Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

его последователи настаивали на том, что определяющим свойством является кинетическая энергия. Значительно позднее выяснилось, что применительно к изолированной материальной точке этот спор не имеет значения, поскольку правыми оказываются и те, и другие. Ситуация резко меняется, если мы говорим о телах общего вида. Механика ценой усилий многих и многих исследователей накопила громадный опыт решения самых различных задач. Этот опыт отчетливо показывает определяющую роль количества движения и кинетического момента тела. Время еще не пришло, а может и никогда не придет, говорить о том, кто и какой вклад внес в решение этой проблемы. Ясно только то, что первый и во многом все определяющий шаг был сделан Л. Эйлером. В настоящее время принято считать, что движение тела определяется его количеством движения и кинетическим моментом. Поэтому можно отказаться от традиционного (правильного, но длинного и довольно запутанного) подхода и принять нижеследующую аксиому, которая является неким дополнением к принципу инерции Галилея, распространяя его на тела общего вида.

Основная аксиома механики: в инерциальной системе отсчета любое изолированное (одинокое во всем мире) тело A движется так, что его количество

движения и кинетический момент сохраняются неизменными.

Обычно эту аксиому предпочитают доказывать как теорему, но при этом введение воздействий становится расплывчатым и ведет к неясностям в трактовке сил и моментов.

Посмотрим, что дает основная аксиома механики, если ее применить к системе материальных точек. Последняя характеризуется заданием кинетической энергии K, количества движения K1 и момента количества движения K2, вычисленного, например, относительно начала в системе отсчета

Основная аксиома утверждает, что количество движения системы материальных точек в отсутствии других тел сохраняется неизменным

Утверждением (6.1.2) фиксируется следующая

Теорема: центр масс изолированной системы материальных точек движется в инерциальной системе отсчета с постоянной скоростью.

Основная аксиома утверждает также сохранение, т.е. постоянство, момента количества движения изолированной системы материальных точек. Преобразуем момент количества движения к другому виду. С этой целью введем

ла за исключением тел A и B, 2) мысленно “заморозить” тело A и превратить его в абсолютно твердое, 3) мысленно придавать всем точкам A всевозможные бесконечно малые смещения ξe, где e, произвольный единичный вектор. Если тело B как-то препятствует описанным смещениям тела A, то сила F (A, B) отлична от нуля. Если существует такое направление e , что тело B не препятствует смещению тела A в этом направлении, то проекция F (A, B) на e равна нулю. Для того, чтобы ощутить наличие собственно момента LP (A, B), необходимо: 1) и 2) как для силы; 3) закрепить точки приведения в теле отсчета и относительно тела A, т.е. тело A и точка P должны составлять абсолютно твердое тело с неподвижной точкой P; 4) мысленно поворачивать тело A вокруг P на всевозможные бесконечно малые векторы поворота ϕe, где |e| = 1. Если тело B как-то препятствует описанным поворотам тела A, то LP (A, B) отличен от нулевого вектора. Если существует такая ось, проходящая через P и натянутая на e , что тело B не препятствует повороту тела A вокруг этой оси, то проекция LP (A, B) на e равна нулю. Из определения момента следует, что при изменении точки приведения собственно момент меняется так, чтобы полный момент MQ (A, B) остался неизменным. Пусть P и S две разные точки приведения. Тогда имеем

Определение: пара векторов F (A, B) ; MQ (A, B) называется воздействием тела B на тело A.

Определение: воздействие тела B на тело A называется чисто силовым (или просто силовым), если существует такая точка приведения RP(t), что при любых движениях тела A воздействие тела B на тело A определяется

заданием пары векторов

Во многих книгах по механике центр силового воздействия называют точкой приложения силы F (A, B). Строго говоря, это неправильно, ибо векторы F (A, B), MQ (A, B), LP (A, B) — суть свободные векторы и ни к каким точкам тела не прилагаются, а центр силового воздействия может находиться вне тела A. Отмеченная неточность не так безобидна, как кажется на первый взгляд: говоря о точках приложения, мы внушаем ученику принципиально неверное на интуитивном уровне представление о силе, что помешает ему, если он захочет изучать нетривиальные случаи, выходящие за рамки устоявшихся моделей. Сказанное дает интуитивно ясное представление о природе понятий сил и моментов. К сожалению, этого нельзя просто выучить, только настойчивая практика применения этих понятий ведет к успеху.

Определение: воздействие тела B на тело A называется чисто моментным, если F (A, B) = 0.

Для первичных понятий невозможно дать определения. В таких случаях даются не определения самих понятий, а перечисляются свойства, органически присущие этим понятиям. Важнейшим свойством сил и моментов, подтвержденным всем ходом развития механики, является их аддитивность как по телам, составляющим тело B, так и по телам, составляющим тело A.

Аксиома: сила F (A, B) и момент MQ (A, B) аддитивны по отделенным телам C и D, составляющим тело B: B = C D

Вычисление момента MQ (A, B) подразумевает выбор опорной точки и точки приведения. Опорная точка должна быть одна и та же в обеих частях (6.2.5). Выбор точки приведения осуществляется произвольно и для каждого из моментов MQ (A, C D), MQ (A, C), MQ (A, D) может производиться независимо.

Аксиома: сила F (A, B) и момент MQ (A, B) аддитивны по отделенным

Приведенными выше аксиомами исчерпываются все постулаты, относящиеся к воздействиям в общем случае. Введенные аксиомы не определяют конкретного вида сил и моментов, они только фиксируют их основные свойства. Заметим, что при традиционном изложении механики вышеуказанные аксиомы в явном виде формулировать не принято. Тем не менее, они активно, хотя и неявно, используются.

Обсудим подробнее введенное понятие воздействия применительно к частным случаям. Если в качестве тела A выбрана материальная точка, то собственно момент, действующий на материальную точку, равен нулю при условии, что точка приведения совпадает с вектором положения материальной точки. Это следует из того, что тела, окружающие материальную точку, не могут реагировать на повороты материальной точки вокруг самой себя, поскольку просто не замечают этих поворотов. Поэтому воздействие на материальную точку всегда является чисто силовым и определяется заданием пары векторов

F(A, Ae), MQ(A, Ae) = (R(A) − RQ) × F(A, Ae).

Это воздействие не содержит собственно моментов и влияет только на трансляционные движения. Оно широко используется в ньютоновой механике. При переходе от одной материальной точки к системе материальных точек собственно момент уже появляется. Пусть

n

A = Ak, Ak − отделенные материальные точки.

k=1

Использовав аксиомы аддитивности, получим следующее выражение для внешнего воздействия, действующего на тело A со стороны его окружения Ae

n

X

Здесь следует обратить внимание, что в (6.2.8) не входят силы F(Ai, Ak) взаимодействия между частицами, составляющими тело A. Составим выражение для момента, действующего на тело A со стороны его окружения

k=1

Хотя величина LP и называется собственно моментом, действующим на тело A, но этот момент порождается силами и потому не выходит за рамки понятий ньютоновой механики.

Обратимся к рассмотрению односпиновых частиц, которые, подобно материальным точкам, являются точечными телами, но они наделены более богатым спектром свойств. Односпиновые частицы в ньютоновой механике уже не рассматриваются и являются атрибутом эйлеровой механики. Силы, действующие на односпиновые частицы, ничем не отличаются от сил, действующих на материальные точки. Меняется (не по форме, но по существу) понятие

момента. Пусть тело A есть односпиновая частица. Ее положение в системе отсчета определяется заданием вектора положения R, который характеризует трансляционное движение односпиновой частицы. Спинорное движение односпиновой частицы определяется заданием тензора поворота P. Момент, действующий на такую частицу, определяется выражением (6.2.1)

где величина L (A, Ae) выражает реакцию окружения на повороты односпиновой частицы.

Такая ситуация характерна, например, для поведения диполей в электромагнитном поле. Если тело A состоит из набора односпиновых частиц, то, в силу аксиом аддитивности, имеем то же самое выражение для момента, что и для системы материальных точек. Существенное различие заключается в формуле для собственно момента. А именно, вместо формулы (6.2.9) следует воспользоваться выражением

Примечания

1.В литературе часто встречается термин “сила инерции”. Последняя, согласно сказанному выше, может называться силой только весьма условно, ибо “силы инерции” не удовлетворяют главному требованию — они не порождены другими телами, да и вообще не существуют в инерциальной системе отсчета.

2.Аксиомы аддитивности в книгах по механике часто подменяются так называемым “принципом независимости сил”. Следует иметь в виду, что аддитивность воздействий всеобща, а независимость воздействий, как правило, не имеет места.

6.3.Мощность внешних воздействий

Важную роль в механике играет понятие мощности внешних воздействий. В школьном курсе физики вводится понятие работы. Оно широко используется во многих разделах физики и, особенно, в термодинамике. Тем не менее, это понятие является слишком сложным для того, чтобы принять его в качестве исходного определения. Значительно проще вводится понятие мощности, через которое и вводится понятие работы. Проиллюстрируем это понятие на примере материальной точки. Пусть F(A, Ae) есть сила, действующая на материальную точку A со стороны ее окружения. Тогда мощностью внешнего

воздействия на материальную точку называется величина

N(A, Ae) = F(A, Ae) · v(A).

