Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика

п рикл адной

механики ф аку л ьтета П М М В оронеж ского

госу дарственного

у ниверситета. Рекоменду ется

дл я сту дентов 2 ку рса дневного отдел ения и 3

ку рса веч ернего отдел ения

сп ециал ьности 010501

(010200) «П рикл адная

математика

и инф орматика» , п о дисцип л ине Е Н .Ф

.03.1.

«Т еоретич еская

механика» .

В ведение

4

§ 1. Координатны й ивекторны й сп особы задания движ ения точ ки.

5

У равнения движ ения точ ки. Т раектория

§ 2. С коростьиу скорениеточ ки

8

§ 3. О п редел ениерадиу са кривизны траектории

10

§ 4.

У равнение вращ ения . У гл овая скорость и у гл овое у скорение

12

тел а. Равномерноеиравноп еременноевращ ениетел а

§ 5. С коростииу скорениеточ ектел а, вращ аю щ егося вокру г

14

неп одвиж ной оси

§ 6. У равнения движ ения искороститоч екп л оской ф игуры

15

§ 7.

У скорениеточ екп л оской ф игу ры

18

§ 8.

С л ож ноедвиж ениеточ ки

33

§ 9.

Контрол ьны евоп росы дл я самоп роверкиостаточ ны хзнаний

40

§ 10. Задания зач етной контрол ьной работы

41

§ 11. С п исокзадач дл я самостоя тел ьногорешения

59

§ 12. О сновны еф орму л ы кинематики

60

Л итерату ра

62

4

В веден и е

У ч ебно-методич еское п особие п редназнач ено

дл я

сту дентов

сп ециал ьности 010501 (010200) “П рикл адная математика

и инф орматика”,

обу ч аю щ ихся на втором курседневного отдел ения

третьем ку рсевеч ернего

отдел ения , п одисцип л инеЕ Н .Ф

.03.1. “Т еоретич еская механика”.

С огл асно у ч ебному п л ану

ау диторны е заня тия

п о данной

дисцип л ине

оп редел ения ; и п рактич ескиеп римеры

в видерешения

наибол еетип ич ны х

задач кинематики.

Т ак

ж е в п особии содерж ится

сп исок воп росов

дл я

самоконтрол я и

п ереч еньзадач дл я самостоя тел ьногорешения .

И тогом изу ч ения кинематики дл я

сту дентов ф аку л ьтета П М М я вл я ется

решениезач етной работы , варианты которой п риводя тся

в п особии, наря ду с

разбором тип ич ны хзадач п одобногорода.

С п исок основны х ф орму л

кинематики и л итерату рны е источ ники п о

данной

дисцип л ине дол ж ны

нацел ить ч итател ей

на

п роду ктивну ю

2

тогда

y = 2a 1(−

2x

)

(b)

2

a

a) , 2,а(0

Э то у равнениеп арабол ы , вершина которой находится

в точ ке

ветви, нап равл ены

вниз. О днако

не вся п ол у ч енная

п арабол а

я вл я ется

траекторией точ ки. Д ействител ьно,

из (a)

сл еду ет,

ч то

x

≤ a ,

y

≤ 2a , т. е.

траекторией точ ки

я вл я ется

ч асть

п арабол ы ,

закл ю ч енная

вну три

точ кия вл я ется

y = 2a 1(−

2x2

)

п ри

− a ≤ x ≤ a

.

a2

t от0 до

π

сек

абсцисса x у вел ич ивается ,

а ордината y у меньшается , т. е.

2

= π сек имеем

точ ка движ ется п оп арабол евп раво. П ри t = t1

x

t=0 = a

2

y

t=0 = −2a

В п ромеж у ткеπ

сек ≤ t ≤

3π

сек точ ка движ ется п оп арабол евл ево, п роходя

2

2

3π

её вершину

в момент t = t2

= π сек. Н ач иная

с момента t = t3 =

сек ,

точ ка

2

t = t

4

= 2π сек

,

снова движ ется вп раво, п роходя нач ал ьноеп ол ож ениев момент

и т.д. Т аким

образом,

точ ка совершаетс теч ением времени кол ебател ьное

движ ениевдол ьп арабол ы .

Задача

2. (рис 2.).

Зу бч атое

кол есо I радиу сом,

обкаты вается ,

вну три

неп одвиж ного зу бч атого кол еса II

радиу сом

R = 2r ,

с

п омощ ью ,

кривошип а

O1O2 ,

у гол

п оворота

которого ϕ

задан как ф у нкция

времени: ϕ = kt

(k-п остоя нная ).

О п редел итьу равнения движ ения и

траекторию конца A отрезка AB

дл иной l , неизменносвя занного с

кол есом I ирасп ол ож енноговдол ь

его радиу са.

П ри t = 0

кол есо I

занимал о

ниж нее п ол ож ение

C0 - местезацеп л ения кол ес.

И з у сл овия

отсу тствия

скол ьж ения

(бл агодаря

нал ич ию зу бцов) имеем

=

0

D C

RCDϕ = rγ

γ = Ð

1

D

.

CO

ил и

, где

И мея в виду , ч то R = 2r п ол у ч им γ = 2ϕ . О бознач им ч ерезψ остры й у гол ,

составл енны й диаметром СВ с вертикал ьной осью O2 y . П отеоремеовнешнем

у гл етреу гол ьника имеем γ = ϕ +ψ = 2ϕ отку да ϕ = ψ .

