ai, Ak) = λ(Ak, Ai) есть произвольная скалярная функция.

Теорема об изменении кинетической энергии (7.2.3) с учетом равенства