Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

Поскольку тело совершает движения в плоскости, то оно может поворачиваться только вокруг нормали к этой плоскости. При этом тензор поворота дается выражением

где c — жесткость пружины на поворот; ϕ = 0, когда точечная масса находится в низшем положении.

Подставляя (8.4.8) в (8.4.7), получаем уравнение для определения угла поворота

При c = 0 уравнение (8.4.9) переходит в уравнение (8.4.5), но остается справедливым без ограничения, выражаемого неравенством (8.4.6), поскольку стержень выдерживает и сжимающие усилия. Проверим выполняется ли условие (8.4.4) в данной задаче. Для этого достаточно применить второй закон динамики Эйлера к безынерционному телу B и учесть, что его кинетический момент равен нулю. В качестве опорной точки выбираем шарнирно закрепленный конец стержня. При вычислении момента MO(B, A) точку приведения выбираем в точке сцепления с точечной массой. Тогда получим

MO(B, Be) = MO(B, A) + MO(B, C) = R × F(B, A) − c ϕ i =

= −R × F(B, D) − c ϕ i = 0.

Как видим, сила, передаваемая стержнем, при ϕ 6= 0 не является продольной, т.е. не направлена вдоль стержня, как в нити. Последнее равенство, строго говоря, не может быть получено в рамках механики Ньютона. Тем не менее, если им все же воспользоваться, то теорему об изменении кинетического момента (8.4.3) можно переписать следующим образом

h i·

·

m R(t)× R (t) = −mg R(t) × k − c ϕ i.

Нетрудно убедиться, что из этого равенства следует уравнение (8.4.9). Иными словами, второй закон динамики в рассматриваемой задаче можно не использовать, но взамен приходится использовать второй закон статики, который также невозможно доказать в рамках механики Ньютона. Отсюда видим недостаточность законов Ньютона для решения рассматриваемой задачи.

8.5.Динамические уравнения Эйлера

Уравнения вращения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки были выведены Л. Эйлером в 1758 г., т.е. до открытия им второго закона динамики как независимого постулата механики. При выводе он опирался на теорему об изменении момента количества движения, хотя в то время эта теорема так не называлась, но использовалась. Более того, при строгом использовании теорема об изменении момента количества ничего не могла бы дать, аналогично тому, что мы имели в предыдущем пункте. Но, при наличии гениального ума, можно и неправильными методами получать надежные и правильные результаты. Нормальным людям лучше пользоваться правильными методами.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной точки. Последнюю выберем в качестве полюса в теле. Тогда кинетическая энергия, количество движения и кинетический момент тела вычисляются по формулам (5.3.4), (5.3.7) и (5.3.8) соответственно. Кинетическая энергия может быть записана в двух эквивалентных формах

где ω и Ω суть левая и правая угловые скорости тела соответственно; тензор инерции Θ вычислен относительно неподвижной точки тела в отсчетном положении.

Для количества движения имеем представление

где вектор rc определяет положение центра масс тела относительно неподвижной точки в отсчетном положении, а вектор RC определяет положение центра масс относительно неподвижной точки в актуальном положении.

При вычислении кинетического момента тела в качестве опорной точки выбираем неподвижную точку. Тогда получаем следующие выражения

Обратимся к вычислению сил и моментов, действующих на тело A. При этом воспользуемся аксиомами аддитивности. В результате получим

(m)

где F(r, Ae) есть массовая плотность внешней силы, действующей на точку тела, определяемую в отсчетном положении вектором r; вектор F(r, Ae) — массовая плотность момента, действующего на точку r; векторы Q и L суть силовая и моментная реакции опоры (сферического шарнира), фиксирующей неподвижную точку тела; если опора не сопротивляется повороту тела вокруг нее, то L = 0.

Запишем первый закон динамики для рассматриваемого тела с учетом вы-

Это уравнение позволяет вычислить реакцию Q в опоре, если угловая скорость тела известна. Для определения угловой скорости тела необходимо воспользоваться вторым законом динамики, который можно представить в двух формах: через левую (истинную) и правую угловые скорости тела. В терминах

Второй закон динамики в форме (8.5.4) удобен при рассмотрении свободных вращений тела при M(A, Ae) = 0. Чтобы записать второй закон динамики в терминах правой угловой скорости, нужно воспользоваться вторым из представлений (8.5.3) и следующей формулой

= ˙ + × .

P · Θ · Ω Ω Θ · Ω

Здесь мы воспользовались правым уравнением Пуассона. С учетом этого выражения второй закон динамики (8.1.1) для закрытого тела можно переписать в виде

Уравнение (8.5.5) есть тензорная запись динамических уравнений Л. Эйлера, которые у Л. Эйлера и в книгах по механике представлены в проекциях на главные оси инерции. Приведем и эту форму динамических уравнений Л. Эйлера. Пусть векторы dk суть собственные векторы тензора инерции Θ, который задан в отсчетном положении, т.е. векторы dk не зависят от времени. Тогда векторы Dk = P(t) · dk будут собственными векторами тензора инерции

P(t) · Θ · PT (t) в актуальном положении. Спектральные разложения тензоров инерции в отсчетном и актуальном положениях имеют соответственно вид

Получили, что проекции левой угловой скорости на вращающиеся собственные вектора тензора инерции равны проекциям правой угловой скорости на неподвижные собственные векторы тензора инерции в отсчетном положении. Проецируя левую часть уравнения (8.5.5) на векторы dk, т.е. умножая их скалярно на векторы dk, получаем

где суммирование по повторяющемуся индексу k не производится. Проецируя правую часть уравнения (8.5.5) на векторы dk, получаем

dk · PT (t) · MQ(A, Ae) = Dk · MQ(A, Ae) ≡ Mk(A, Ae).

В координатном виде динамические уравнения Л. Эйлера (8.5.5) имеют вид

3

X

Уравнения (8.5.7) в книгах по механике называют динамическими уравнениями Л. Эйлера, поскольку именно в такой форме они впервые появились у Л. Эйлера. Заметим, что во времена Л. Эйлера ни векторное, ни, тем более, тензорное исчисления еще не были разработаны. Как ни удивительно, но

Л. Эйлер фактически знал эти разделы математики. Практически все исследования по динамике абсолютно твердого тела основаны на использовании динамических уравнений Л. Эйлера в форме (8.5.7).

В заключение этого пункта приведем еще одну форму динамических уравнений Л. Эйлера. Поскольку тензор инерции невырожден, т.е. его определитель отличен от нуля, то он допускает построение обратного тензора. Напомним тождество [18], которое для симметричных невырожденных тензоров прини-

мает вид

(Θ · a) × (Θ · b) = (det Θ)Θ−1 · (a × b), a, b.

Умножая обе части равенства (8.5.5) на тензор Θ−1 слева и учитывая вышеуказанное тождество, получаем [92] уравнение

В некоторых случаях уравнение (8.5.8) оказывается более удобным, нежели другие формы динамических уравнений Л. Эйлера. Вернемся, например, к утверждению И. Ньютона, процитированному в предыдущем пункте. И. Ньютон говорит о равномерном вращении волчка. В предыдущем пункте мы истолковали утверждение И. Ньютона как вращение с постоянной угловой скоростью. Но можно истолковать это утверждение иначе. А именно, как вращение с постоянной по модулю угловой скоростью. Выясним, возможны ли такие вращения, если они происходят не вокруг главных осей инерции, т.е. не являются перманентными. Для этого примем, что MQ(A, Ae) = 0. Умножим уравнение (8.5.8) скалярно на правый вектор угловой скорости и получим

(8.5.9) Последнее неравенство есть условие, что вращения не являются перманентными. Из уравнения (8.5.9) видим, что вращение будет происходить равномерно, т.е. с постоянной по модулю угловой скоростью, тогда, когда два главных момента инерции у тела совпадают. Другие варианты вращений с постоянной по модулю угловой скоростью возникают в случае, когда Ωi = 0, ΩjΩk 6= 0, i 6= j 6= k 6= i. Такие вращения также не являются перманентными. Волчком обычно называют тело вращения, т.е. тело с трансверсально изотропным тензором инерции, два собственных числа которого совпадают между собой. Иными словами, для волчка утверждение И. Ньютона оказывается правильным, если, конечно, равномерность понимать в вышеуказанном смысле. Воистину Великие часто оказываются правыми даже тогда, когда они

ошибаются.

8.6.Свободные вращения твердого тела

Если на тело не действуют никакие внешние воздействия, то говорят, что тело движется по инерции или совершает свободные движения. В этом случае два закона динамики Эйлера выражают собой основную аксиому механики. Первый закон динамики утверждает, что центр масс тела движется равномерно и прямолинейно. Этот факт легко воспринимается и известен каждому школьнику. Второй закон утверждает постоянство кинетического момента тела. Но как при этом будет вращаться и поворачиваться тело? На этот вопрос не ответит не только школьник, но он труден даже для специалиста. Последнему придется провести некоторые, причем не очень простые, вычисления прежде, чем он скажет, как именно будет вращаться тело. Уже в этом факте мы видим, что включение спинорных движений в сферу действия механики влечет за собой значительные усложнения. Это, конечно, печально, но это необходимость, продиктованная самой Природой. Без учета спинорных движений электричество, магнетизм и вообще микромир останутся для теории тайной за семью печатями.

Пусть нам дано абсолютно твердое тело с тензором инерции Θ, вычисленным в отсчетном положении. В качестве последнего выберем положение тела в начальный момент времени t = 0. Пусть в начальный момент времени угловая скорость тела определялась заданным вектором ω0. Пусть, наконец, при t > 0 тело предоставлено самому себе и движется по инерции. Требуется найти повороты и вращения рассматриваемого тела при t > 0. Для ответа на этот вопрос требуется найти решение уравнения (8.2.1). Но оно содержит две неизвестных функции: вектор угловой скорости ω(t) и тензор поворота P(t). Поэтому к уравнению (8.2.1) необходимо добавить уравнение Пуассона, связывающее повороты и вращения. В результате приходим к следующей задаче

Для тензора инерции общего вида задача (8.6.1) имеет довольно сложное решение, которое было построено Л. Эйлером и представлено в книгах по механике под названием случая Эйлера в динамике твердого тела. Полное решение будет изложено в главе, посвященной динамике абсолютно твердого тела. Задача (8.6.1) резко упрощается, если два или три главных момента инерции совпадают. В простейшем случае тензор инерции является шаровым Θ = ΘE. Задача (8.6.1) принимает вид

Шаровой тензор инерции как бы уравнивает трансляционные и спинорные движения. Различие только в том, что в первом случае при движении по инерции постоянной является трансляционная скорость, а во втором — постоянна угловая скорость тела.

Случай трансверсально изотропного тензора инерции будет рассмотрен в следующем пункте.

8.7.Движение твердого тела в центральном поле тяготения

Пусть в начале инерциальной системы отсчета расположено точечное тело с массой M. Пусть в поле тяготения этого тела движется абсолютно твердое тело A с массой m. С физической точки зрения эта задача близка к движению электрона в кулоновом поле ядра, но при этом нам пришлось бы ввести дополнительные понятия, которые пока вводить преждевременно. Поэтому рассмотрим более привычную постановку задачи. Будем рассматривать абсолютно твердое тело, размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между центром масс тела и точечным телом, расположенным в начале системы отсчета. Тензор инерции тела A считается трансверсально изотропным и в отсчетном положении имеет вид

где λ, µ суть осевой и экваториальный моменты инерции тела A соответственно.

Количество движения и кинетический момент тела A задаются выражени-

где R(t), P(t) суть вектор положения центра масс тела A и тензор поворота тела A соответственно, ω — угловая скорость тела A, которая связана с тензором поворота тела A уравнением Пуассона (4.5.4).

В качестве опорной точки при вычислении кинетического момента выбрано начало в системе отсчета. Запишем теперь первые два закона динамики для тела A.

где G есть универсальная гравитационная постоянная.

Уравнение (8.7.3) имеет четыре интеграла движения (один скалярный и один векторный). Скалярный интеграл называется интегралом энергии трансляционного движения. Он получается после скалярного умножения обеих ча-

стей уравнения (8.7.3) на вектор ˙ и имеет вид

R

где ET будем называть энергией трансляционного движения тела A. Векторный интеграл, называемый законом сохранения момента количества

движения или интегралом площадей, получается после векторного умножения обеих частей уравнения (8.7.3) на вектор R и имеет вид

Из последнего равенства видно, что траектория центра масс тела A лежит в плоскости, ортогональной вектору H и называемой плоскостью эклиптики. Решение задачи (8.7.3) – (8.7.5) нетрудно построить, но здесь оно опускается и будет рассмотрено в последующих главах.

