Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

можно представить себе как несущее тело, в котором закреплены n роторов, независимо вращающихся относительно несущего тела. Тензор P0(t) характеризует поворот несущего тела. Тензоры Pm(t), m = 1, 2, . . . , n характеризуют абсолютные повороты каждого из роторов. Движение многоспиновой частицы характеризуется набором скоростей

Кинетическая энергия, как всегда, является квадратичной формой скоростей

Тензоры Bm и Ckm называются тензорами инерции. Количество движения многоспиновой частицы находится по формуле

Кинетический момент вычисляется следующим образом

Практическое использование этих формул нуждается в дополнительных пояснениях, которые здесь не приводятся, поскольку в данной книге основное внимание будет уделяться эйлеровой механике в ее простейшей форме. Однако позднее будет продемонстрировано применение многоспиновых частиц, где и будут даны необходимые детали.

Кинетическая энергия, количество движения и кинетический момент исчерпывают список динамических структур тела-точки.

5.2.Тела и их динамические структуры

Вмеханике любое тело рассматривается как совокупность неких первичных тел-точек. Например, в ньютоновой механике всякое тело рассматривается как совокупность материальных точек. Нет оснований отказываться от этой традиции. Однако здесь имеются проблемы, которые до сих пор не получили ясного разрешения. Все было бы очень просто, если бы была возможность

ограничиться первичными телами-точками только одного типа, как это и делается в ньютоновской механике. На самом деле ситуация сложнее. Во-первых, современное состояние науки позволяет утверждать, что от действительно первичных тел-точек, если они вообще существуют, мы еще очень далеки. Вовторых, первичные тела-точки, из которых современная механика составляет тела, существенно различны. В-третьих, и это главная проблема, первичные тела-точки в процессе взаимодействий могут не только менять свою структуру, но может меняться и их число. Например, 2n атомов водорода (первичные тела одного типа) при взаимодействии с n атомами кислорода (первичные тела-точки другого типа) образуют в результате n молекул воды (первичные тела-точки третьего типа). Таким образом, вместо 3n первичных тел-точек мы получили n других первичных тел-точек. О том, почему молекулу воды нельзя считать просто состоящей из трех тел-точек, будет немного сказано при обсуждении понятия внутренней энергии. Могут возразить, что рассмотрение подобных трансформаций частиц выходит за рамки рациональной механики и составляет предмет химии. Так это и было до недавнего времени. Однако современные технологии таковы, что многие сложные физические, химические и механические явления уже нельзя изучать раздельно. Поэтому для их совместного рассмотрения необходимы такие формулировки фундаментальных законов, которые допускают существование сложных явлений, подобных указанным выше. Тем не менее, в данной книге мы будем придерживаться точки зрения, близкой к традиционной. Будем считать, что Вселенная рациональной механики есть множество тел-точек, структура которых определена выше. Выберем в системе отсчета простую замкнутую поверхность Ляпунова St, которая может деформироваться и перемещаться относительно тела отсчета. Считается, что на St нет никаких тел-точек, хотя можно и отказаться от этого условия.

Определение: множество MA тел-точек, находящихся внутри St, называется телом A, а множество MeA тел-точек, находящихся вне St, называется окружением тела A и обозначается Ae.

Принятое выше определение тела нельзя считать достаточно общим и иногда от него приходится отказываться. Мы принимаем это определение для простоты, чтобы начинающий изучать механику имел бы какой-то интуитивный образ тела. После приобретения определенного опыта изучающий без труда сможет отказаться от этого определения. Во всяком случае, принимаемые определения отнюдь не являются догмами и при необходимости могут быть изменены.

Объемом тела A называется объем, заключенный внутри St, поэтому объем тела A не является физической (объективной) характеристикой тела A.

Определение: тело A называется закрытым, если оно не обменивается телами-точками со своим окружением: в противном случае тело A называ-

ется открытым.

Аксиома: кинетическая энергия, количество движения и кинетический момент тела A аддитивны по телам-точкам, составляющим тело A.

В ньютоновой механике все тела рассматриваются как совокупности материальных точек. В этом случае кинетическая энергия, количество движения и кинетический момент тела A вычисляются по простейшим формулам, вытекающим из выражений (5.1.1)

Для сплошных тел все суммы в (5.2.1) заменяются интегралами. Задержимся ненадолго на кинетической энергии тела A, являющегося совокупностью материальных точек. Такие тела являются основным объектом исследования в классической механике. С этой целью введем в рассмотрение понятие центра масс тела. Следует иметь в виду, что понятие центра масс вводится по определению и само по себе не является выражением какого-либо физического закона. Тем не менее, оно чрезвычайно удобно и полезно в приложениях. Для системы материальных точек центр масс определяется следующим образом

