Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Учебно-методическое пособие
.pdfФ Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т
Решениезадач п отеоретич еской механике. Часть2. Кинематика.
Уч ебно-методич ескоеп особиеп осп ециал ьности010501 (010200)
Прикл адная математика иинф орматика.
ВО РО Н Е Ж
2005
2
У тверж денонау ч но-методич еским советом ф аку л ьтета П М М
( 07.06.2005, п ротокол № 10 )
Д оп у щ еноу ч ебно-методич еским советом п оп рикл адной математикеи инф орматикедл я сту дентов вы сшиху ч ебны хзаведений, обу ч аю щ ихся п о сп ециал ьности010200 «П рикл адная математика иинф орматика» ип о нап равл ению 510200«П рикл адная математика иинф орматика»
С оставител и: Чеботарев А.С . Щ егл ова Ю .Д .
У ч ебно-методич ескоеп особиеп одготовл енона каф едреТ еоретич еской и
п рикл адной |
механики ф аку л ьтета П М М В оронеж ского |
госу дарственного |
||
у ниверситета. Рекоменду ется |
дл я сту дентов 2 ку рса дневного отдел ения и 3 |
|||
ку рса веч ернего отдел ения |
сп ециал ьности 010501 |
(010200) «П рикл адная |
||
математика |
и инф орматика» , п о дисцип л ине Е Н .Ф |
.03.1. |
«Т еоретич еская |
|
механика» . |
|
|
|
|
3
С одер ж ан и е
В ведение |
4 |
|
§ 1. Координатны й ивекторны й сп особы задания движ ения точ ки. |
5 |
|
|
У равнения движ ения точ ки. Т раектория |
|
§ 2. С коростьиу скорениеточ ки |
8 |
|
|
|
|
§ 3. О п редел ениерадиу са кривизны траектории |
10 |
|
|
|
|
§ 4. |
У равнение вращ ения . У гл овая скорость и у гл овое у скорение |
12 |
|
тел а. Равномерноеиравноп еременноевращ ениетел а |
|
§ 5. С коростииу скорениеточ ектел а, вращ аю щ егося вокру г |
14 |
|
|
неп одвиж ной оси |
|
§ 6. У равнения движ ения искороститоч екп л оской ф игуры |
15 |
|
|
|
|
§ 7. |
У скорениеточ екп л оской ф игу ры |
18 |
|
|
|
§ 8. |
С л ож ноедвиж ениеточ ки |
33 |
|
|
|
§ 9. |
Контрол ьны евоп росы дл я самоп роверкиостаточ ны хзнаний |
40 |
|
|
|
§ 10. Задания зач етной контрол ьной работы |
41 |
|
|
|
|
§ 11. С п исокзадач дл я самостоя тел ьногорешения |
59 |
|
|
|
|
§ 12. О сновны еф орму л ы кинематики |
60 |
|
|
|
|
Л итерату ра |
62 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
В веден и е |
|
|
|
У ч ебно-методич еское п особие п редназнач ено |
дл я |
сту дентов |
||
сп ециал ьности 010501 (010200) “П рикл адная математика |
и инф орматика”, |
|||
обу ч аю щ ихся на втором курседневного отдел ения |
третьем ку рсевеч ернего |
|||
отдел ения , п одисцип л инеЕ Н .Ф |
.03.1. “Т еоретич еская механика”. |
|
||
С огл асно у ч ебному п л ану |
ау диторны е заня тия |
п о данной |
дисцип л ине |
вкл ю ч аю т2 ч аса л екций и 2 ч аса п рактич еских заня тий в недел ю , в теч ение одного семестра. В тож евремя , объем самостоя тел ьной работы отводимой на освоениеп редмета составл я ет68 ч асов (72 ч аса в/о). П редл агаемы й у ч ебнометодич еский материал п ризван п омоч ь сту дентам изу ч ить один из раздел ов теоретич еской механики – кинематику . О п редел ения , п ол ож ения и п осту л аты , вводя щ иеся в кинематике, затем активноисп ол ьзу ю тся в динамике– основном раздел етеоретич еской механики. П особиевкл ю ч аеттеоретич ескиеосновы :
оп редел ения ; и п рактич ескиеп римеры |
в видерешения |
наибол еетип ич ны х |
|||
задач кинематики. |
|
|
|
|
|
Т ак |
ж е в п особии содерж ится |
сп исок воп росов |
дл я |
самоконтрол я и |
|
п ереч еньзадач дл я самостоя тел ьногорешения . |
|
|
|||
И тогом изу ч ения кинематики дл я |
сту дентов ф аку л ьтета П М М я вл я ется |
||||
решениезач етной работы , варианты которой п риводя тся |
в п особии, наря ду с |
||||
разбором тип ич ны хзадач п одобногорода. |
|
|
|||
С п исок основны х ф орму л |
кинематики и л итерату рны е источ ники п о |
||||
данной |
дисцип л ине дол ж ны |
нацел ить ч итател ей |
на |
п роду ктивну ю |
самостоя тел ьну ю работу .