Уравнение баланса кинетического момента имеет вид

Отсюда с учетом интеграла (8.7.5) получаем еще один векторный интеграл, фиксирующий сохранение динамического спина тела A. Этот интеграл дается выражением

Интеграл (8.7.6) дает нам уравнение для определения угловой скорости. Иными словами, пришли к задаче, сформулированной в предыдущем пункте и определяемой уравнениями (8.6.1). Равенство (8.7.6) можно переписать в обращенной форме

Решение этого уравнения совместно с уравнением Пуассона позволяет найти угловую скорость и повороты тела A. Разумеется, к этим уравнениям должны быть добавлены начальные условия

Здесь мы приняли, что в качестве отсчетного положения тела A выбрано его начальное положение. Решение задачи (8.7.7) – (8.7.8) рассмотрим немного подробнее. Нетрудно убедится, что уравнение (8.7.7) допускает интеграл,

который выражает закон сохранения энергии спинорного движения. Подчеркнем, что его нельзя называть законом сохранения вращательного движения, поскольку часть энергии вращательного движения, т.е. энергия трансляционного движения тела A вокруг центра притяжения, уже вошла в интеграл (8.7.4). Энергия спинорного движения вычисляется по формуле

ES = 12ω(t)·P(t)·Θ·PT (t)·ω(t) = 12L·ω(t) = 12L·P(t)·Θ−1·PT (t)·L. (8.7.9)

Вычисляя производную по времени от энергии ES и учитывая уравнения Пуассона и (8.7.7), немедленно убеждаемся, что энергия спинорного движения ES сохраняется неизменной

= (L × ω) · ω − ω · (ω × L) = 0.

Всякий тензор поворота выражается через три параметра. Например, через углы Эйлера. Общая теорема о представлении тензора поворота через три параметра доказана в работе [19] и выражается равенством (3.8.1). Закон сохранения энергии спинорного движения ES = const показывает, что три вышеупомянутых параметра должны удовлетворять одному скалярному равенству (8.7.9). В результате, тензор поворота, тождественно удовлетворяющий закон сохранения энергии спинорного движения, может быть выражен через два произвольных параметра. Введем обозначение

для поворота на угол ϕ вокруг вектора m. Тогда искомый двухпараметрический тензор поворота может быть выражен в виде композиции двух поворотов

где угол собственного вращения ϕ задает вращение вокруг оси изотропии e тела A, а угол прецессии ψ задает прецессию тела A вокруг постоянного вектора динамического спина L.

Подстановка (8.7.11) в (8.7.9) дает

ES = 21L · ω(t) = L · Q (ψm) · Q (ϕe) · Θ−1 · QT (ϕe) · QT (ψm) · L =

= L · Θ−1 · L = const. (8.7.12)

Здесь учтены очевидные тождества

L · Q (ψm) = L, e · Q (ψe) = e, Q (ϕe) · Θ−1 · QT (ϕe) = Θ−1.

Таким образом, двухпараметрическое представление тензора поворота (8.7.11) сохраняет энергию спинорного движения при любых значениях углов ϕ и ψ. Вычисляя угловую скорость композиции поворотов (8.7.11), получаем

= ˙ + ( ) = ( ) ˙ +

ω ψm ϕ˙ Q ψm · e Q ψm · ψm ϕ˙ e . (8.7.13)

С другой стороны, подставляя представление (8.7.11) в уравнение (8.7.7), получаем

с постоянной скоростью прецессии ˙ и вращается с постоянной угловой ско-

ψ

ростью ϕ˙ вокруг собственной оси, причем угол между осью тела и вектором его динамического спина сохраняется неизменным. Движение такого рода в динамике твердого тела называют регулярной прецессией.

Применим теперь полученные результаты к описанию вращения Земли. Это справедливо при пренебрежении влиянием Луны и гравитационного момента от Солнца. Как известно, моменты инерции Земли различаются весьма незначительно

λ1, 0033 µ.

Ксожалению, автор не знаком с деталями наблюдений по изучению вращения Земли и потому не в состоянии судить о степени их точности. Много полезных сведений о движении Земли можно найти в книге [27]. Поскольку вектор динамического спина постоянен, то он фиксирован относительно плос-

кости эклиптики. Считается [27], что ось Земли также фиксирована относительно плоскости эклиптики и составляет с ней угол 66o33′. Согласно (8.7.17) одновременная фиксация и динамического спина, и оси Земли возможна тогда