Добавил:

Ecolog Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет инженерной экологии

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2014

Размер:

975.92 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Задача 4. Д виж ениеточ ки задано у равнения ми

ì	=	+	t) 3	cost	x a cos (3
í	=	+	t) 3	sint y	asin (3
î	=	+	t) 3	sint y	asin (3
( a - п остоя нная вел ич ина).
О п редел итьрадиу с кривизны	траекториикакф ункцию временив п ромеж у тке
	0 ≤ t ≤	π
	0 ≤ t ≤	2 .

Р еш ение. О п редел им п роекциискороститоч кина координатны еоси:

υx = & = -

sinxt

(sin

υ y

= & =

t) ,3

costy

(cos

сл едовател ьно,

cos+

t ,

cos

a 36a

) 2t

отку да υ = 6a cost .

Касател ьноеу скорение

wτ

dυ

−6=asin t .

Н айдём п роекцииу скорения точ кина координатны еоси:

x	υx			+	=t)-w3= cost		3	a 3 (cos
y	= υ	y	= −	+	t)w3	sint 3	a3	(sin
y		y			,
отсю да
2 =			2 +	t) .2	wcos	3a	5(	18

О п редел им нормал ьноеу скорениеточ ки:

			τ =	−	cos	2	t ,	2	144a	2	2
	n		τ =	−	cos		t ,		144a		w w
отку да	n	=	cosw t .	12a
	И скомы й радиу с кривизны	траекториибу дет

ρ = υ 2 = 3a cos t wn

Н аибол ьший радиу с кривизны ρmax = 3a .

§4.У р авн ен и евр ащен и я. У гловая скор остьи угловоеускор ен и етела.

Равн омер н оеи р авн опер емен н оевр ащен и етела

Уравнениевращ ения тел а вокру г неп одвиж ной осиимеетвид

ϕ= ϕ(t)

гдеϕ - у гл овая координата тел а.

У гл овая скоростьω иу гл овоеу скорениеε соответственноравны

	ω =		dϕ	сек	рад
			dt

ε =	dω	=	d 2ϕ	сек2	рад
	dt		dt2

(4.1)

(4.2)

(4.3)

Е сл и в данны й моментвремени εω > 0 , то в э тотмоменттел о вращ ается у скоренно, есл иж еεω < 0 , товращ ениезамедл енное.

П ри вращ ении тел а в одном и том ж енап равл ении у гол		п оворота тел а ψ за
п ромеж у токвремени t − t0 оп редел я ю тп оф ормул е
ψ =	ϕ −ϕ0	(4.4)

гдеϕ и ϕ0 - знач ения у гл овой координаты в моментt и t0 .

У гол ψ п оворота тел а свя зан с ч исл ом оборотов тел а N зависимостью

	ψ = 2πN		(4.5)
В технике у гл ову ю скорость тел а вы раж аю т ч исл ом оборотов			в мину ту.
П ереходотn( мин) к ωоб(	сек)	осу щрадествл я ю тп оф ормул е
	ω =	π n
	ω =	30 .	(4.6)

П ри равномерном вращ ении тел а ω = const , ε = 0 . В э том сл у ч аеу равнение вращ ения тел а имеетвид

ϕ = ϕ0 + ω t				(4.7)
П риравноп еременном вращ ениител а ε = const . В э том сл у ч ае
ω = ω0 + ε t				(4.8)
иу равнениевращ ения п ринимаетвид		εt 2		+
иу равнениевращ ения п ринимаетвид	0	ωϕ0t +=ϕ	2	+
			2

Задача

У гол

п оворота диска,

вращ аю щ егося

вокру г неп одвиж ной

оси, изменя ется согл асноу равнению

ψ =

3 + π t2

( k - п остоя нная вел ич ина, ψ - в радианах, t

- в секу ндах).

О п редел ить у гл ову ю

скорость и у гл овоеу скорениедиска ч ерез 4 сек

п осл е

нач ал а движ ения , есл изап ервы е2сек

онсдел ал N = 8 оборотов.

