Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

массы. Здесь полная энергия рассматриваемого тела A дается выражением

Мощность внешних воздействий дается выражением для тела, составленного из бесспиновых частиц, имеет вид

n

X

Как и в случае с одной материальной точки, рассмотрение начнем с доказательства теоремы об изменении кинетической энергии. Выпишем первый закон динамики применительно к каждой из материальных точек, входящих в тело A (i, m = 1, 2, . . . , n)

F (Ai, Ak) = −F (Ak, Ai) , (Ri − Rk) × F (Ai, Ak) = 0, F (Am, Am) = 0.

Если обе части каждого из уравнений (9.5.1) скалярно умножить на соответ-

которая утверждает, что скорость изменения кинетической энергии тела равна

мощности внутренних и внешних воздействий.

В приведенной формулировке эта теорема не вводит никаких новых понятий. Кроме того, она включает в себя такое понятие, как мощность внутренних сил, о которых, как правило, мало что известно. Поэтому теорему об изменении кинетической энергии целесообразно трансформировать в уравнение баланса механической энергии.

Примем, что и внутренние, и внешние силы частично обладают потенциалом

где функция Πe(R1, . . . , Rn) называется потенциалом внутренних сил и является характеристикой тела A, функция Πe(R1, . . . , Rn) называется потенциалом внешних сил и характеризует окружение тела A.

Непотенциальные силы f (Ai, Ak) и f (Ai, Ae) обычно называются диссипативными силами, ибо они, как правило, отвечают за рассеяние энергии. Используя представления (9.5.2), умножая скалярно обе части уравнения (9.5.1)

Первое слагаемое в правой части (9.5.3) отвечает за диссипацию энергии внутри тела A, а второе слагаемое отвечает за диссипацию энергии в окружающую среду. В обоих случаях речь идет о диссипации энергии, осуществляемой посредством сил. Ранее мы видели и увидим далее, что имеются и другие пути диссипации энергии. Термин “диссипация энергии внутри тела” не вполне удачен. Точнее было бы сказать так: “Первое слагаемое в правой части (9.5.3) отвечает за необратимые переходы энергии внутри тела из одной формы в другую”. Но другие формы энергии у нас еще, по существу, не введены. Поэтому к обсуждению этого вопроса мы вернемся в следующем пункте. Посмотрим на выражение механической энергии (9.5.4). Оно состоит из двух неравноправных частей. Первая часть есть сумма кинетической энергии тела и потенциала внутренних сил. Последний можно было бы назвать внутренней энергией тела, но это только часть внутренней энергии. Важно, что обсуждаемая первая часть механической энергии есть атрибут самого тела. Вторая часть в (9.5.4) есть потенциал внешних сил и может быть названа энергией взаимодействия тела с внешними полями. Если внутренние и внешние диссипативные силы отсутствуют, то механическая энергия сохраняется, т.е. имеем интеграл энергии

Системы, механическая энергия которых сохраняется, называются консервативными. Системы такого рода очень часто встречаются в механике.

Допустим теперь, что отсутствует только внешняя диссипация. В этом случае вместо уравнения (9.5.3) получаем

i,k=1

т.е. механическая энергия не сохраняется и в этом случае. Но тогда возникает вопрос куда же исчезает энергия? С окружающей средой тело посредством сил и моментов не взаимодействует, а никаких других взаимодействий законы динамики не предусматривают. Здесь мы отчетливо видим недостаточность как законов динамики, так и вытекающего из них уравнения баланса механической энергии.

Обратимся к рассмотрению уравнения баланса энергии, которое для системы материальных точек записывается в виде

Эта форма записи уравнения баланса энергии в виде (9.5.6) нуждается в дальнейших преобразованиях. Здесь, на примере системы с конечным числом степеней свободы, мы встречаемся с ситуацией, которая типична для механики сплошных сред. От уравнения (9.5.6) необходимо перейти к так называемому

приведенному уравнению баланса энергии. Для этого нужно выписать первый закон динамики применительно к каждой из материальных точек, входящих в тело A (i, m = 1, 2, . . . , n)

Исключая с помощью этих равенств ускорения из уравнений (9.5.6) и проводя простые преобразования, уравнение баланса энергии представляем в виде

В уравнение (9.5.7) не входят внешние силы, но имеется дополнительный член, описывающий скорость подвода энергии в тело и не входящий в законы динамики. Как было показано ранее, внутренние силы в системе материальных точек могут быть только центральными, т.е.

причем F (Ak, Am) = F (Am, Ak) и F (Ak, Ak) = 0.

С учетом этого условия уравнение (9.5.7) можно переписать следующим образом

Силы, действующие между частицами, можно представить в виде суммы двух слагаемых, первое из которых не зависит от скоростей изменения расстояний между частицами, а второе — зависит

F (Ak, Am) = ϕ(γkm) + ψ(γkm, γ˙ km), ϕ(0) = 0, ψ(0, γ˙ kk) = 0.

Внутренние силы, которые описываются первым слагаемым в правой части этого равенства, называются упругими. Внутренние силы, которые зависят от скоростей и описываются вторым слагаемым, называются диссипативными силами.

Теперь уравнение баланса энергии принимает вид

но это еще не приведенное уравнение баланса энергии. Чтобы получить последнее, введем измеряемые каким-либо прибором температуры материальных точек Ak, которые обозначим через ϑk, а энтропии Hk материальных точек введем с помощью равенства

Конечно, равенством (9.5.8) энтропии однозначно еще не определены, но оно позволяет записать уравнение баланса энергии в специальной форме, которая и называется приведенным уравнением баланса энергии

(9.5.9) Уравнение баланса энергии, записанное в форме равенства (9.5.9), называется приведенным уравнением баланса энергии. Подчеркнем, что приведенное уравнение баланса энергии отнюдь не является простой перефразировкой уравнения баланса энергии. При его выводе использовались, как законы динамики и следствия из них, так и дополнительные рассуждения. В частности, были введены новые функции, названные энтропиями, с помощью равенства

(9.5.8), которое не вытекает ни из каких фундаментальных законов, но которое, тем не менее, не является дополнительным постулатом. Введение равенства (9.5.8) всегда возможно, т.е. оно является определением. Поэтому приведенное уравнение баланса энергии можно назвать одной из общих теорем механики. Оно не только позволяет увидеть, от каких аргументов зависит внутренняя энергия, но и получить соотношения, аналог которых для изотермических процессов в механике сплошных сред впервые был открыт Дж. Грином (1839) и впоследствии получил название соотношений Коши–Грина9

Таким образом, если внутренняя энергия системы материальных точек задана, то мы можем вычислить упругие силы, действующие между частицами системы, и выразить температуры частиц через энтропии. Чтобы найти температуры фактически, нужно вернуться к уравнению теплопроводности (9.5.8) и конкретизировать его. К сожалению, в общем случае эта процедура довольно громоздкая. Поэтому здесь мы ее делать не будем, а в следующем пункте подробно покажем ее на примере системы, состоящей из двух материальных точек. В этом пункте сосредоточим свое внимание на случае, когда внешний подвод энергии к системе отсутствует, т.е. δ(A, Ae) = 0. Кроме того, примем, что внутри системы диссипативные силы отсутствуют: ψ(γkm, γ˙ km) = 0. Наконец, примем, что температуры всех частиц в системе одинаковы. Что будет происходить в системе при отказе от этих ограничений, мы рассмотрим в следующем пункте. При принятии сформулированных ограничений приходим к идеальной системе, состоящей из материальных точек, между которыми действуют только упругие силы, т.е. силы, не зависящие от скоростей. Такого рода система является основным объектом исследования в ньютоновой механике. В этом случае уравнение баланса энергии (9.5.7) принимает простейший вид

n

X

k=1

U(A) = U(R1, R2, . . . , Rn) = U(|Rk − Rm|). (9.5.11)

Тот факт, что внутренняя энергия зависит от векторов положений частиц только через расстояния между ними, следует из записи уравнения баланса энергии в форме (9.5.9) при Hk = const. Из равенства (9.5.11) следуют соотношения Коши–Грина в следующей форме

9При весьма частных допущениях аналоги этих соотношений были получены еще раньше Ж. Лагранжем.

Определение: векторы F (Ak, Am) называются потенциальными, если существует такая скалярная функция U(R1, R2, . . . , Rn), называемая потенци-

алом, что справедливы соотношения (9.5.12).

Соотношения Коши–Грина (9.5.12) показывают, что внутренняя энергия системы материальных точек является потенциалом для внутренних сил взаимодействия между материальными точками рассматриваемой системы. При этом внутренняя энергия определена с точностью до произвольной постоянной величины. Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение баланса энергии ведет только к изменению терминологии: потенциал внутренних сил называется внутренней энергией. Поэтому вполне возможно ограничиться уравнением баланса механической энергии. Классическим примером системы материальных точек с потенциальными силами между частицами системы является наша солнечная система, в которой силы взаимодействия между планетами определяются законом Всемирного тяготения. Именно рассмотрение этой задачи впервые принесло славу механике как фундаментальной науке. Для исследования этой задачи оказалось достаточным использовать второй закон Ньютона с добавлением к нему закона Всемирного тяготения. Приведем классическую постановку этой задачи и сравним ее с тем, что вытекает из фундаментальных законов в их современной трактовке. Пусть дана система n материальных точек с массами mk, между которыми действуют силы, определяемые законом Всемирного тяготения. Запишем для каждого тела второй закон Ньютона

где G есть универсальная гравитационная постоянная, δki есть символ Кронекера.

Умножим обе части каждого из этих уравнений скалярно на вектор скорости

˙ и просуммируем все получившиеся уравнения. При суммировании правых

Rk

частей получим

где K есть кинетическая энергия системы.

При суммировании левых частей получим следующее равенство

где функцию U

n

U = − 1 X G mk mi(1 − δki)

2 |Rk − Ri|

k,i=1

принято называть потенциальной энергией системы. Но мы предпочитаем называть ее внутренней энергией системы. Термин “потенциальная энергия” в данной книге будет использоваться исключительно для потенциала внешних воздействий на систему. Потенциальная энергия, в отличие от внутренней энергии, не является характеристикой самой системы, а характеризует внешние обстоятельства. Поэтому лучше не смешивать эти два термина. Покажем, что функция U действительно является потенциалом для внутренних сил. Для этого понадобятся формулы

где окружение Bes частицы As состоит только из частиц, принадлежащих рассматриваемой системе.

Иными словами, введенная выше функция U действительно является потенциалом для внутренних сил. Начинающим, разумеется, необходимо доказать последнюю формулу подробными выкладками.

Равенство (9.5.14) называется интегралом энергии и показывает, что полная энергия рассматриваемой системы сохраняется, т.е. для нее выполняется закон сохранения энергии. В точности этот же самый результат вытекает и из уравнения баланса энергии, но при получении (9.5.14) уравнение баланса энергии не использовалось. Приведенный метод получения интеграла энергии и способ введения понятия полной энергии чрезвычайно популярны при традиционном изложении механики. В результате может сложиться ложное мнение о том, что уравнение баланса энергии вообще не является независимым фундаментальным законом механики. Конечно, можно придерживаться и подобной точки зрения. Но при этом резко сужается сфера действия механики. Например, если придерживаться этой точки зрения, то можно вычислить, и притом весьма точно, траектории движения планет солнечной системы. Это,