5
§1. К оор ди н атн ы й и вектор н ы й способ ы задан и я дви ж ен и я точки . У р авн ен и я дви ж ен и я точки . Т р аектор и я
П ри координатном п ространстве в л ю бой координатами:
= x(t
сп особе задания движ ения п ол ож ение точ ки в момент времени t оп редел я ется декартовы ми
) x |
= y(t) y |
= |
z(t)z |
(1.1) |
; |
; |
|
У равнения |
(1.1) |
назы ваю ту равнения ми движ ения |
точ ки. П ри векторном |
|||||||||||
сп особе задания |
движ ения |
п ол ож ение точ ки |
в л ю бой момент времени |
|||||||||||
оп редел я ется еерадиу с-вектором: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(t)r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
(1.2) |
|||
И скл ю ч ив |
из у равнений |
(1.1) п араметр t , |
п ол у ч им неп араметрич еские |
|||||||||||
у равнения кривой, |
п окоторой движ ется точ ка. Т раекторией точ кимож етбы ть |
|||||||||||||
вся п ол у ч енная кривая |
ил и ееч асть. Д л я |
оп редел ения траектории сл еду ет |
||||||||||||
у становитьобл асти изменения координат x , y , |
z п о заданны м у равнения м |
|||||||||||||
движ ения , сч итая |
время |
движ ения t су щ ественно п ол ож ител ьной вел ич иной. |
||||||||||||
П ри известном у равнении кривой, п окоторой движ ется |
|
|
||||||||||||
точ ка, траектория |
|
во |
многих сл у ч ая х |
мож ет бы ть |
|
|||||||||
вы дел ена заданием |
обл асти изменения |
тол ько одной |
|
|||||||||||
координаты . |
П ри |
иссл едовании траектории |
точ ек |
|
||||||||||
механизмов сл еду ету ч иты вать такж еконстру ктивны е |
|
|||||||||||||
особенности данного механизма, огранич иваю щ иеего |
|
|||||||||||||
движ ение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. (рис 1.). Д виж ениеточ кив п л оскостиXOY |
|
|||||||||||||
заданоу равнения ми: |
× sin t |
x ü a |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
(a) |
|
|||||||
|
|
|
= |
× |
ý |
|
|
|
||||||
|
|
|
2tþ ycos a |
|
|
|
|
|
||||||
гдеa - п остоя нная ( a > 0 ); t |
- время . |
|
|
|
|
|
||||||||
О п редел ить траекторию |
точ ки и иссл едовать её |
|
||||||||||||
движ ение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точ ки (a) |
|
|
|
Р еш ение. Заданны еу равнения движ ения |
я вл я ю тся у равнения ми |
|||||||||||||
траектории в п араметрич еской ф орме. Д л я |
п ол у ч ения |
у равнения кривой, п о |
||||||||||||
которой движ ется |
точ ка, в неп араметрич еской ф орме сл еду ет из |
э тих |
||||||||||||
у равнений искл ю ч итьп араметр t . И меем |
|
|
2=t)= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
×sin 2a 1(t 2y |
2a cos |
И зп ервогоу равнения (a) найдём
sin t = ax ,
6
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
y = 2a 1(− |
2x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) , 2,а(0 |
Э то у равнениеп арабол ы , вершина которой находится |
|
|
в точ ке |
||||||||||||
ветви, нап равл ены |
вниз. О днако |
не вся п ол у ч енная |
п арабол а |
я вл я ется |
|||||||||||
траекторией точ ки. Д ействител ьно, |
из (a) |
сл еду ет, |
ч то |
|
x |
|
≤ a , |
|
y |
|
≤ 2a , т. е. |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
траекторией точ ки |
я вл я ется |
ч асть |
п арабол ы , |
закл ю ч енная |
вну три |
п ря моу гол ьника состоронами 2a и 4a . Т аким образом, у равнением траектории
точ кия вл я ется |
y = 2a 1(− |
2x2 |
) |
п ри |
− a ≤ x ≤ a |
. |
|
a2 |
|||||||
|
|
|
Н айдём нач ал ьноеп ол ож ениеточ ки. П ри t = 0 имеем x t=0 = 0 , y t=0 = 2a , т. е. точ ка в нач ал ьны й моментнаходил асьв вершинеп арабол ы . П ривозрастании
t от0 до |
π |
сек |
абсцисса x у вел ич ивается , |
а ордината y у меньшается , т. е. |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= π сек имеем |
|
|
|
|
||||
точ ка движ ется п оп арабол евп раво. П ри t = t1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
t=0 = a |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
t=0 = −2a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В п ромеж у ткеπ |
сек ≤ t ≤ |
3π |
сек точ ка движ ется п оп арабол евл ево, п роходя |
