Решение задач по теоретической механике. Часть 1. Статика. Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е

АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю

В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О

С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

С оставител и: Чеботарев

А.С .

Щ егл ова Ю

.Д .

п рикл адной механики

ф аку л ьтета П М М

В оронеж ского госу дарственного

у ниверситета. Рекоменду ется дл я сту дентов

2 ку рса сп ециал ьности 010501

(010200) «П рикл адная

математика и инф орматика», п одисцип л инеЕ Н .Ф .03.1.

«Т еоретич еская механика».

3

О главле н ие .

В ведение.

4

§ 1. О сновны еп оня тия механики. М еханич ескиемодел и.

5

§ 2. Кл ассиф икация векторов.

6

§ 3. С татика. Аксиомы статики.

8

§ 4. П римеры действия сил в статике.

9

§ 5. С вободны е, несвободны етел а. В иды свя зей иихреакции.

12

§ 6.

У сл овия равновесия системы сил .

18

§ 7.

П римеры .

21

§ 8.

Контрол ьны евоп росы дл я самоп роверкиостаточ ны хзнаний.

35

§ 9.

Задания домашней контрол ьной работы .

36

§ 10. С п исокзадач дл я самостоя тел ьногорешения .

41

Л итерату ра.

42

4

Вве д е н ие .

У ч ебно-методич еское п особие п редназнач ено

дл я

сту дентов

сп ециал ьности 010501 (010200) “П рикл адная математика

и инф орматика” ,

обу ч аю щ ихся на втором ку рседневного отдел ения

третьем ку рсевеч ернего

отдел ения , п одисцип л инеЕ Н .Ф

.03.1. “Т еоретич еская механика” .

С огл асно у ч ебному п л ану

ау диторны е заня тия

п о данной

дисцип л ине

методич еский материал

п озвол я етсту дентам индивиду ал ьно изу ч ить один из

раздел ов теоретич еской

механики – статику . О п редел ения ,

п ол ож ения и

п осту л аты , вводя щ иеся

в статике, затем активно исп ол ьзу ю тся

в динамике–

системы

сил , у равнениеравновесия

дл я общ его и всех ч астны х сл у ч аев;

и

п рактич ескиеп римеры

в видереш ения наибол еетип ич ны хзадач статики.

Т ак

ж е в п особии содерж ится

сп исок воп росов дл я

самоконтрол я

и

п ереч еньзадач дл я самостоя тел ьногорешения .

И тогом изу ч ения

статики дл я

сту дентов ф аку л ьтета

П М М я вл я ется

5

§ 1. О с н овн ы е пон ятия м е хан ик и. М е хан иче с к ие м од е ли.

О с н овн ы е пон ятия м е хан ик и.

Т еорет ич еск ая м еханик а – это ч асть ф изики, которая

изу ч ает

материал ьны х тел и сил а

как мера механич еского взаимодействия меж ду

тел ами.

М

е хан иче с к ие м од е ли.

М атериал ьны е тел а

в

теоретич еской

механике

п редставл я ю тся

п ростейш имимодел я ми:

м ат ериальная т оч к а – тел о, конеч ной массы ,

размерами которого мож но

п ренебреч ь;

сист ем а м ат ериальных т оч ек

– совоку п ность нескол ьких тел, каж доеиз

которы х мож но сч итать

материал ьной точ кой, п ри этом

движ ение и

расстоя ниемеж ду

которы ми неменя ется

п ри п роизвол ьны х п еремещ ения х

э той системы ;

сист ем а абсолют но т вердых т ел.

В сеф изич ескиетел а п од вл ия нием

п рил ож енны х сил изменя ю тсвою

ф орму , п рич ем

вел ич ина

деф ормации

зависит от разл ич ны х

у сл овий:

материал а, ф ормы , вел ич ины

инап равл ения сил ы , темп ерату ры ит.д. Ж

идкость

В строител ьном

дел е, машиностроении и дру гих обл астя х техники тел а и

нагру зки вы бираю т так,

ч тобы возмож ны е деф ормации не вы ходил и

за

огранич енны е

п редел ы ,

отсю да сл еду ет требование (у п рощ ение)

–

движ ения .

Д л я оп редел ения п ол ож ения

движ у щ егося тел а (ил и точ ки), с тел ом, п о

отнош ению к которому изу ч ается

движ ение, ж естко свя зы ваю ткаку ю -л ибо

О сновны ми единицами измерения в системеС И я вл я ю тся : единица

массы

[m]=к г, дл ины

[ l ]=м етр , времени[ t ]=сек ун д а . С ил а в системеС И измеря ется

в Н ью тонах, п риэтом Н

=

× м

. к г

с 2

О с н овн ы е разд е лы

те оре тиче с к ой м е хан ик и:

ст ат ик а изу ч аетзаконы

иу сл овия равновесия материал ьны хобъектов;

к инем ат ик а

изу ч ает

геометрич еску ю

сторону движ ения без

п рич ин,

вы звавшихэтодвиж ениеибезу ч ета массы

(свойства инертности);

3) неп одвиж ны е ил и п рил ож енны е

(свя занны е

с

точ кой

своего

п рил ож ения ).