Р еш ение. В ращ ениедиска согл асно заданному

у равнению п роисходитв

одном итом денап равл ении. П оэ тому мож носч итать

3 +=πt 2 = ϕkt ψ

С огл асно(4.5), имеем

π =

k + 4π , 8

отсю да найдем

k =

3π

сек3 ,

рад

таким образом,

ϕ =

3πt 3

+ πt 2 .

И сп ол ьзу я (4.2) и(4.3), п ол у ч им

ω =

9πt 2

+ 2πt

;

ε = π + π

9 t

2 .

В моментвремени t = 4сек имеем

t=4сек = 80π

сек ,

рад

t=4сек

= 38π

сек2

рад

Задача

Г ребной

винт

судна,

имевший

у гл ову ю

скорость

ω0 = 20π

сек ,

остнавлрад ивается ч ерез 20сек

всл едствиесоп ротивл ения

воды и трения

в п одшип никах. С ч итая вращ ениевинта равноп еременны м,

оп редел итьу гл овоеу скорениеич исл ооборотов винтадоостановки.

Р еш ение. Т аккаквращ ениевинта я вл я ется равноп еременны м, топ ол ьзу емся

ф орму л ами(4.8) и(4.9). П риня в ϕ0

= 0

, имеем

ω = ω

+ ε

ϕ = ω

t +

εt 2

t ;

В соответствиис у сл овия мизадач ип ол у ч им

0 = ω0 + εT ,

ϕ = ω0T + εt 2 ,

			14
гдеT - время	вращ ения винта до остановки. О тсю данайдём
ε	ω0	−π=	= −сек2 ;		радϕ =		ω0t	= 200π рад .
ε	ω0	−π=	= −сек2 ;		радϕ =			= 200π рад .
	T					2
Т ак как в п роцессевращ ения ω и ε					имею тразны езнаки, то вращ ение
я вл я ется равнозамедл енны м.
Д оостановкивинтсдел ал			N =	ϕ		= 100 оборотов.
Д оостановкивинтсдел ал			N =	2π		= 100 оборотов.
				2π

§5.С кор ости и ускор ен и еточек тела, вр ащающегося вокр уг

неподви ж н ой оси .

Вел ич ину скороститоч кител а, отстоя щ ей отосивращ ения на расстоя нии h , оп редел я ю тп оф орму л е

	υ =	ω	h			(5.1)
	υ =	ω	h			(5.1)
У скорение л ю бой точ ки		тел а			равно геометрич еской	су мме
центростремител ьногоивращ ател ьногоу скорений:

		ц			вр
=		ц			вр	(5.2)
=				+ ww , w		(5.2)

где

wц = ω2hü

wвр = ε hï (5.3)

В ектор wц	всегда нап равл ен п оп ерп ендику л я ру косивращ ения (в сторону

оси), вектор	wвр нап равл ен п о касател ьной к траектории точ ки в ту ж е

сторону , ч то и скорость, есл и вращ ениетел а у скоренное,

и в обратну ю , есл и

онозамедл енное.

В ел ич ину у скорения находя тп оф орму л е

w = h

ε 2 + ω4

(5.4)

α = arctg

О стры й у гол меж ду

и wц равен

(5.5)

Задача 7.

Ротор ту рбины

вращ ается равноу скоренно из состоя ния

п окоя

таким образом, ч тоеготоч ка M, отстоя щ ая отоси вращ ения на расстоя ние0,4

метра, имеетв некоторой моменту скорение

, равноеп овел ич ине40 м

сек2

и нап равл енноеп од у гл ом

300

к радиу су .

О п редел ить у равнениевращ ение

ротора, а такж евел ич ины скоростиицентростремител ьногоу скорения точ кив

моментt = 5сек.

