Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

концерте гитариста мы слышим не струну, а звучание деки, качество которой и определяет качество звучания. Популярны электрогитары, в которых колебания струны усиливаются специальными усилителями и подаются на динамики, заменяющими деку в классической гитаре.

Глава 8.

Второй закон динамики Эйлера

8.1.Общая формулировка второго закона динамики

Второй фундаментальный закон механики — это уравнение баланса кинетического момента или второй закон динамики Эйлера. Этот закон, строго говоря, отсутствует в ньютоновой механике. Тем не менее, его частная форма под названием теоремы об изменении кинетического момента используется в современных учебниках и монографиях по механике. Следует обратить внимание, что теорему об изменении кинетического момента можно доказать только для системы материальных точек и только при расширенном толковании третьего закона Ньютона, когда в дополнение к равенству (7.1.5) принимается условие о том, что силы между материальными точками направлены вдоль соединяющей эти точки прямой. Приложение этой теоремы к выводу, например, уравнений движения абсолютно твердого тела является незаконным. Тем не менее, конечные результаты оказываются верными. Причины этого станут понятны немного ниже после постулирования второго закона динамики.

Уравнение баланса кинетического момента: скорость изменения кинетического момента тела A, вычисленного относительно опорной точки Q,

равна моменту MQ(A , Ae) плюс скорость подвода кинетического момента kQ2 (A) в тело A

и носит название второго закона динамики Эйлера. В менее строгой форме Л. Эйлер использовал этот закон еще в 1758 г. при выводе уравнений динамики твердого тела. Как ни странно, но и в настоящее время второй закон динамики Эйлера в качестве фундаментального закона механики не формулируется в существующих учебниках физики и механики. Относить этот закон к разряду теорем, как это считал Лагранж, разумеется нельзя.

В дальнейшем считается, что величина k2(A, Ae) аддитивна, как по те-

264 Глава 8. Второй закон динамики Эйлера

лам, составляющим тело A, так и по телам окружения Ae. Из второго закона динамики вытекает общее утверждение, являющееся продолжением третьего закона Ньютона на моментные взаимодействия. Чтобы доказать это утверждение, разделим тело A на два отделенных тела B и C, т.е. A = B C. Запишем второй закон динамики для тел B и C

Иными словами, момент, действующий на тело B со стороны тела C, равен по величине и противоположен по направлению моменту, действующему со стороны тела B на тело C. Наконец, из равенства (8.1.3) следует, что момент, действующий на тело B со стороны самого тела B, равен нулю, т.е.

MQ(B, B) = 0.

Применим второй закон динамики Эйлера к системе материальных точек. Для системы материальных точек кинетический момент сводится к моменту количества движения

Переставляя индексы суммирования в двойной сумме и складывая получившиеся два равенства с учетом равенства (7.1.3), получаем

n

X

+ Ri × [F(Ai, Ae) + k1(Ai, Ae)] .

i=1

С другой стороны, согласно уравнению баланса кинетического момента (8.1.1) имеем

Здесь учтено, что на материальную точку собственно моменты не могут действовать, поскольку материальная точка не реагирует на повороты. Кроме того, скорость подвода кинетического момента есть просто скорость подвода момента количества движения. Сравнивая между собой два последних равенства, получаем

n

X

(Ri − Rk) × [F(Ai, Ak) + k1(Ai, Ak)] = 0.

i,k=1

Поскольку в качестве тела A можно было выбрать любую пару материальных точек, то отсюда получаем

(Ri − Rk) × [F(Ai, Ak) + k1(Ai, Ak)] = 0

F(Ai, Ak) + k1(Ai, Ak) = λγ−ik1 (Ri − Rk) , (8.1.4)

где λ(Ai, Ak) есть произвольная скалярная функция, γik = |Ri − Rk|.

Если k1(Ai, Ak) = 0, то сила, действующая со стороны материальной точки Ak на материальную точку Ai, направлена по прямой, соединяющей эти точки. Такие силы принято называть центральными. Таким образом, внутренние силы в системе материальных точек по необходимости являются центральными, т.е. направлены по линиям, соединяющим материальные точки. Поэтому в ньютоновой механике систем материальных точек никаких сил, кроме центральных, не существует. Может показаться, что полученные результаты просто подтверждают справедливость третьего закона Ньютона в его расширенной трактовке. Однако это не так. Действительно, если третий закон Ньютона просто постулируется, то нет ничего особенного в том, что этот постулат может

иногда нарушаться и приводить к ограниченности сферы действия механики.

Вэйлеровой механике расширенная версия третьего закона уже не постулат, а доказанная теорема, справедливая только для систем материальных точек. Отсюда следуют важные заключения. Например, имеются экспериментально полученные свидетельства, что силы между ионами в кристаллах не являются центральными. Физики трактуют этот факт как ограниченность механики. На самом деле по доказанному выше следует только то, что ионы нельзя моделировать материальными точками, но ни о какой ограниченности механики речь здесь идти не может.

Врациональной механике второй закон динамики, обычно применяемый под названием теоремы об изменении кинетического момента, находит очень широкое приложение. На нем основана, например, теория гироскопических приборов. Только малая часть этих приложений будет описана в данной книге.

Вданном параграфе в качестве иллюстраций будут рассмотрены некоторые простейшие следствия из второго закона динамики.

8.2.Перманентные вращения твердого тела

Трансляционные движения тела по инерции являются простейшим видом движения, при котором центр масс тела движется прямолинейно и равномерно. Именно это движение рассматривает Ньютон в качестве иллюстрации своего первого закона. Но сразу же вслед за этим примером Ньютон пишет [50]: “Волчок, коего части вследствие взаимного сцепления отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает равномерно вращаться поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха”. Таким образом, Ньютон полагал, что вращение твердого тела является простой иллюстрацией первого закона и вполне аналогично трансляционному движению. Различие состоит только в том, что постоянной сохраняется угловая скорость тела. Так ли это? Чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим так называемые перманентные вращения, т.е. вращения с постоянной угловой скоростью, абсолютно твердого тела. При этом считаем, что никакие силы и моменты на тело не действуют, т.е. его количество движения и кинетический момент сохраняются неизменными.

Выберем инерциальную систему отсчета так, чтобы центр масс тела в ней покоился, и, следовательно, его количество движения обращалось бы в нуль. В качестве полюса в теле выберем центр масс. При этих условиях кинетический момент тела вычисляется по простейшей формуле

K2 = P(t) · Θ · PT (t) · ω(t),

где центральный тензор инерции Θ вычислен в отсчетном положении, в качестве которого примем положение тела при t = 0. При этом P(0) = E. Поскольку в силу второго закона динамики при отсутствии внешнего момента кинетический момент тела сохраняется, то имеем равенство

При перманентных вращениях угловая скорость остается постоянной, т.е. ω(t) = ω0. Откуда следует (смотри решение задачи Дарбу в главе 6), что тензор поворота равен

движным вектором тензора поворота Q(ω0t m). Второе равенство в (8.2.2) следует из того факта, что неподвижный вектор тензора поворота находится с точностью до произвольного множителя. С другой стороны, второе равенство в (8.2.2) показывает, что вектор угловой скорости должен быть собственным вектором тензора инерции. Итак, свободные, т.е. в отсутствии внешних воздействий, перманентные вращения твердого тела возможны тогда и только тогда, когда вращения происходят вокруг одной из главных осей инерции тела. Если волчок вращается вокруг одной из своих главных осей инерции, то Ньютон прав, но этот факт никак не может служить иллюстрацией первого закона Ньютона.

