Курсовая работа. Вариант - 4 (2 семестр) (2)

Московский Государственный Университет Инженерной Экологии

Кафедра «Теоретическая механика»

Курсовая работа

Тема: «Динамика»

Вариант – 4.

Работу выполнил: Рузанов Леонид

Студент группы: М - 23

Работу проверил: Серов Михаил Владимирович

2005 год.

Москва.

Дано:

Р – вес сплошного катка А;

Q – вес блока В;

G_ин, ρ_ин – вес и радиус инерции блока Д;

Q₁ – вес груза Е;

1. Пользуясь теоремой об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение груза А, если он из состояния покоя переместится на расстояние S_A, считая при этом, что нить невесома и нерастяжима.

2. С помощью принципа Даламбера определить ускорение центра масс груза А и натяжение нитей на участках I и II.

3. Используя общее уравнение динамики определить ускорение центра масс груза А.

4. Используя уравнения Лагранжа II рода:

а) выбрать обобщённую координату системы;

б) составить уравнение Лагранжа II рода;

в) определить ускорение груза А.

5. Сравнить результаты, полученные при вычислении ускорения груза А различными способами.

1. Пользуясь теоремой об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение груза А, если он из состояния покоя переместится на расстояние S_A, считая при этом, что нить невесома и нерастяжима.

Решение:

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из четырёх твёрдых тел.

2. Укажем оси координат.

3. Изобразим внешние силы:

а) заданные: ,,,

б) реакции связей: (нить, наклонная плоскость, неподвижные цилиндрические шарниры В и Д) , ,,,.

4. Примем теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

, т.к. по условию при t = 0 система находится в покое.

, т.к. все тела, входящие в систему, – твёрдые, а нити – нерастяжимые.

а) Определим Т:

Т = Т_А + Т_В + Т_Д + Т_Е (1)

Всю кинетическую энергию будем выражать через скорость той точки, ускорение которой необходимо определить по условию задачи.

Подставим полученные значения Т в уравнение (1):

б)

Всю работу будем выражать через перемещение той точки тела, ускорение которой необходимо определить по условию задачи.

(2)

Дифференцируем уравнение (2) по времени:

Отсюда:

Ответ:

2. С помощью принципа Даламбера определить ускорение центра масс груза А и натяжение нитей на участках I и II.

Решение:

1. Рассмотрим движение тела А:

1. Рассмотрим движение тела А.

2. Укажем оси координат.

3. Изобразим внешние силы:

а) заданные:

б) реакции связей: (нить 1, наклонная плоскость) , , .

4. Принцип Даламбера:

Для любой движущейся механической системы в каждый момент времени активные силы, действующие на систему, реакции связей и искусственно приложенная Даламберова сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

(, , , , )  0

2. Рассмотрим движение тела В:

1. Рассмотрим движение тела B.

2. Укажем оси координат.

3. Изобразим внешние силы:

а) заданные:

б) реакции связей: (нить 1 и 2, шарнир) , , .

4. Принцип Даламбера:

Для любой движущейся механической системы в каждый момент времени активные силы, действующие на систему, реакции связей и искусственно приложенная Даламберова сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

(, , , , , )  0

, ,

3. Рассмотрим движение тела Д:

1. Рассмотрим движение тела Д.

2. Укажем оси координат.

3. Изобразим внешние силы:

а) заданные:

б) реакции связей: (нить 2 и 3, шарнир) , , , .

4. Принцип Даламбера:

Для любой движущейся механической системы в каждый момент времени активные силы, действующие на систему, реакции связей и искусственно приложенная Даламберова сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

(,,,,,)  0

;

;

;

4. Рассмотрим движение тела Е:

1. Рассмотрим движение тела Е.

2. Укажем оси координат.

3. Изобразим внешние силы:

а) заданные:

б) реакции связей: (нить 3) .

4. Принцип Даламбера:

Для любой движущейся механической системы в каждый момент времени активные силы, действующие на систему, реакции связей и искусственно приложенная Даламберова сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

(, , )  0

; ;

Составим систему уравнений:

Сложим (1) и (2) уравнение:

Получим:

(5)

Помножим уравнение (5) на R², а уравнение (3) на 2 и составим систему:

Вычтем из уравнения (3) уравнение (5). Получим:

Выразим из уравнения (6) T₃ и подставим это значение в уравнение (4):

Выразим из (8) а_А:

Найдём значения сил T₁, T₂, T₃:

Из (1) =>

Из (5) => Из (4) =>

Ответ:

3. Используя общее уравнение динамики определить ускорение центра масс груза А.

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из 4 твёрдых тел, соединённых 3 нерастяжимыми нитями.

2. Выберем систему координат.

3. Изобразим внешние силы.

а) активные (заданные): P_A, P_B, P_Д, Q₁

б) на систему наложены идеальные связи, т.к. тела – твёрдые, нити (их соединяющие) – нерастяжимые, а трением в шарнирах В и Д пренебрегаем.

4. Применим объединённый принцип Даламбера-Лагранжа:

а) Система имеет 1 степень свободы (1 уравнение):

б) Изобразим силы инерции:

в) Сообщим системе возможное перемещение. Дадим точке А линейное возможное перемещение, δ_SA. Тогда точки K, O, L, P, E получат соответствующие линейные возможные перемещения (δ_Sk, δ_So, δ_SL, δ_Sр, δ_SE), а тела В и Д – соответствующие возможные угловые перемещения (δφ_B, δφ_Д)

г) Составим общее уравнение Лагранжа:

, т.к. =

, т.к.

, т.к. =

Подставим полученные значения в формулу (1):

Т.к. , то

Ответ:

4. Используя уравнения Лагранжа II рода:

а) выбрать обобщённую координату системы;

б) составить уравнение Лагранжа II рода;

в) определить ускорение груза А.

1.Рассмотрим движение механической системы, состоящей из 4 твёрдых тел, соединённых 3 нерастяжимыми нитями.

2.Выберем систему координат.

3.Изобразим внешние силы.

а) активные (заданные): P_A, P_B, P_Д, Q₁

б) на систему наложены идеальные связи, т.к. тела – твёрдые, нити (их соединяющие) – нерастяжимые, а трением в шарнирах В и Д пренебрегаем.

4.Применим уравнение Лагранжа ІІ рода:

а) Система имеет 1 степень свободы (1 уравнение):

б) Выбираем в качестве обобщённой координаты ;

(3)

в) Вычислим обобщающую силу Q:

(2)

Сообщим системе возможное перемещение. Дадим точке А линейное возможное перемещение, δ_SA. Тогда точки K, O, L, P, E получат соответствующие линейные возможные перемещения (δ_Sk, δ_So, δ_SL, δ_Sр, δ_SE), а тела В и Д – соответствующие угловые возможные перемещения (δφ_B, δφ_Д)

(δ_SA ,δ_Sk, δ_So, δ_SL, δ_Sр, δ_SE)

Вычислим сумму элементарных работ:

δ_SA=δ_Sk=δ_So=δ_SL,

Подставим в (2):

г) Вычислим Т и её производную:

Т = Т_А + Т_В + Т_Д + Т_Е

Подставим и в (3):

Ответ:

5. Сравнить результаты, полученные при вычислении ускорения груза А различными способами.

1.

2.

3.

4.

Вывод: Результаты, полученные различными способами оказались равными.

15