Р еш ение. Зная

вел ич ину

и нап равл ениеу скорения точ ки М

в некоторы й

моментвремени t , найдем вращ ател ьноеи центростремител ьноеу скорениеп о

ц = ω2w = w

o )

cos(

ф орму л ам

вр

w = w

)

В ы разим

теп ерь у гл ову ю

скорость и

sin(

o )

cos(

o )

sin(2

= рад=50

у гл овоеу скорение

/ с

рад079,

/ с

П оскол ьку

вращ ениеротора равноу скоренноеиз состоя ния п окоя то закон

движ ения

таков:

ϕ = εt2

а вел ич ина у гл овой скорости в л ю бой момент

времени вы раж ается

ω = ϕ = εt . П ри

t = 5 ω =

/ с , а рад250

ф орму л ой

скорость точ ки М

равна

υ =

h =

/ с

100

и центростремител ьное

у скорениеwц

= ω2h =

м / с

25000

О твет: ϕ = 25t 2 , υ = 100 м сек , wц = 25000 м

сек2 .

§6.У р авн ен и я дви ж ен и я и скор ости точек плоской фи гур ы .

У равнения ми движ ения

п л оской

ф игу ры

неп одвиж ной системекоординатя вл я ю тся

x(t)

üx

y0 (t)ýy

(6.1)

ϕ = ϕ(t)

гдеx0 и у0 - координаты п роизвол ьной

точ киO, п риня той зап ол ю с;

O1 x иосью

Ox ' , неизменносвя занной с

ϕ - у гол меж ду неп одвиж ной осью

ф игу рой (см. рис. 3)

У равнениедвиж ения л ю бой точ кип л оской ф игу ры

имею твид

ϕ - y sin= ϕ' ü+ xx	'xcos
ý	y'sin
ϕ + y cos= ϕ+' xy	y'sin
þ	(6.2)
	(6.2)

где x' , y' - координаты	э той точ ки в
системе, скреп л енной с ф игу рой.
С корости дву х л ю бы х точ ек п л оской
ф игу ры O и A свя заны	меж ду собой

зависимостью (рис. 4)

AOA υ

+υ

AO =

(6.4)

вращ ател ьная

скорость

точ ки

относител ьно

нап равл енная

п ерп ендику л я рно отрезку

О А

в сторону вращ ения

ф игу ры

и равная

п о

вел ич ине

υAO = ω ×OA

(6.5)

В э тихф орму л ах

естьмгновенная у гл овая скоростьп л оской ф игу ры .

Е сл и за п ол ю с О

п риня ть мгновенны й

центр скоростей P, т. е.

точ ку ,

скорость которой в данны й моментравна ну л ю , то скорость л ю бой точ ки A

бу детп ерп ендику л я рна котрезку PA, нап равл ена в сторону вращ ения ф игу ры

равна п овел ич ине

υA = ω × PA

Т аким образом,

(6.6)

υ A

(6.7)

Д л я нахож дения

мгновенного

центра

скоростей

достаточ но

знать

нап равл ения

скоростей дву х каких-л ибо точ ек п л оской ф игу ры : мгновенны й

центрскоростей находится на п ересеч ениип ерп ендику л я ров,

восставл енны хиз

данны х

точ ек к

нап равл ения м их скоростей. Е сл и

э ти

п ерп ендику л я ры

сл иваю тся в

один, то дл я

нахож дения

мгновенного центра скоростей надо

доп ол нител ьнознатьвел ич ины

скоростей. М гновенны й центрнаходится в э том

сл у ч аев точ кеп ересеч ения

общ его п ерп ендику л я ра и п ря мой,

соединя ю щ ей

концы

векторов

скоростей.

Е сл и

ж е п ерп ендикул я ры

п арал л ел ьны ,

то

мгновенногоцентра несу щ еству ет. В э том сл у ч аеω = 0 , а скоростивсехточ ек

п л оской ф игу ры	одинаковы	п овел ич инеип онап равл ению .
Е сл и п л оская	ф игу ра,	огранич енная некоторы м конту ром, катится без

скол ьж ения п одру гому неп одвиж ному контуру , тоточ ка их соп рикосновения

в данны й момент, я вл я ется мгновенны м центром скоростей э той ф игу ры .
И меетместо теорема:	п роекции скоростей дву х точ ек п л оской ф игу ры на
п ря му ю , соединя ю щ у ю	э ти точ ки, равны					меж ду собой,	т.е.
	AB		A = прAB		B	пр
		υ		υ			(6.8)

П роекциивектора υ на оси, свя занны ес ф игу рой, оп редел я ю тп оф орму л ам

ì	'	=	ox	' - ωυy	'	υ
ï x
í		=		' + ωυy'		υ
ï	'		oy
î y

Задача 8.

