Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

Оси, натянутые на собственные векторы dk, называются главными осями инерции. Главные оси инерции пересекаются в точке rX. Собственные числа Θk называются главными моментами инерции. Они вычисляются относительно главных осей инерции. Главные моменты инерции тела будем нумеровать так, чтобы выполнялись неравенства

Если все главные моменты инерции тела различны, то собственные диады di di определяются однозначно. Если два главных момента инерции совпадают, то однозначно находится только та собственная диада, которая соответствует некратному собственному числу. Пусть, например, Θ1 = Θ2 ≤ Θ3. Тогда вместо (5.5.16) будем иметь

Такой тензор называется трансверсально изотропным с осью изотропии, натянутой на вектор d3. Объяснение смысла подобного названия будет дано позднее. Если все три главных момента инерции совпадают, то тензор инерции приобретает совсем простой вид

Тензор вида (5.5.18) называется изотропным или шаровым.

Помимо неотрицательности тензор инерции обладает еще одним замечательным свойством. Главные моменты инерции вычисляются по тензору инерции следующим образом

(m)

где αi есть угол между векторами di и r − rX.

Из неравенств (5.5.20) следует, что тензор инерции может иметь не более одного нулевого момента инерции. Более того, в случае одного нулевого главного момента инерции два других момента инерции обязаны совпадать между собой. Примером тензора инерции такого рода является тензор (5.5.5).

Главные моменты инерции являются объективными характеристиками тела и не зависят от движения тела. Через главные моменты инерции легко вычислить момент инерции относительно произвольной оси, натянутой на единичный вектор n и проходящей через полюс, т.е. через точку тела, относительно которой вычисляется тензор инерции. Имеем очевидную формулу

Θ(n) = n · Θ0 · n = Θ1 cos2 α1 + Θ2 cos2 α2 + Θ3 cos2 α3,

Из равенств (5.5.21) и (5.5.16) следуют минимаксные свойства главных моментов инерции

Θ1 ≤ Θ(n) ≤ Θ3.

Следует обратить внимание, что зависимость тензора инерции от выбора полюса, относительно которого он вычисляется, является весьма серьезным фактором. Например, центральный тензор инерции шара из однородного материала является шаровым. Но тензор инерции того же шара, вычисленный относительно точки, отличной от центра масс, будет уже трансверсально изотропным.

Теорема: для любого тела существует такой полюс, относительно которого тензор инерции является трансверсально изотропным, причем ось изотропии совпадает с главной осью центрального тензора инерции, отвечающей наибольшему моменту инерции.

Доказательство. Рассмотрим центральный тензор инерции Θ(C). Пред-

ставим его в виде спектрального разложения (5.5.15). Выберем теперь другой полюс и вычислим соответствующий ему тензор инерции Θ . Между тензорами Θ(C) и Θ существует связь, установленная формулой (5.5.6)

где e направлен от центра масс к новому полюсу, l — расстояние от центра

масс до нового полюса.

Выберем теперь новый полюс так, чтобы вектор e совпадал бы с вектором d2. Тогда вместо (5.5.22) получим

Сославшись на неравенства (5.5.16), выберем величину l так, чтобы вы-

Теорема: момент инерции тела, вычисленный относительно произвольной оси, принимает минимальное значение, когда в качестве полюса выбирается центр масс тела.

Эта теорема находит приложение на практике при динамическом определении центра масс. Введем еще несколько понятий, которые используются, как в теоретических построениях, так и в прикладных вопросах. Прежде всего, речь идет о понятии радиуса инерции. Момент инерции имеет размерность масса × квадрат длины. Поэтому его можно представить в следующем виде

Jk(rX) = m ρ2k = m κ−k 2, κk = ρ−k 1,

где вводимая по определению величина ρk называется радиусом инерции, а величина κk — модулем инерции [39].

Наконец, центробежным моментом инерции называется [39, 41] величина

Θmn = m · Θ0 · n, |m| = |n| = 1, m · n = 0.

Центробежные моменты инерции появляются, если мы хотим воспользоваться произвольным ортогональным базисом di : di · dj = δij для представления тензора инерции

Θ0 = Θ11d1 d1 +Θ12d1 d2 +Θ13d1 d3 +Θ21d2 d1 +Θ22d2 d2 +Θ23d2 d3+ + Θ31d3 d1 + Θ32d3 d2 + Θ33d3 d3, Θij = Θji.

В этом представлении координаты Θii называются осевыми моментами инерции, а координаты Θij называются центробежными моментами инерции.

5.6.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела

Вернемся к обсуждению различных форм записи кинетической энергии для абсолютно твердого тела. Как отмечалось в предыдущем параграфе тензор инерции в отсчетном положении может быть записан в виде спектрального разложения (5.5.15)

Θ0 = Θ1d1 d1 + Θ2d2 d2 + Θ3d3 d3.

В актуальном положении тензор инерции также имеет спектральное разложение

Θ = P · Θ0 · PT = Θ1D1 D1 + Θ2D2 D2 + Θ3D3 D3, Di ≡ P · di. (5.6.1)

В представлении (5.6.1) векторы Di суть собственные векторы тензора инерции в актуальном положении. Очевидно, что они являются вращающимися

вместе с телом собственными векторами di, которые фиксированы относительно тела. Левую и правую угловые скорости можно представить в виде следующих разложений по главным осям тензоров инерции

Видим, что координаты левой угловой скорости относительно главных осей тензора инерции в актуальном положении совпадают с координатами правой угловой скорости относительно главных осей тензора инерции в отсчетном положении. Иными словами, положение левой угловой скорости относительно вращающегося тела точно такое же, как и положение правой угловой скорости относительно отсчетного положения тела. Напомним, что модули левой и правой угловых скоростей одинаковы. Используя вышеприведенные разложения и подставляя их в выражение для кинетической энергии (5.5.9), получаем

где Θi суть главные центральные моменты инерции.

Если тело вращается вокруг неподвижной точки, то удобнее пользоваться выражением для кинетической энергии (5.5.10). Оно получается из представления (5.6.3) при vC = 0

где Θi суть главные моменты инерции, вычисленные относительно неподвижной точки, т.е. они отличаются от моментов инерции, входящих в (5.6.3), если неподвижная точка не совпадает с центром масс.

Представление (5.6.3) дает ясное представление о различии вкладов в кинетическую энергию абсолютно твердого тела трансляционного и спинорного движений. Зависимость кинетической энергии от трансляционной скорости является изотропной, т.е. энергия этого движения не зависит от направления трансляционной скорости по отношению к телу, а зависит только от квадрата модуля трансляционной скорости. Зависимость кинетической энергии от спинорного движения (угловой скорости) является анизотропной, т.е. энергия спинорного движения зависит не только от величины угловой скорости, но и от ее направления по отношению к телу. При заданном модуле угловой скорости, энергия минимальна, когда вращение происходит вокруг оси с минимальным моментом инерции. Напротив, энергия максимальна, когда вращение происходит вокруг оси с максимальным моментом инерции.

5.7.Вычисление тензоров инерции простейших тел

Рассмотрим тело A, состоящее из n материальных точек с массами mk, k = 1, 2, . . . , n. Тело A считаем абсолютно твердым. Так будет, если все материальные точки соединены между собой нерастяжимыми безмассовыми (безынерционными) стержнями. В качестве полюса выбираем произвольную точку P, расстояние от которой до любой из материальных точек в процессе движения тела A остается неизменным. Вычислим эйлеров тензор инерции тела A в отсчетном положении. Для этого необходимо воспользоваться его определением (5.5.2)

Z

Θ0 = − (r − rP) × E × (r − rP) d m(r),

(m)

где интегрирование ведется по всему пространству, но в тех точках, где массы отсутствуют, нужно принять dm(r) = 0; в точках расположения масс нужно принять dm(rk) = mk.

Тогда интеграл (5.5.2) превращается в сумму

n

X

Θ0 = − mk(rk − rP) × E × (rk − rP) =

k=1

n

X

= mk |rk − rP|2 E − (rk − rP) (rk − rP) . (5.7.1)

k=1

В данном случае вычисление тензора инерции свелось к простой операции суммирования. Полезно запомнить тензор инерции (5.7.1) для случая, когда тело A состоит из одной материальной точки, отстоящей от полюса на расстояние l. В этом случае выражение (5.7.1) принимает вид

где единичный вектор e направлен от полюса к материальной точке. Вычислим тензор инерции тонкого стержня из однородного материала. Мас-

су стержня обозначим через m. Положение стержня в отсчетной конфигурации определяется заданием вектора

r(s) = ra + s e, 0 ≤ s ≤ l,

где вектор ra определяет положение одного из концов стержня; единичный вектор e определяет направление стержня и координата s отсчитывается от точки стержня, определяемой вектором ra.

Выбирая в качестве полюса точку стержня с координатой s , получаем

r(s) − rP = (s − s )e.

Кроме того, учтем, что dm(s) = (m/l)ds. Таким образом, тензор инерции стержня вычисляется по совсем простой формуле

Момент инерции стержня относительно его оси, который называют осевым моментом инерции, равен нулю

Je = e · Θ0 · e = 0.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку s стержня ортогонально оси стержня, вычисляется по формуле

Этот момент инерции часто называют экваториальным моментом инерции. Он достигает своего минимума при s = l/2, что соответствует центру масс стержня, т.е. центральному тензору инерции. Экваториальный момент инерции достигает своего максимального значения, когда полюс выбирается на одном из концов стержня, т.е. при s = 0 или s = l. Таким образом, имеем

Видим, что момент инерции существенно зависит от выбора полюса. В рассматриваемом случае он меняется в четыре раза. “Вращательная инерция” тела оказывается наименьшей, когда тело вращается вокруг своего центра масс. Центральный тензор инерции для тонкого стержня имеет вид

ml2

Θ0 = 12 (E − e e) .

Легко вычисляются тензоры инерции составных тел, если известны тензоры инерции каждого из тел, входящего в составное тело. Это будет простая сумма тензоров инерции. Вычислим, например, центральный тензор инерции гантели, состоящей из стержня длины 2l и массы m и двух материальных точек массой M каждая, закрепленных на концах стержня. В рассматриваемом случае центральный тензор инерции гантели есть сумма центрального тензора

инерции стержня, определяемого формулой (5.7.3) при замене l на 2l, и двух тензоров инерции (5.7.2). Таким образом, имеем

Из приведенных выше примеров видим, что вычисление тензоров инерции для тел, состоящих из материальных точек и прямолинейных стержней, как, впрочем, и стержней произвольного вида, является весьма простой задачей, т.к. она сводится либо к простому сложению, либо к вычислению одномерных интегралов. В общем случае вычисление тензора инерции абсолютно твердого тела сводится к вычислению тройных интегралов по объему, занятому телом. Это уже более сложная задача, но часто она может быть значительно упрощена, если воспользоваться специальными приемами и соображениями симметрии, описанию которых излагается в следующем пункте.

5.8.Группы симметрии. Принцип Кюри–Неймана

Симметрия — одно из важнейших и древнейших представлений как в искусстве, так и в науке. Аргументы, основанные на соображениях симметрии, всегда считались весьма убедительными и достоверными, поскольку с аргументами такого рода легко соглашается наша интуиция. Приложения теории симметрии в физике чрезвычайно обширны, а сама теория симметрии по праву занимает одно из центральных мест в любой рациональной науке. В данном пункте описываются простейшие приложения теории симметрии к определению тензоров инерции. Введем в рассмотрение понятие о группе симметрии тензора второго ранга. При этом достаточно подробно будем рассматривать только полярные тензоры второго ранга [18], каковым и является тензор инерции.

Введем понятие ортогонального преобразования тензоров разных рангов. Пусть дан ортогональный тензор Q

Определение: ортогональными преобразованиями скаляра g, вектора a и

тензора второго ранга A называются соответственно величины

g′ ≡ (detQ)αg, a′ ≡ (detQ)αQ · a, A′ ≡ (detQ)αQ · A · QT , (5.8.1)

где α = 0 для полярных объектов и α = 1 для аксиальных объектов.