О тсю да, л егко закл ю ч ить, ч то точ ка C

в п роцессевсего движ ения бу дет

п еремещ аться вдол ьоси O2 y .

ч ерез x

y .

О бознач им

координаты точ ки А

и

В ведём

радиу с-вектор

=

. И зрису нка я сно, ч то

=

+

OO A

ρ

O2 A

ρ

2

1 A

П роектиру я э товекторноеравенствона оси, п ол у ч им

1

2 1

+ l sin=r=ϕ)ü ϕ 2(

A+ O ψsin

xO O sin

= l cosϕ ϕ

ý

y= O- O

(с)cos

1

2

A+ Oψcos

1

þ

О тсю да сл еду ет,

ч тоточ ка B в п роцесседвиж ения п еремещ ается вдол ьоси

O2 x таккак

B

A

yl

ϕy = 0=.

−cos

П одставл я я в (с) ϕ = kt

п ол у ч им у равнения движ ения точ ки A :

=

+

sin kt) ,

=

cos kt y

l

x(2l

r

которы е одновременно

я вл я ю тся

и у равнения ми

траектории точ ки

в

п араметрич еской ф орме.

И скл ю ч ая

время

t , п ол у ч им у равнениекривой,

п о

которой движ ется точ ка, в неп араметрич еской ф орме.

Д л я искл ю ч ения t п ереп ишем уравнения движ ения в виде

x

=

kt;

y

=sincos kt

2r + l

l

П ол ьзу я сьтож деством

2

+

2 kt = 1

kt cos

sin

п ол у ч им

x2

+

y2

= 1

(d)

r + l)

2

(l2

Э то э л л ип с с п ол у ося ми

= 2

a+ l ,

br = l и центром в нач ал екоординат. П ри

изменении t

от 0

до ∞ абсцисса

x

изменя ется

в п редел ах − a ≤ x ≤ a , а

ордината y

в п редел ах −

≤

≤b ,

иy,

сл едовател ьно, точ ка в своем движ ении

обходитвесьэ л л ип с. Т аким образом, в данной точ кевся кривая ,

оп редел я емая

у равнением (d), я вл я ется траекторией точ ки.

υx =

dx

&

υ y =

dy

&

=

dz

&

(2.1)

dt

= x ;

dt

= y ;υz

dt

= z

wx =

dυx

&&

dυy

= &y&; wz =

dυz

= &z&;

; wy =

(2.2)

dt

= x

dt

dt

+υυ 2

υ

= +υ 2

(2.3)

xz

;

y

= + w2

+ww2

w

(2.4)

xz

;

y

υx ü

w

ü

υ

x) =,

ïcos(

w x) =,

x

ïcos(

υ

w

ï

ï

υy ï

wy ï

υ

y) =,

ý cos(

w y) =,

ý cos(

υ ï(2.5)

w ï

(2.6)

z) =, υz ïcos(

w z) =,

wz

ïcos(

υ

υ

ï

w

ï

þ

þ

&

= y& ; z1

= υz = z& ;

(2.7)

x1 = υx = x ; y1 = υ y

где x1 , y1 , z1 -

теку щ иекоординаты

точ ки, вы ч ерч иваю щ ей годограф , а оси

O1 x1 , O1 y1 , O1 z1

соответственноп арал л ел ьны

ося м Ox , Oy , Oz .

9

(п ол у ку бич еская

п арабол а). Т раекторией я вл я ется ч асть э той

п арабол ы , соответству ю щ ая

x ³ 0 .

υ = t

4 + t 2

С л едовател ьно,

υ

t=1сек =

=

245 , 2 сек .

см

Н ап равл ениескоростиоп редел я ется нап равл я ю щ имикосину сами(2.5):

υ

2

υ y

t

υ

y) =,

=cos(

υ

x) =,

x

=cos(

;

;

υ

+ t 2

υ

4

4 + t 2

П ри t

= 1сек имеем

υ

2

υ y

1

υ

x) =,

x

=cos(

;

υ y) =,

=cos(

υ

υ

5

5

Т аким

образом, скорость в

момент t = 1сек

составл я ет с ося ми Ox , Oy

соответственноу гл ы , равны е

0

′

0

′

43 и26

62. 63

3. Н аходим у равнения

годограф а

скорости

в

п араметрич еском виде п о

ф орму л ам (2.7):

x1 = υx = 2t&; y1 = υy = t 2

И скл ю ч ая t , п ол у ч им

y

=

x2

1

1

4

О тсю да

w = 2 1 + t2 ,

w

t=2сек =

=

47 , 42сек5 2 . см

Н ап равл ение ускорения

оп редел я ется

нап равл я ю щ ими косину сами

п о

ф орму л ам (5.8):

x) =,

1 cos(

y) =,

t cos(

w

w

1

+ t2

;

1+ t2 .

П ри t = 2сек п ол у ч им

x) =,

1

x) =,

2

. cos(

;cos(

w

w

5

5

в

момент t = 2сек

Т аким

образом,

вектор

w

образу ет с ося ми Ox ,

Oy

соответственноу гл ы

0

′

0

′

26

62 и63

43.

§3. Опр еделен и ер ади уса кр и ви зн ы

тр аектор и и

Радиу с кривизны

траекториидвиж у щ ейся точ киоп редел я ю тп оф орму л е

ρ =

υ 2

(3.1)

wn

Е сл иданы

у равнения движ ения точ кив координатной ф орме:

=

x(t) x;

=

y(t) y;

= z(t)z

,

тодл я оп редел ения

ρ находя т: