Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

разумеется, уникальный результат. Но, как хорошо известно, между планетами солнечной системы действуют не только силы гравитационного притяжения, но и потоки тепла, идущие от Солнца к планетам. Чрезвычайно важную роль играют и температуры планет и Солнца. При традиционной трактовке механики учесть эти тепловые потоки невозможно. Многие считают, что рассмотрение такого рода факторов просто выходит за рамки механики как науки, и механика не в состоянии их учесть. Так и родился миф об ограниченности механики. Автор придерживается позиции, что, во-первых, механика не имеет пределов применимости и, во-вторых, предметом рациональной механики является та часть физики, которая может быть изложена рациональными методами. В частности, современная рациональная механика располагает всеми возможностями для того, чтобы полностью включить термодинамику в свои структуры. В частности, для этого необходимо включить уравнение баланса энергии в список фундаментальных законов механики. Именно этот закон позволяет учесть как силовые, так и тепловые взаимодействия между частицами системы. Разумеется, сказанное отнюдь не означает, что отныне можно игнорировать термодинамику. Последняя имеет великие достижения и без опыта, накопленного термодинамикой, невозможно было бы правильно учесть тепловые явления в механике. Вместе с тем, следует подчеркнуть, что включение термодинамики в рациональную механику вовсе не состоит в автоматическом приписывании термодинамики к механике. Рациональная механика опирается на свои весьма жесткие принципы, которые нельзя нарушать. Не все понятия, используемые в термодинамике, можно без всяких изменений ввести в

рациональную механику. Например, понятие энтропии, введенное выше, в рациональной механике получает существенно другую интерпретацию, но при этом результаты, получаемые с помощью понятия энтропии, оказываются теми же, что и в термодинамике. Автор убежден, что недалеко то время, когда электричество и магнетизм также станут разделом рациональной механики. Не исключено, что при этом придется расширить список фундаментальных законов механики, но не исключено также и то, что этого не потребуется.

9.6.Система двух материальных точек

Поясним все сказанное на примере системы двух материальных точек. С принципиальной точки зрения в этой системе проявляются все особенности систем общего вида. Вместе с тем, в этой простой системе все уравнения можно выписать в явном виде. Цель данного пункта состоит не в том, чтобы дать полный анализ поведения системы двух материальных точек при учете тепловых эффектов. Нам важно показать, что рациональная механика вполне спо-

собна полноценно описывать и тепловые, и многие другие эффекты, нисколько не изменяя при этом своим принципам. Уж слишком легко многие авторы, особенно физики, обвиняют механику в ее принципиальной неспособности описать те или иные эффекты. При этом, как правило, под механикой понимают механику Лагранжа и Гамильтона, которая действительно не способна описать многие проблемы даже чисто механического происхождения, не говоря уже о смежных областях. Целью нижеследующего является демонстрация особенностей работы с уравнением баланса энергии. Особое внимание следует обратить внимание на тот факт, что работа с уравнением баланса энергии не сводится к выучиванью четких правил, но требует понимания существа происходящих в системе процессов. Поэтому уравнение баланса энергии является самым трудным для усвоения фундаментальным законом механики.

Итак, пусть тело A состоит из двух материальных точек B, C и некоего третьего тела D, лишенного массы, т.е. A = B C D. Уравнение баланса энергии (9.5.6) для этого случая принимает вид

Здесь принято, что на тело D со стороны окружения тела A никаких сил не действует, т.е. F (D, Ae) = 0. Для каждой из частиц можно написать первый закон динамики или второй закон Ньютона

··

m1 R1= F (B, C) + F (B, D) + F (B, Ae) ,

··

m2 R2= F (C, B) + F (C, D) + F (C, Ae) .

Кроме того, для тела D также необходимо написать законы динамики. Но поскольку оно лишено массы, то законы динамики переходят в законы статики

F (D, B) + F (D, C) = 0, R1 × F (D, B) + R2 × F (D, C) = 0.

Эти равенства лучше переписать в другой форме

F (D, B) = −F (D, C) , (R1 − R2) × F (D, C) = 0.

Видим, что справедливо равенство

F (B, D) = −F (D, B) = −F (B, D) γ−1 (R1 − R2) , γ ≡ |R1 − R2| . (9.6.2)

Используя эти равенства, уравнение баланса энергии (9.6.1) переписываем в виде

Видим, что в выражение (9.6.3) входят только внутренние силы, а внешние силы исчезли. Более того, в уравнение баланса энергии вошла только внутренняя сила, действующая на частицу B со стороны тел C и D. Здесь возможны две точки зрения. С одной точки зрения, мы могли бы вообще не упоминать безынерционное тело D и, соответственно, не рассматривать силу F (B, D), а присутствие тела D смоделировать силой F (B, C). Если тела B и C не контактируют между собой, то это означает введение в механику дальнодействующих сил. Вообще говоря, никаких сил дальнодействия в Природе не существует. В классической механике они вводятся в тех случаях, когда желают исключить из рассмотрения некие тела. Например, закон Всемирного тяготения вводит в рассмотрение дальнодействующие силы. Но можно ввести в рассмотрение гравитационное поле и рассматривать его как тело. Тогда силы гравитационного притяжения можно было бы рассматривать как контактные силы рассматриваемого тела с гравитационным полем. Именно для иллюстрации сказанного мы и ввели безынерционное тело D. Поэтому вторая точка зрения заключается в том, что существуют только контактные силы, а воздействие тела C на тело B осуществляется только через промежуточное тело D. Это означает, что F (B, C) = 0. На самом деле, только вторая точка зрения и может быть последовательно проведена в механике, ибо только в этом случае справедлива идея о том, что силы в механике моделируют присутствие других тел.

Итак, не уменьшая общности уравнение баланса энергии (9.6.3) с учетом равенства (9.6.2) можно переписать в виде

Можно доказать, что представление (9.6.5) является максимально общим для силы, действующей между двумя материальными точками. Теперь уравнение баланса энергии (9.6.3) принимает вид

Мы вплотную приблизились к формулировке приведенного уравнения баланса энергии. В предыдущем пункте температуры, измеряемые каким-либо термометром, вводились только для материальных точек, входящих в систему. Здесь мы введем в рассмотрение три температуры: ϑ1, ϑ2 и ϑ для тел B, C и D соответственно. Каждой из трех температур поставим в соответствие три

энтропии H1, H2 и H, которые выбираются так, чтобы выполнялось равенство типа (9.5.8)

Немного ниже равенство (9.6.7) будет переписано в виде трех уравнений, из которых можно будет определять температуры. Подставляя равенство в (9.6.7) в уравнение (9.6.6), приходим к приведенному уравнению баланса энергии

четырех аргументов: расстояния между частицами и трех энтропий. Это максимально общий вид внутренней энергии, возможный в системе двух материальных частиц, если, конечно, не принимаются во внимание какие-либо дополнительные излучения, отличные от тепловых. Сказанное немедленно следует из приведенного уравнения баланса энергия. Действительно, допустим, что внутренняя энергия зависит не только от указанных четырех аргументов, но и еще от одного аргумента a(t). Вычисляя производную по времени от внут-

U(γ, H1, H2, H, a).

Следует обратить внимание, что коэффициенты при скоростях изменения независимых переменных не зависят от этих скоростей. Иными словами, левая часть последнего равенства является линейной формой скоростей. Поскольку последнее равенство должно выполняться для всех мыслимых процессов, могущих протекать в рассматриваемой системе, то все коэффициенты при скоростях должны равняться нулю. Отсюда получаем, что внутренняя энергия не зависит от аргумента a, т.е. ∂U/∂a = 010. Кроме того, получаем соотношения

Часто бывает удобно работать не с внутренней энергией, а с так называемой свободной энергией, которая вводится по определению посредством преобразования

10Возможен случай, когда это не так. Если a = const, то энергия может от него зависеть. Поэтому постоянные параметры обычно и не включаются в число аргументов функции.

где l есть некий параметр размерности длины.

Те, кто уже знакомы с энергией линейной пружины, видят, что l есть длина пружины при температуре ϑf и при условии, что на пружину никаких сил не действует. Параметр c называется жесткостью пружины. Часто температуру ϑf называют температурой натурального состояния. Можно ее назвать температурой отсчетного состояния или отсчетной температурой, которая выбирается относительно произвольно. Это та температура, при которой измеряются параметры материала, приводимые в справочниках. Она, в значительной мере, условна. Постоянные параметры a и d считаются известными, например, из эксперимента. Параметр a характеризует связанность деформационных и температурных полей. Для простоты в дальнейшем считаем, что a = 0. Из представления (9.6.17) видим, что материальные точки системы фактически лишены способности нагреваться. При этом соотношения Коши–Грина (9.6.12) дают

причем H1 = const, H2 = const.

Кроме того, лишив материальные точки способности накапливать тепло, мы лишили их способности обмениваться теплом. Это означает, что величины, задающие обменное тепло, должны равняться нулю

QBC = 0, QBD = 0, QCD = 0.

Чтобы не вступать в противоречие с уравнениями (9.6.14) – (9.6.16), необходимо в соответствии с физическим смыслом принять

κ1 = κ2 = 0, b1 = b2 = 0.

Наконец, примем, что внешние силы на систему не действуют, т.е.

Выпишем получившуюся упрощенную систему уравнений. Уравнения движения с учетом принятых упрощений, а также равенства (9.6.5), принимают

Уравнение баланса энергии будет выполнено, если будет выполнено урав-

Умножим обе части первого из равенств (9.6.20) скалярно на вектор ˙ .

R1

Обе части второго из равенств (9.6.20) умножим скалярно на вектор ˙ . После

R2

этого сложим получившиеся равенства и получим

Учтем наличие тождества

∂Φ∂γ γ˙ = dΦdt + Hdϑdt = dUdt − ϑdHdt .

С учетом этого тождества и уравнения теплопроводности (9.6.21) соотношению (9.6.22) придаем вид

Система называется теплоизолированной, если κ = 0. В этом случае полная энергия системы сохраняется.

Итак, после проведения всех выкладок в обратной последовательности, т.е от уравнений движения (9.6.20) и уравнения теплопроводности (9.6.21), пришли к уравнению баланса энергии (9.6.23). Видим, что полная энергия рассматриваемой системы не сохраняется и может как убывать при ϑ > ϑ , так и возрастать при ϑ < ϑ . Остается, правда, неясным будет ли этот процесс монотонным. Чтобы выяснить это обстоятельство, необходимо конкретизировать систему полностью, а именно нужно задать конкретный вид функции ψ(γ, γ˙ ). Эта функция описывает вязкое трение в системе. Примем, что оно является линейным

ψ(γ, γ˙ ) = b γ,˙ b > 0.

Интуитивно ясное требование положительности коэффициента b совсем не просто обосновать формально. Хотелось бы для этой цели использовать так называемый второй закон термодинамики, о котором будет сказано несколько слов немного ниже. Однако можно рассуждать и без формального привлечения второго закона термодинамики, хотя, в каком-то смысле идея этих рассуждений аналогична идеям, которые пытаются использовать при отыскании общей формулировки второго закона термодинамики. Рассмотрим часть силы (9.6.5), связанной с функцией ψ(γ, γ˙ )

Ff (B, C) = − b γγ˙ −1(R1 − R2),

которая называется силой трения между частицами B и C. Вычислим производную от функции γ

γ = ˙ 1 − ˙ 2 · (R1 − R2) γ−1.

R

˙ R

няющей частицы, и, следовательно, не меняет расстояния между частицами, то сила трения равна нулю. Так будет при чистом вращении частиц как твердого целого вокруг их центра масс. В другом крайнем случае частицы разлетаются вдоль прямой, соединяющей частицы. В этом случае имеем

а положительность коэффициента трения b означает, что сила трения в демпфере направлена противоположно относительной скорости между материальными точками системы. Именно так и рассуждают в механике без привлечения второго закона термодинамики на основании опыта, воплощенного в здравый смысл. Ту же самую идею можно выразить иначе. А именно, выдвинем требование, чтобы мощность силы трения была бы отрицательной. Иными словами, система должна затрачивать энергию на преодоление сил трения, а не получать ее в результате трения

В более общем случае это требование сводится к выполнению неравенства

Как видим, принятие внешне простого неравенства b > 0 требует, тем не менее, аккуратного проникновения в его смысл. Замечательно, однако, то, что этот смысл можно понять на очень простых примерах, причем он сохраняется в значительно более общих случаях.

Для простоты примем, что массы частиц системы одинаковы m ≡ m1 = m2. Складывая оба уравнения системы (9.6.20), получаем первый интеграл

·· ··

m + = ˙ + ˙ = = const.

R1 R2 0 R1 R2 C

Видим, что центр масс системы движется равномерно и прямолинейно. Поэтому можно выбрать такую инерциальную систему отсчета, в которой

центр масс покоится, т.е. C = 0. Кроме того, центр масс расположим в начале системы отсчета. Тогда получим

R ≡ R1 = −R2, γ = 2|R|.

С учетом полученных интегралов система (9.6.20) сводится к одному урав-

Векторный интеграл (9.6.26) показывает, что система движется в плоскости, ортогональной единичному вектору m. Отсюда следует, что вектор R может быть представлен в виде вращающегося вектора переменной длины

Подставляя последнее выражение в уравнение (9.6.25), приходим к двум скалярным уравнениям для нахождения функций γ(t) и ϕ(t). Первое из них имеет вид

Второе уравнение с учетом интеграла (9.6.27) доставляет уравнение для определения функции γ(t)

Наконец, уравнение теплопроводности (9.6.21) служит для определения температуры и в рассматриваемом случае принимает вид

Уравнение (9.6.28) не интегрируется в квадратурах, но его решение легко может быть найдено приближенно. Характер решения этого уравнения ясен и