Кривошип

OA механизма, п оказанного на рис. 5, вращ ается с

у гл овой скоростью

ω0 . О п редел ить скорости точ ек B и C, у гл ову ю скорость

звена BD в том п ол ож ении механизма, когда α = 300 ,

β = 600 , а шату н BC

занимает

вертикал ьное

п ол ож ение.

П риня тьOA=OB= a ; BD= a

Р еш ение.

М еханизм

совершает

п л оскоп арал л ел ьное движ ение.

В еду щ им

звеном,

движ ение

которого

задано,

я вл я ется

кривошип

OA ,

совершаю щ ий

вращ ение вокру г

оси

O. О п редел им

скорость конца кривошип а,

т.е. скорость

точ ки A . И меем

υ = ω0 ×

= ω0 a

В ектор

A п ерп ендику л я рен к OA

нап равл ен в сторону вращ ения кривошип а.

П рейдём

к звену

AB .

Н айдём

скорость

точ ки

B .

В ектор

нап равл ен

п ерп ендику л я рно

BD,

так как точ ка

п ринадл еж ит одновременно и звену BD,

котороемож етвращ аться вокру г точ ки D.

точ ке P п ересеч ения

М гновенны й центр скоростей звена AB

находится в

перп ендику л я ров кυ A иυ B .

Из ABP находим

BP = a 23 ; AP = a2 .

П оф орму л е(6.6) имеем

υA = ωAB × PA ,

О тку да

ωAB = υAPA = 2ω0 .

Пол ьзу я сьэ той ж еф орму л ой, оп редел им

B AB == ω0 a× 3υ . BPω

П ерейдём кзвену BD. Зная скоростьточ ки B , найдём

ωBD =

υB

= ω0 .

Д ал еерассмотрим движ ениезвена BC .

И сп ол ьзу ю

теорему

о п роекция х

скоростей дву хточ ек, п ол у ч им

= пр

υC =υ

прυ

υ υ

= coas

0 .

C , отсю да C

Н ап равл ения скоростей

B и

C п оказаны

на рис.

§7.У скор ен и еточек

плоской фи гур ы .

У скорениедву хл ю бы хточ ек

п л оской ф игу ры A и B свя заны

меж ду

собой

соотношением

(рис. 6)

цBAB+=

прBA + w (7.w1)

где

цBA

- центростремител ьное

у скорение

точ ки

нап равл еноотB к A п ол инии BA ип овел ич инеравно

wBAц

= ω2 × BA ;

прBA

(7.2)

ω - мгновенная

у гл овая

скорость п л оской

ф игу ры ;

вращ ател ьное

у скорениеточ ки B п оотношению к точ ке A ;

оноп ерп ендику л я рнок

нап равл ено в сторону

вращ ения

ф игу ры , есл и э то вращ ениеускоренное, и в

обратну ю

сторону ,

есл и

оно

замедл енное.

В ел ич ину

э того у скорения

оп редел я ю тп оф орму л е

wBAпр = ε BA ,

гдеε - мгновенноеу гл овоеу скорениеп л оской ф игу ры .

Е сл и известен мгновенны й центр у скорений, то есть точ ка

которой в данны й моментравно ну л ю ,					то ускорениеточ ки
ф орму л е
	A =	цAQ +		прAQ	, w
	A =	цAQ +		прAQ
			ww

п рич ём

(7.3)

Q , у скорение A находя тп о

(7.4)


w	A = AQ ε 2 + ω2		(7.5)

Е сл и в некоторы й моментизвестно у скорениеточ ки A , а такж евел ич ины

ω и ε , тодл я нахож дения Q сл еду ет п оверну ть вектор ω A в нап равл ении вращ ения ф игу ры , есл и оно у скоренное(и в обратном – есл и замедл енное), на остры й у гол α , оп редел я емы й ф орму л ой

α = arctg			ε	(7.6)


		ω 2
Н а п ол у ч енной п ол у п ря мой сл еду етотл ож итьотрезок
AQ =	ωA			(7.7)

	ε 2	+ ω 4

Конец Q э того отрезка и бу детмгновенны м центром у скорений в данны й момент.

П роекцииу скорений w на оси, свя занны ес ф игу рой, имею твид

x' ox'

y' ox'

ε	=-		x-ïw yw		w
		'	' ü	2
ε	=-	'	' ý	2	w
ε	=-		y+ïw xw		w
			þ

Задач ина оп редел ениеу скорений точ екп л оской ф игу ры мож нораздел итьна 4 основны хтип а.

Задачи ти па I. И		звест	н ы (ил и м о гут бы т ь н айден ы ) уск о р ен ие к ак о й-
л ибо т	о чк и A и м гн о вен н ая угл о вая ск о р о ст ь ω в л ю бо й м о м ен т				вр ем ен и.
Тр ебует	ся о пр едел ит	ь м гн о вен н о е угл о во е уск о р ен ие ε и уск о р ен ие л ю бо й
др уго й т о чк и B пл о ск о й фигур ы .
П оскол ьку известна зависимость ω от t , то ε				находя тп у тём п ростого
диф ф еренцирования		ω .	В ел ич ины неизвестны х	составл я ю щ их	искомого

вектора wB находя тсогл асно(7.2) и(7.3). П осл еэ тогоп о(7.1)		оп редел я ю тwB .
В ел ич ину	w B у добнеевсегонаходитьп у тё м п роектирования	(7.1) на взаимно
ортогонал ьны енап равл ения .
Задача 9. (р и с 7.) Ц ентр кол еса,
которое	катится п о накл онной

пл оскости без скол ьж ения , движ ется

позакону

s = 4t 2		+ 16
( t - в секу ндах, s - в сантиметрах).
О п редел ить	у скорение точ ки
касания кол еса	с	п л оскостью в

момент t =2сек, есл и радиу с кол еса

R =16см.

Р еш ение. Т аккакцентркол еса O движ ется п ря мол инейно, то его скорость и у скорение находя т п о ф орму л ам

υ0 =

= 8t

;

w0 =

dυ0

= 8

П ри

t = 2сек υ

= 16

сек

;

wсм= 8

сек2

см

В виду отсу тствия

скол ьж ения

мгновенны й центр скоростей находится

точ ке касания

кол еса

с п л оскостью .

С л едовател ьно,

мгновенну ю

у гл ову ю

скоростьω п ол у ч им п оф ормул е

υ0

ω =

то естьона п редставл я етсобой известну ю

ф у нкцию времени. Д иф ф еренциру я

ω п овременинайдём

ε= ddtω = 12

Итак, в рассматриваемы й момент

ω = 1

рад

; ε =

1 рад

сек

2 сек

О п редел им у скорениеточ ки P . И меем

цPOP+=

вPOр ,+ w

где

цPO

ω2

OP = 16 ×

сек ,

см

t=2сек

П рич ём

цPO нап равл еноотP к O , а

вPOр

OP ==8

сек2

см

t=2сек

Т ак как кол есо вращ ается у скоренно (ε и ω одного знака),

то вращ ател ьное

у скорение

вPOр

нап равл ено п ерп ендику л я рно к PO в сторону ф игу ры вокру г

п ол ю са O .

вPOр

O = 0 ,

сл едовател ьно,

цPO ,

P =

тоесть wP = 16

сек2 .

см

В ектор wP

нап равл енкцентру кол еса O .

Задачи

ти па

II. В

н ек о т

о р ы й

м о м ен т

вр ем ен и

извест

н ы вел ичин а и

н апр авл ен ие уск о р ен ия к ак о й-л ибо

о чк и A пл о ск о й фигур ы , м гн о вен н ая

угл о вая ск о р о ст

ь ω и пр ям ая, вдо л ь к о т о р о й н апр авл ен о уск о р ен ие др уго й

т о чк и	B . Опр едел ит ь угл о во е уск о р ен ие фигур ы и уск о р ен ие т	о чк и B (а
зат ем	и л ю бо й др уго й т о чк и фигур ы ) в р ассм ат р иваем ы й м о м ен т	вр ем ен и.

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика