Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

кажется, что это обстоятельство слабо влияет на точность стрельбы. Поэтому при анализе точности стрельбы мы можем игнорировать способность материальной точки нагреваться. Короче говоря, свойствами наделяется модель, а не реальный объект.

Обсуждению уравнения баланса энергии целесообразно предпослать рассмотрение подхода, используемого в классической механике и вводящего в

механику понятие энергии. Выпишем первый закон динамики

m v˙ = F(A, Ae).

Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор скорости. В результате получим

Равенство (9.4.1) утверждает, что скорость изменения кинетической энергии тела A равна мощности внешних воздействий. Это утверждение известно в классической механике под названием теоремы об изменении кинетической энергии. Эта теорема, конечно, может быть доказана для систем общего вида, а не только для материальной точки. При доказательстве теоремы об изменении кинетической энергии уравнение баланса энергии не использовалось. Допустим теперь, что одна часть внешней силы обладает потенциалом, а другая — не обладает

Обратим внимание, что потенциал всегда вводится с точностью до произвольной постоянной, т.е. прибавление к потенциалу произвольной постоянной ничего не меняет. Комбинируя определение (9.4.1.) с равенством (9.4.1), получаем уравнение баланса механической энергии

Если внешняя сила потенциальна, то механическая энергия сохраняется

Системы, механическая энергия которых сохраняется, в классической механике принято называть консервативными. Равенство (9.4.3) в классической механике называется интегралом энергии. Как видим, для получения интеграла энергии или для вывода закона сохранения механической энергии никакого

дополнительного фундаментального закона не требуется. Следует подчеркнуть, что уравнение баланса механической энергии (9.4.2) и интеграл энергии (9.4.3) играют чрезвычайно важную роль в механике, но им нельзя приписать статус фундаментальных законов. Они относятся к разряду важнейших теорем механики. Исключительно в силу традиции принято считать, что никакого другого энергетического соотношения в классической механике и не требуется. В тех случаях, когда уравнение баланса энергии все же используется в механике, то оно включается в рассмотрение под названием первого закона термодинамики, что создает ложное впечатление ограниченности механики. Но нельзя забывать, что уравнение баланса энергии впервые возникло и нашло широкое применение именно в механике. Термодинамика возникла позже, а ее законы вытекают из законов механики. Поэтому в данной книге термин “первый закон термодинамики” не применяется. Этот термин уместен в термодинамике, но не в механике.

Обратимся теперь к уравнению баланса энергии. Прежде всего возникает вопрос о связи между понятиями полной и механической энергий тела A, которое в данном случае является материальной точкой. Следует отчетливо осознать, что это совершенно разные понятия. Механическая энергия является производным понятием и определяется через введенные ранее понятия кинетической энергии и воздействий. Более того, механическая энергия не является характеристикой тела A, а зависит от внешних обстоятельств, т.е. от внешних воздействий. Полная (или внутренняя) энергия является новой характеристикой тела и описывает дополнительные свойства тела A. В рассматриваемом случае имеем

Воспользуемся теперь первым законом динамики или, что то же самое, вторым законом Ньютона: m v˙ = F(A, Ae), для исключения ускорений из уравнения баланса энергии. В результате получим так называемое приведенное уравнение баланса энергии

Таким образом, при отсутствии внешнего подвода энергии внутренняя энергия материальной точки постоянна и потому может не приниматься во внимание. Ничего нового в дополнение к классической механике мы не получили.

Связь между механической и полной энергией тела дается выражением

EM = E(A) + Π(R).

Как будет показано ниже, это равенство в общем случае не выполняется. Заметим, что в рассматриваемом простейшем случае приведенное уравнение баланса энергии выглядит слишком просто и не позволяет оценить важнейшую роль этого уравнения в механике. Эта роль заключается в том, что именно приведенное уравнение баланса энергии является определением внутренней энергии.

9.4.2. Материальная точка, обладающая теплоемкостью

Рассмотрим другой случай. Допустим, что мы нагреваем материальную точку. Это означает, что материальная точка5 способна воспринимать энергию от внешних источников. При этом мы должны обладать возможностью тем или иным способом контролировать (измерять) подводимую энергию. Обратим теперь внимание, что скорость подвода энергии от внешних источников не входит в первый и второй законы динамики и, следовательно, не попадает в уравнение баланса механической энергии. Чтобы учесть новые свойства тела, необходим новый фундаментальный закон, роль которого и исполняет уравнение баланса энергии (9.3.1). Оно в изучаемом случае принимает вид

·

m v · v˙+ U (A) = F(A, Ae) · v + δ(A, Ae).