|||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
||
её вершину |
в момент t = t2 |
= π сек. Н ач иная |
с момента t = t3 = |
сек , |
точ ка |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = t |
4 |
= 2π сек |
, |
|||
снова движ ется вп раво, п роходя нач ал ьноеп ол ож ениев момент |
|
|
||||||||||||||||
и т.д. Т аким |
образом, |
точ ка совершаетс теч ением времени кол ебател ьное |
||||||||||||||||
движ ениевдол ьп арабол ы . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача |
2. (рис 2.). |
Зу бч атое |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
кол есо I радиу сом, |
обкаты вается , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
вну три |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неп одвиж ного зу бч атого кол еса II |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
радиу сом |
R = 2r , |
с |
п омощ ью , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
кривошип а |
O1O2 , |
у гол |
п оворота |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
которого ϕ |
задан как ф у нкция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
времени: ϕ = kt |
(k-п остоя нная ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
О п редел итьу равнения движ ения и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
траекторию конца A отрезка AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
дл иной l , неизменносвя занного с |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
кол есом I ирасп ол ож енноговдол ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
его радиу са. |
П ри t = 0 |
кол есо I |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
занимал о |
ниж нее п ол ож ение |
|
|
|
|
|
|
|
|
(п оказанноена рису нкеп унктиром) иточ ка B совп адал а с центром кол еса II.
Р еш ение. Рассмотрим п ол ож ениемеханизма в некоторы й теку щ ий момент времени t . Кол есоI займетп риэ том п ол ож ение, п оказанноена рису нке.
7
П у сть c - точ ка кол еса I, которая в нач ал ьны й моментt = 0 находил ась в
C0 - местезацеп л ения кол ес. |
И з у сл овия |
|
отсу тствия |
скол ьж ения |
(бл агодаря |
|||||||||||||||||||||||||||||
нал ич ию зу бцов) имеем |
= |
0 |
D C |
|
|
RCDϕ = rγ |
|
γ = Ð |
1 |
D |
. |
CO |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ил и |
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
И мея в виду , ч то R = 2r п ол у ч им γ = 2ϕ . О бознач им ч ерезψ остры й у гол , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
составл енны й диаметром СВ с вертикал ьной осью O2 y . П отеоремеовнешнем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
у гл етреу гол ьника имеем γ = ϕ +ψ = 2ϕ отку да ϕ = ψ . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
О тсю да, л егко закл ю ч ить, ч то точ ка C |
|
в п роцессевсего движ ения бу дет |
||||||||||||||||||||||||||||||
п еремещ аться вдол ьоси O2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
ч ерез x |
|
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
О бознач им |
координаты точ ки А |
и |
В ведём |
радиу с-вектор |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
. И зрису нка я сно, ч то |
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
OO A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ρ |
O2 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ρ |
|
2 |
|
|
1 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
П роектиру я э товекторноеравенствона оси, п ол у ч им |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 1 |
+ l sin=r=ϕ)ü ϕ 2( |
A+ O ψsin |
xO O sin |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= l cosϕ ϕ |
ý |
|
|
|
|
y= O- O |
(с)cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
A+ Oψcos |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
О тсю да сл еду ет, |
ч тоточ ка B в п роцесседвиж ения п еремещ ается вдол ьоси |
|||||||||||||||||||||||||||||||
O2 x таккак |
B |
A |
yl |
ϕy = 0=. |
|
|
−cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
П одставл я я в (с) ϕ = kt |
п ол у ч им у равнения движ ения точ ки A : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
sin kt) , |
= |
cos kt y |
|
|
l |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(2l |
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
которы е одновременно |
я вл я ю тся |
и у равнения ми |
траектории точ ки |
в |
||||||||||||||||||||||||||||||
п араметрич еской ф орме. |
И скл ю ч ая |
время |
|
t , п ол у ч им у равнениекривой, |
п о |
|||||||||||||||||||||||||||||
которой движ ется точ ка, в неп араметрич еской ф орме. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Д л я искл ю ч ения t п ереп ишем уравнения движ ения в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|
|
|
kt; |
|
y |
=sincos kt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2r + l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
П ол ьзу я сьтож деством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
2 kt = 1 |
|
kt cos |
|
|
|
sin |
|||||||
п ол у ч им |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
+ |
y2 |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(d) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
r + l) |
2 |
|
(l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Э то э л л ип с с п ол у ося ми |
= 2 |
|
|
a+ l , |
br = l и центром в нач ал екоординат. П ри |
|||||||||||||||||||||||||||||
изменении t |
от 0 |
до ∞ абсцисса |
x |
|
|
изменя ется |
в п редел ах − a ≤ x ≤ a , а |
|||||||||||||||||||||||||||
ордината y |
в п редел ах − |
≤ |
|
≤b , |
иy, |
сл едовател ьно, точ ка в своем движ ении |
||||||||||||||||||||||||||||
обходитвесьэ л л ип с. Т аким образом, в данной точ кевся кривая , |
оп редел я емая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
у равнением (d), я вл я ется траекторией точ ки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
§2.С кор остьи ускор ен и еточки
П ри заданном движ ении точ ки в п ря моу гол ьны х декартовы х координатах скоростьточ киоп редел я ю тся п оихп роекция м на неп одвиж ны еоси:
υx = |
dx |
& |
υ y = |
dy |
& |
= |
dz |
& |
(2.1) |
|
|
|
|||||||
dt |
= x ; |
dt |
= y ;υz |
dt |
= z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
wx = |
|
|
dυx |
|
&& |
|
|
|
dυy |
= &y&; wz = |
dυz |
= &z&; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
; wy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
|||||||
|
|
dt |
= x |
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+υυ 2 |
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= +υ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
; |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= + w2 |
+ww2 |
w |
|
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
; |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υx ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
ü |
|
||||
|
υ |
x) =, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ïcos( |
|
|
|
|
|
|
|
|
w x) =, |
|
|
|
x |
|
|
ïcos( |
|||||||
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
υy ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wy ï |
|
|||||||
|
υ |
y) =, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ý cos( |
|
|
|
|
|
|
|
w y) =, |
|
|
|
|
|
|
ý cos( |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
υ ï(2.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w ï |
(2.6) |
||||||||
|
|
|
z) =, υz ïcos( |
|
|
|
|
|
|
|
|
w z) =, |
wz |
ïcos( |
|||||||||||||
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
υ |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
ï |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
У равнения мигодограф а скоростив п араметрич еском видея вл я ю тся :
|
& |
= y& ; z1 |
= υz = z& ; |
(2.7) |
|
x1 = υx = x ; y1 = υ y |
|||
где x1 , y1 , z1 - |
теку щ иекоординаты |
точ ки, вы ч ерч иваю щ ей годограф , а оси |
||
O1 x1 , O1 y1 , O1 z1 |
соответственноп арал л ел ьны |
ося м Ox , Oy , Oz . |
|
Задача 3. Д аны у равнения движ ения точ ки:
x = t 2 ; y = 13 t 3
( x , y - в сантиметрах; t - в секу ндах).