8.3.Теорема об изменении момента количества движения

Вньютоновой механике систем материальных точек второй закон динамики может быть доказан как теорема. Действительно, примем, что для системы материальных точек справедлив второй закон Ньютона (7.1.6) в форме, предложенной Л. Эйлером

Кроме того, примем, что справедлив третий закон Ньютона в его расширенном варианте

Здесь уже равенства (8.3.2) следует воспринимать как дополнительные постулаты, ибо считается, что второй закон динамики не принят. Момент количества движения системы материальных точек вычисляется по формуле (5.2.1)

Дифференцируя это равенство по времени и учитывая равенства (8.3.1) и (8.3.2), получаем

n

X

+F(Ak, Ae) = (Rk − RQ) × F(Ak, Ae) ≡ MQ(A, Ae). (8.3.3)

k=1

Равенство (8.3.3) известно в механике под названием теоремы об изменении момента количества движения. Внешне эта теорема очень похожа на уравнение баланса кинетического момента (8.1.1), но, в отличие от (8.1.1), она справедлива только для систем материальных точек. Тем не менее, при традиционном построении ньютоновой механики ее применяют к системам общего вида. С формальной точки зрения, это, конечно, неправильно, но это не может привести к фактическим ошибкам1 при условии, что моменты, действующие на систему, порождаются силами, действующими на эту систему. Так, например, обстоит дело при выводе уравнений движения абсолютно твердого тела. С кинематической точки зрения абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, если принять дополнительные ограничения (связи), что расстояния между материальными точками системы не меняются в процессе движения. Но теорема об изменении количества движения в этом случае, строго говоря, не применима, поскольку для твердого тела равенства (8.3.2) теряют смысл и неправильны2. Тем не менее, назовем ли мы равенство (8.3.3) теоремой и незаконно применим ее к выводу уравнений движения абсолютно твердого тела или скажем, что мы используем постулат (8.1.1), результирующие уравнения при этом никак не изменятся. Если же на абсолютно твердое тело действуют моменты, не порождаемые силами, то теорема об изменении момента количества движения ничего не дает даже при принятии аксиом (8.3.2).

1Здесь мы видим важную особенность классической механики. Развитие механики ведет к укреплению ее логических основ и расширению ее сферы действия, но не отменяет используемых ею ранее законов.

2В абсолютно твердом теле внутренние силы не определены и не могут быть определены в принципе.

Подставляя последнее равенство в уравнение и используя условие (8.4.4), получаем уравнение для нахождения угла ϕ(t)

Уравнение (8.4.5) называется уравнением плоских движений математического маятника, а система, состоящая из нити и точечного груза, называется математическим маятником. Уравнение (8.4.5) справедливо только в том случае, если нить растянута, поскольку нить не сопротивляется сжатию. Условие того, что нить растянута, выражается следующим неравенством

··

Здесь было использовано уравнение (8.4.1). Выражая здесь вектор R через угол ϕ, переписываем последнее неравенство в другой форме

Неравенство (8.4.6) можно переписать в терминах начальных отклонений и скоростей, если воспользоваться интегралом энергии, который для уравнения (8.4.5) легко находится. Делать этого не будем, поскольку нас интересует совсем другой вопрос.

Итак, решение рассматриваемой задачи в рамках механики Ньютона оказывается невозможным. Это и не удивительно, ибо в уравнение баланса количества движения невозможно включить момент, создаваемый пружиной. Теорема об изменении момента количества движения также не может учесть этот момент, поскольку эта теорема выводится из уравнения баланса количества движения. Предположение (8.4.4) позволяет решить задачу, но для физически другой системы. Пружина, работающая на поворот, не может оказать влияния на нить, которая будет просто изгибаться в точке прикрепления пружины к нити. Между тем, очевидно, что пружина существенно влияет на движение абсолютно твердого стержня и, следовательно, на движение всей рассматриваемой системы. Рассмотрим вышеописанную задачу в рамках механики Эйлера. Тела A и B будем рассматривать как единое тело E = A B. В качестве отсчетного положения для тела E выберем положение, когда точечная масса находится в низшем положении. В качестве полюса в теле выбираем точку в шарнире. Тогда полюс при движении тела E будет оставаться неподвижным. Тензор инерции тела E в отсчетном положении вычисляется по формуле (5.7.2)

Θ = m l2 (E − k k) .