где векторы Rk определяют положения материальных точек с массой mk. Последнее выражение в (5.2.2) есть определение центра масс для сплошных

тел, к которым мы обратимся позднее. Введем в рассмотрение векторы ρi, определяющие положение i материальной точки относительно центра масс

С учетом равенств (5.2.2) и (5.2.3) выражение для кинетической энергии (5.2.1) переписывается следующим образом

Выражение (5.2.4) известно в механике (см., например, [41]) под названием

теоремы Кенига: кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс и имеющая массу, равную массе всей системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

Аналогичные представления имеются для количества движения и кинетического момента тела A

Здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Если тело A, состоящее из множества материальных точек, рассматривать как одно телоточку, то его уже нельзя рассматривать как материальную точку, но можно рассматривать как своего рода односпиновую частицу. В самом деле, допустим, что точки тела A движутся по закону

где вектор uk(t) в некотором смысле мал и им можно пренебречь.

Тогда для кинетической энергии, количества движения и кинетического

причем тензор Θ называется тензором инерции. Таким образом, если система материальных точек движется так, что расстояния между материальными точками в процессе движения меняются незначительно, то при взгляде на эту систему издалека ее можно воспринимать как односпиновую частицу.

Обратимся к рассмотрению тел, состоящих из односпиновых частиц. Пусть все характеристики i-го тела-точки снабжаются индексом i. Тогда в соответствии с принятой аксиомой имеем

где Ki называется массовой плотностью кинетической энергии. Количество движения определяется выражением

Для сплошных тел все суммы в (5.2.5) – (5.2.7) заменяются интегралами

где величина K называется массовой плотностью кинетической энергии, тензоры B, C суть массовые плотности тензоров инерции. Все величины под знаком интеграла вычисляются в той точке тела, окрестность которой обладает бесконечно малой массой d m.

Вформулах (5.2.8) – (5.2.10) величины под знаком интеграла вычисляются

втой точке тела, окрестности которой принадлежит бесконечно малая масса d m. К обсуждению тел, составленных из односпиновых частиц, мы еще вернемся при обсуждении понятия квазитвердого тела. Поэтому обсуждение тел из односпиновых частиц нельзя считать законченным.

Впоследние 30–40 лет сложилось мнение, что механику сплошных сред нельзя построить на основе “молекулярных” представлений. Это мнение обосновывается различными аргументами. В частности, К.Трусделл и Р.Тупин [69]

считают это невозможным, поскольку на микроуровне действуют законы квантовой, а не классической механики. Может быть, это и в самом деле так. Но автор полагает, что возможности классической механики далеко не исчерпаны. Если для тел-точек рассматривать модель односпиновой частицы (5.1.4) или даже вводить в рассмотрение многоспиновые частицы, то поведение таких тел-точек совсем не похоже на то, к которому мы привыкли. Есть основания думать, что использование тел-точек общего вида восстановит дееспособность классической механики и на микроуровне. Что касается перехода к сплошной среде, то здесь необходимо использовать так называемый нестандартный анализ, т.е. вернуться к языку, которым пользовался Л. Эйлер.

В качестве примеров использования моделей материальной точки и односпиновой частицы рассмотрим динамические структуры одномерных сплошных сред. В приложениях часто встречаются такие объекты, как нити, струны, канаты и т.д. Их основное свойство заключается в том, что они не сопротивляются изгибу. Нити можно представлять себе как деформируемые кривые в пространстве. Как известно, параметрическое задание кривой в пространстве определяется заданием вектор-функции R(s, t), где параметр s : 0 ≤ s ≤ l есть длина дуги кривой в недеформированном состоянии, l есть полная длина нити в недеформированном состоянии, а t есть время. Движение точки нити (или струны) с координатой s определяется заданием вектора положения R(s, t).

Скорость этой точки вычисляется обычным образом (s, t) = ˙ (s, t). Когда v R

параметр s зафиксирован, например s = 0.38l, то вектор R(0.38l, t) задает движение точки нити с координатой s = 0.38l. В качестве тела будем рассматривать часть нити, заключенную в замкнутом интервале [s1, s2]. Введем в рассмотрение неотрицательную функцию ρ(s) такую что масса d m бесконечно малой части нити d s равна d m = ρ(s)d s. Тогда динамические структуры

Еще одним весьма популярным в приложениях объектом является тонкий упругий стержень. Подобно нитям тонкий стержень рассматривается как линия в пространстве, но каждая точка этой линии реагирует не только на смещения, но и на повороты. Это означает, что каждая точка упругой линии-стержня

является односпиновой частицей. Динамические структуры стержня определяются следующими выражениями

Z s2

K(A) = Kρ(s) d s,

s1

Z s2

=[R(s, t) × (v(s, t) + B · ω(s, t)) + v(s, t) · B + C · ω(s, t)] ρ(s) d s,

s1

где в качестве опорной точки выбрано начало в системе отсчета, а массовые плотности тензоров инерции B(s, t) и C(s, t) подлежат определению и зависят от размеров и формы поперечного сечения стержня, который при этом должен рассматриваться не как упругая линия, а как трехмерное тело.