О п редел ить: 1) траекторию точ ки; 2) скоростьточ кив моментt =1сек ; 3) годограф скорости; 4) у скорениетоскип ри t = 2сек .
Р еш ение: 1. И скл ю ч ая t из у равнений движ ения , п ол у ч им у равнение кривой, п окоторой движ ется точ ка.
y2 = 19 x3
|
9 |
(п ол у ку бич еская |
п арабол а). Т раекторией я вл я ется ч асть э той |
п арабол ы , соответству ю щ ая |
x ³ 0 . |
2. Н аходим п роекциискороститоч кина осикоординатп оф орму л ам (2.1):
υx = x& = 2t&; υy = y& = t 2
отку да
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ = t |
|
4 + t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
С л едовател ьно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
υ |
|
t=1сек = |
|
|
|
= |
|
|
|
245 , 2 сек . |
|
см |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Н ап равл ениескоростиоп редел я ется нап равл я ю щ имикосину сами(2.5): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ y |
|
|
|
t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
y) =, |
=cos( |
|
|||||||||||||
|
υ |
x) =, |
x |
|
=cos( |
|
|
; |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
υ |
|
|
+ t 2 |
|
|
|
|
|
υ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 + t 2 |
||||||||||||
П ри t |
= 1сек имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ y |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
υ |
x) =, |
|
|
|
x |
=cos( |
; |
|
|
|
|
υ y) =, |
|
|
=cos( |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
υ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||
Т аким |
образом, скорость в |
|
|
момент t = 1сек |
составл я ет с ося ми Ox , Oy |
||||||||||||||||||||||||||||||
соответственноу гл ы , равны е |
|
|
|
0 |
′ |
|
|
|
|
|
0 |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
43 и26 |
|
62. 63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. Н аходим у равнения |
годограф а |
|
скорости |
в |
п араметрич еском виде п о |
||||||||||||||||||||||||||||||
ф орму л ам (2.7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x1 = υx = 2t&; y1 = υy = t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
И скл ю ч ая t , п ол у ч им |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
= |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г одограф ом скоростия вл я ется ч астьэ той п арабол ы , соответству ю щ ая
0 ≤ x1 ≤ ∞
4. Н аходим п роекцииу скорения точ кина осикоординатп оф орму л ам (2.2): wx = ddtυx = 2 ; wy = ddtυy = 2t
|
|
|
|
О тсю да |
w = 2 1 + t2 , |
10
сл едовател ьно,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
t=2сек = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
47 , 42сек5 2 . см |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Н ап равл ение ускорения |
|
|
|
|
|
|
оп редел я ется |
нап равл я ю щ ими косину сами |
п о |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ф орму л ам (5.8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x) =, |
|
|
|
1 cos( |
|
|
|
|
y) =, |
|
|
t cos( |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ t2 |
|
|
; |
|
|
1+ t2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
П ри t = 2сек п ол у ч им |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x) =, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x) =, |
2 |
|
. cos( |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;cos( |
|
w |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
момент t = 2сек |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Т аким |
образом, |
|
вектор |
|
|
w |
образу ет с ося ми Ox , |
Oy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответственноу гл ы |
|
|
0 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
′ |
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
62 и63 |
|
|
43. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Опр еделен и ер ади уса кр и ви зн ы |
тр аектор и и |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Радиу с кривизны |
траекториидвиж у щ ейся точ киоп редел я ю тп оф орму л е |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = |
|
|
υ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е сл иданы |
|
у равнения движ ения точ кив координатной ф орме: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
x(t) x; |
= |
y(t) y; |
|
|
= z(t)z |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
тодл я оп редел ения |
ρ находя т: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ= +υ |
|
|
|
+υ |
|
|
|
υ |
|
||||||||||
|
υ = x& υ = y |
|
υ = z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1. |
x |
|
, |
|
|
y |
|
|
|
|
, |
|
|
z |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
; |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
w = |
dυ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
dt |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
w = x |
|
|
w = y |
|
w = &z& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ww w |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= + w |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
x |
&& |
, |
|
|
y |
|
|
&& |
, |
|
|
z |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xz |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
2 −wwτ2 |
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
ρ = |
υ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|