Для полярных объектов вводимое определение ортогонального преобразования совпадает с общепринятым. Для аксиальных объектов оно было впервые введено в работе [16]. Для иллюстрации естественности вводимого определения ортогонального преобразования аксиальных объектов рассмотрим два

простых примера. Рассмотрим аксиальный скаляр

f = a · (b × c).

Пусть векторы a, b, c полярны. Тогда ортогональное преобразование скаляра f можно определить непосредственно

f′ = a′ · (b′ × c′) = (Q· a) · [(Q · b) × (Q · c)] = (a· QT ) · [(detQ)Q · (b × c)] = = (detQ)a · (b × c) = (detQ) f.

Здесь мы использовали тождество [18]

(Q · b) × (Q · c) = (detQ) Q · (b × c).

В результате пришли к определению (5.8.1). Типичным примером аксиального вектора является векторное произведение двух полярных векторов. В этом случае также возможно дать определение ортогонального преобразования непосредственно на основе определения ортогонального преобразования полярных векторов

c′ = a′ × b′ = (Q · a) × (Q · b) = (detQ) Q · (a × b) = (detQ) Q · c.

Аналогично можно объяснить определение ортогональных преобразований для тензоров любого ранга [16].

Обратимся к введению важного физического понятия симметрии объектов. Интуитивное представление о симметриях тел имеется практически у каждого человека. Но в рациональной науке эти интуитивные представления должны быть однозначно определены в математической форме. Например, физической операции зеркального отражения, осуществляемой с помощью реального зеркала, должна соответствовать математическая операция, в которой реальному зеркалу должен соответствовать однозначно определенный математический объект. Реальному зеркалу соответствует плоскость, совпадающая с плоскостью зеркала, которую обычно определяют заданием вектора единичной нормали n. Математический объект, точно соответствующий реальному зеркалу, действительно существует и определяется заданием тензора второго ранга

Если тензором зеркального отражения (5.8.2) подействовать на вектор a, то получим вектор a = Q · a. Проекции векторов a и a на плоскость, ортогональную вектору n, совпадают, а проекции этих векторов на вектор n равны между собой по модулю, но противоположны по знаку.

Еще одним важным представлением о симметрии является симметрия тел относительно разного рода поворотов. Например, шар не меняется при произвольных поворотах вокруг своего центра. Этому представлению также отвечает вполне определенный математический объект, называемый тензором поворота, который в соответствии с теоремой Эйлера [18] может быть представлен в следующем виде

Q(ϕm) ≡ (1 − cos ϕ)m m+ cos ϕE+ sin ϕ m×E, Q· QT = E det Q = +1,

(5.8.3) где единичный вектор m определяет прямую, называемую осью поворота, а угол ϕ называется углом поворота.

Действие тензора поворота (5.8.3) на вектор a сводится к повороту этого вектора вокруг оси поворота на угол ϕ. Замечательным является тот факт, что любой элемент симметрии тела может быть представлен в виде композиции тензоров типа (5.8.2) и (5.8.3). Как видим, симметрии тел описываются тензорами второго ранга.

Определение: группами симметрии скаляра g, вектора a и тензора второго

ранга A называются соответственно множества ортогональных решений уравнений

где скаляр g, вектор a и тензор второго ранга A считаются заданными, а

ортогональные тензоры Q подлежат определению.

Смысл введенного определения вполне ясен. Если ортогональное преобразование рассматриваемого объекта совпадает с исходным объектом, то ортогональный тензор, входящий в это преобразование, называется элементом симметрии данного объекта. Очевидно, что множество элементов симметрии объекта действительно образует группу. В самом деле, это множество не пусто, поскольку единичный тензор является элементом (тривиальным) симметрии любого объекта. Обратный элемент также существует для любого элемента симметрии. Осталось только убедиться, что если тензоры Q1 и Q2 являются элементами симметрии, то и их композиция Q3 = Q2 · Q1 является элементом симметрии, т.е. принадлежит к рассматриваемому множеству. Покажем это на примере тензора второго ранга A. Пусть тензоры Q1 и Q2 являются элементами симметрии тензора A, т.е. пусть они удовлетворяют уравнениям