В дальнейшем модели нити и стержня будут наделены дополнительными структурами: силовыми, моментными и внутренней энергии.

5.3.Классическая модель абсолютно твердого тела

Вычислим динамические структуры абсолютно твердого тела, являющегося наряду с материальной точкой одной из основных моделей, рассматриваемых в рациональной механике. Ранее было показано, что движение абсолютно твердого тела определено, если заданы вектор положения произвольно выбранной точки тела, жестко зафиксированной относительно тела и называемой полюсом, и тензор поворота тела. Там же была доказана основная теорема кинематики абсолютно твердого тела, которая позволяет найти вектор положения R(t) текущей точки тела

R(t) = RX(t) + P(t) · (r − rX) , r = R(0), rX = RX(0), P(0) = E, (5.3.1)

где RX(t) — вектор положения произвольно выбираемой точки X, называемой полюсом и зафиксированной в теле A; P(t) — тензор поворота тела.

По выражению (5.3.1) вычисляем распределение скоростей в твердом теле

Кинетический момент, вычисленный относительно опорной точки Q, определяется по формуле

Z

KQ2 (A) = (R − RQ) × (v + ω × (R − RX)) dm =

(m)

= (RX(t)−RQ) × K1(A) + v · B + Θ · ω. (5.3.8)

Сравнивая полученные выражения (5.3.4), (5.3.7) и (5.3.8) с соответствующими выражениями для односпиновой частицы, видим их внешнее совпадение. Различие только в том, что для абсолютно твердого тела тензоры инерции конкретизированы формулами (5.3.5) и (5.3.6). При этом тензор B для абсолютно твердого тела оказался антисимметричным, в то время как у односпиновой частицы он, в принципе, может быть любым. В частности, для кинетической энергии (5.1.9) он был симметричным B = qE. Поэтому такие односпиновые частицы в классической механике не рассматривались.

5.4.Квазитвердое тело и его структуры

При первых чтениях этот параграф можно просто просмотреть или даже пропустить без ущерба для понимания основного содержания.

Выше при определении динамических структур абсолютно твердого тела мы благополучно избежали некоей ошибки, которую мог бы совершить человек, неясно чувствующий различие между трансляционным и спинорным движением. Трудность в том, что и в трансляционном движении, и в спинорном движении имеет смысл понятие угловой скорости. Именно поэтому и понадобилось вводить специальный термин “спинорное движение” вместо не вполне определенного термина “вращательное движение”. Ниже различие между этими терминами проявится весьма отчетливо. Чтобы проявить это затруднение, рассмотрим пример квазитвердого тела, которое состоит из вращающихся частиц, расстояние между которыми не меняется в процессе движения.

Предварительно рассмотрим абсолютно твердое на основе способа, отличающегося от подхода предыдущего параграфа. Как и в предыдущем параграфе, будем исходить из определения кинетической энергии (5.3.3), но перепишем его с учетом (5.3.2) в следующем виде

Сравнивая выражение (5.4.2) с выражением (5.2.8) для кинетической энергии тела, составленного из односпиновых частиц, видим, что они совпадают при B = S и C = − S2. Воспользуемся в таком случае формулами (5.2.9) и (5.2.10) соответственно для определения количества движения и кинетического момента. Для количества движения имеем

где тензор B дается выражением

Z

B = Sdm = m (RX − RC) × E.

(m)

Сравнивая выражения (5.3.7) и (5.4.3), видим, что оба подхода ведут к одинаковым результатам при вычислении количества движения. Обратимся к вычислению кинетического момента и воспользуемся формулой (5.2.10) для тела из односпиновых частиц. Имеем

(m)

где тензор Θ определен формулой (5.3.6).

Сравнивая выражения (5.4.4) и (5.3.8), видим, что они не совпадают: произошло удвоение динамического спина. Разумеется, правильным является выражение (5.3.8). Следовательно, выше мы совершили какую-то ошибку. Особенно неприятно то, что формально мы сделали все правильно. Допущенная ошибка имеет не формально-математический характер, но имеет чисто физическую природу: необходимо было использовать не формулу (5.2.10) для тел из односпиновых частиц, а определение кинетического момента для тела, составленного из бесспиновых частиц, т.е. из материальных точек. В этом случае