Мощность — это работа, производимая в единицу времени. Поэтому работой силы F(A, Ae) называется интеграл по времени от мощности

Zt

A(A, Ae) = F(A, Ae) · v(A)d t.

0

В отличие от мощности, вычисление работы не такая простая задача, ибо надо знать движение материальной точки и закон изменения силы при движении. Но самое главное заключается в другом. Как мы увидим ниже, в формулировку фундаментальных законов входит именно мощность, но не работа.

При рассмотрении одной материальной точки понятие мощности внешних воздействий оказывается безальтернативным, ибо все воздействия на материальную точку являются внешними. Если тело A состоит из конечного числа материальных точек, то мощность внешних воздействий есть просто сумма мощностей, подводимых к каждой из точек от внешних источников

n

X

k=1

Здесь особое внимание следует обратить на то, что в выражение (6.3.1) не входят силы взаимодействия между частицами, составляющими тело A.

Для тел, состоящих из односпиновых частиц, принимается следующее

Определение: мощностью внешних воздействий на тело A, состоящего из тел-точек Ai, называется билинейная форма скоростей и воздействий

k=1

Обратим внимание на то, что и здесь включены силы и моменты, действующие на тело-точку со стороны окружения всего тела A, а не со стороны Aek, т.е. окружения k-го тела-точки. Кроме того, под L (Ak, Ae) понимается собственно момент, когда в качестве точки приведения выбран вектор положения Rk тела-точки Ak, причем, напомним, L (Ak, Ae) не зависит от выбора опорной точки Q. Важно также обратить внимание на то, что в формулу (6.3.2) входит угловая скорость спинорного движения.

Наконец, легко видеть, что справедлива

Теорема. Мощность внешних воздействий аддитивна, как по телам, составляющим само тело A, так и по телам, составляющим его окружение

Aek.

При переходе к сплошным телам суммы в (6.3.1) и (6.3.2) должны быть заменены соответствующими интегралами. Вычислим, например, мощность внешних воздействий для абсолютно твердого тела, состоящего и бесспиновых частиц. Сначала вычисляем мощность внешних воздействий, подводимых к бесконечно малой части тела, занимающей положение R и имеющей массу dm(R)

N(dm(R), Ae) = F(dm(R), Ae) · v(R) = F(R, Ae) · v(R)dm(R).

Тогда мощность внешних воздействий, подводимая к телу A, вычисляется посредством интеграла

Вспомнив основную теорему кинематики абсолютно твердого тела, мы можем переписать это выражение в следующем виде

Z

N(A, Ae) = F(R, Ae) · [vP + ω × (R − RP)] dm(R) = F(A, Ae) · vP + LP · ω,

(m)

(m)

а вектор RP определяет положение полюса в абсолютно твердом теле.

Глава 7.

Первый закон динамики Эйлера

7.1.Общая формулировка первого закона динамики

Первым фундаментальным законом механики принято называть уравнение баланса количества движения. Первоначально он возник как первый закон статики и применялся еще Архимедом. Применительно к задачам динамики этот закон в частных формулировках применялся Галилеем и Гюйгенсом. Знаменитым первый фундаментальный закон стал после выхода “Математических начал натуральной философии” (1686) Исаака Ньютона. В науке он утвердился под названием Второго закона Ньютона, который и поныне излагается в школьных курсах физики и на базе которого рассмотрено огромное количество важнейших явлений Природы и техники. Точнее говоря, широко употребительным в рациональной механике второй закон Ньютона стал гораздо позднее, а именно после того, как Л. Эйлер [76] придал ему математическую форму. Это произошло через 20 лет после смерти Ньютона. Что же касается мифа о Ньютоне, как единственном творце рациональной механике, то он был придуман в книге Э. Маха [43], опубликованной в 1883 г. и в которой утверждается, что после Ньютона в механике не было сделано ничего принципиально нового. Ошибочность этого утверждения следует хотя бы из того факта, что Ньютон до конца своей жизни отрицал сохранение количества движения у изолированного тела. Решающий шаг в формулировке законов динамики был сделан Л. Эйлером [79]1 в 1776 г. Именно в этой работе Л. Эйлер сформулировал законы механики в виде двух независимых утверждений, которые К. Трусделл предложил [86] называть первым и вторым законами динамики Эйлера. В данной книге поддерживается позиция К. Трусделла и используется именно эта терминология. Вместе с тем, нужно обратить внимание, что форма фундаментальных законов с развитием механики меняется и, видимо, никогда не обретет окончательный вид. Так происходит из-за того, что с развитием механики меняются наши представления о содержании входящих в фундамен-

1Цитируется по работе [45].