С вободны й вектор изображ ает таку ю

векторну ю

вел ич ину ,

которая

мож етбы ть отнесена к л ю бой точ кеп ространства, нетеря я

п ри этом своего

п ервонач ал ьного ф изич еского смы сл а,

т.е. вся киедва равны х вектора в этом

сл у ч аемогу тп редставл я тьту ж есаму ю

ф изич еску ю вел ич ину . Т ак, нап ример,

7

скорость п осту п ател ьного движ ения

тел а

есть свободны й

вектор,

п отому

ч то она мож етбы ть отнесена к л ю бой точ ке(рис.

2.1.).

С вободны й вектор

оп редел я ется тремя ч исл ами(своимип роекция ми ax ,

ay и az ).

С кол ьзя щ ий

вектор

изображ ает

таку ю

вел ич ину , которая , нетеря я

своего п ервонач ал ьного

ф изич еского смы сл а, мож етбы ть отнесена к л ю бой

из точ ек,

л еж ащ их на п ря мой

DE,

вдол ь которой

нап равл ен вектор,

т.е. одну

и ту

ж е ф изич еску ю

вел ич ину могу тв этом сл у ч аеп редставл я тьтол ькоте

векторы , которы еодновременно равны дру г дру гу и

нап равл ены

вдол ь одной

и той ж е п ря мой;

эту

п ря му ю ,

на

которой л еж ит

вектор,

назы ваю т

основанием ил и л инией действия

вектора (рис. 2.2.).

П римером скол ьзя щ еговектора мож етсл у ж итьсил а,

п рил ож енная

к

абсол ю тно

твердому

тел у ,

ил и

у гл овая скорость.

Г еометрич ески скол ьзя щ ий вектор

оп редел я ется : 1)

п ря мой,

на которой

он

л еж ит

ил и нап равл ением

действия

(э то

нап равл ение

обознач ается стрел кой на концевектора). Анал итич ески

скол ьзя щ ий

вектор

оп редел я ется

п я тью ч исл ами,

нап ример, тремя

п роекция ми ax ,

ay , az вектора a и

координатами х1 ,

y1

точ ки п ересеч ения

п ря мой,

вдол ь

которой нап равл енэтотвектор, с п л оскостью Oху.

Н еп одвиж ны й

вектор

изображ ает

таку ю

ф изич еску ю

вел ич ину , которая

мож ет бы ть отнесена

л ишькодной оп редел енной точ кеп ространства итеря ет

свое п ервонач ал ьное ф изич еское знач ение, бу ду ч и

отнесена ко вся кой

дру гой точ ке п ространства. Т ак,

инеп одвиж ны евекторы

рассматриваю тся каксвободны е.

Д ру гая кл ассиф икация векторов основана на том су щ ественном разл ич ии

меж ду ними,

ч то нап равл ение одних оп редел я ется неп осредственно п о

ф изич ескому

смы сл у

вел ич ин, которы е этими векторами изображ аю тся

8

В ы бор нап равл ения аксиал ьного вектора

зависит от вы бора

осей на отрицател ьны е. Д ействител ьно,

п равая

система

Oxyz п ри замене

п ол ож ител ьны х нап равл ения осей

на

отрицател ьны е образу ет п оказанну ю

п у нктиром л еву ю систему координат

′ ′

′

z Oy, xкоторая никакими п оворотами не

мож етбы тьсовмещ ена с п равой (рис.2.3.).

Заметив

это,

л егко

сообразить, ч то

п роекции

п ол я рного вектора, сохраня ю щ его

свою

ориентацию

в

п ространстве, п ри замене

осей на п ря мо п ротивоп ол ож ны еизменя ю тсвой

знак,

тогда

как

п роекции

осевы х векторов,

п ротивоп ол ож ное, дол ж ны

бу ду тего сохранить.

Н а основании этого

мож но дать дру гое

тогда, когда э тисил ы

равны

п омоду л ю инап равл ены

вдол ь одной п ря мой

в п ротивоп ол ож ны е стороны

(рис.3.1.).

2. Д ействие данной

системы

сил на АТ Т не

изменя ется , есл и к ней п рибавить ил и отнееотня ть

у равновешенну ю систему сил .

С л едствие: действие сил ы

на АТ Т

не изменится , есл и п еренести точ ку

абстракцией сил ы ,

действу ю щ ей

на

небол ьшой

у ч асток. Размерность

сосредоточ енной сил ы

[

]=Н (рис.3.2.).

F

2. Расп редел енны есил ы – сил ы ,

действу ю щ иена некотором отрезке

дл ины ,

у ч астке

п оверхности,

ч асти

объема.

О ни

характеризу ю тся

интенсивностью q, размерностькоторой [q]= H

, [q]=

H

, [q]=

H

на отрезке,

м 3

м

м 2

у ч астке п оверхности,

ч асти объема, соответственно.

Расп редел енны е сил ы ,

действу ю щ ие на

отрезке дл ины ,

п риводя тся

к равнодейству ю щ ей, л иния

действия

которой

п роходит ч ерез точ ку

С , где точ ка С

– центр тя ж ести