Уравнение баланса энергии, записанное в этой исходной формулировке, нуждается в неких преобразованиях. Прежде всего, из него необходимо исключить то, что управляется другими законами механики. А именно, необходимо исключить внешние воздействия с помощью первого закона динамики. В результате получим

Уравнение (9.4.6) содержит только новые величины, которые не вводились при формулировке законов динамики. Само по себе уравнение (9.4.6) утверждает, что подвод энергии от внешних источников идет на изменение внутренней энергии рассматриваемого тела. Чтобы конкретизировать это утверждение необходимо сделать дополнительные шаги. С этой целью введем понятие температуры ϑ материальной точки как величины, измеряемой каким-либо

5Материальную точку совсем не обязательно воспринимать как математическую точку. Она может содержать

всебе бесконечный набор более мелких частиц, детальным поведением которых мы по тем или иным причинам не интересуемся.

термометром. Способность материальной точки поглощать тепловую энергию будем описывать функцией H, которую определим посредством уравнения

Функцию H будем называть энтропией6. Принятие равенства (9.4.7) не требует никаких дополнительных предположений — это просто определение функции H. Следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Выражение (9.4.7) дает повод думать, что энтропия характеризует внешний подвод энергии, а вовсе не какое-либо свойство рассматриваемого тела. Тогда, конечно, нелепо приписывать энтропию материальной точке. Фактически дело обстоит совершенно иначе. Вокруг нас могут бушевать океаны энергий различных типов, тем не менее далеко не все из них мы в состоянии воспринять. Например, человек практически не воспринимает энергии излучений, передаваемых на частотах в десятки мегагерц. Поэтому для человека эти излучения как бы и не существуют, т.е. внешний подвод энергии для него отсутствует. Но радиоприемники их прекрасно воспринимают. Дело здесь не во внешних источниках, а в различии между человеком и радиоприемником. Другой пример. Допустим, что на улице идет дождь, и мы хотим собрать воду в какую-либо емкость. Возьмем две емкости одинакового объема, но с разными диаметрами входного отверстия. Возьмем, например, литровую банку и литровую бутылку. Выставим их под дождь. Понятно, что банка наполнится значительно быстрее бутылки, и это определяется свойствами банки и бутылки, ибо дождь для них один и тот же. Точно также скорость подвода энергии от внешних источников определяется способностью тела воспринимать эту энергию. Именно способность материальной точки воспринимать тепловой поток и характеризуется энтропией. Описанную идею можно обобщить. Допустим, что подвод энергии от внешних источников есть некое излучение неизвестной природы, но поддающееся контролю. Допустим также, что материальная точка, которая может заключать в себе сложные технические устройства, способна реагировать на это излучение, и эту реакцию мы способны измерять соответствующим прибором, который можем именовать термометром. Уравнение (9.4.6) при этом никак не изменится. Мы, по-прежнему, можем назвать величину ϑ температурой, хотя обычный термометр может оказаться непригодным и нужно использовать другой прибор. Функцию H также можно продолжать именовать энтропией. Единственно важным является то, что имеется некая характеристика тела, которую мы в состоянии измерять. Для каждой такой характеристики тела можно ввести соответствующую ей энтропию. Этих способностей у тела может быть

6Энтропия одно из наиболее туманных понятий в классической физике. Важность роли энтропии в прикладных и теоретических исследованиях неоспорима, но исполнитель этой роли подобен певцу за сценой: его все слышат, но никто не видит.

несколько. Пусть, например, их две. Тогда мы введем две температуры и две энтропии. Уравнение (9.4.7) примет следующий вид

где q1(t) и q2(t) задают соответствующие потоки энергии от внешних источников.

Все сказанное имеет своей целью подчеркнуть, что ни температура, ни энтропия не имеют объективного, т.е. не зависящего от позиции исследователя, смысла. Обычная температура — это величина, которая измеряется обычным термометром. Является ли эта температура мерой хаотического движения молекул, как это утверждается7 в статистической физике? Ответ: если мы в состоянии ввести некий измеряемый параметр, для которого можем доказать, что характеризуемая им величина может служить мерой хаотического движения молекул, то да — является. Если же нет, то — не является. Суть не в том, чем является температура, а исключительно в наших возможностях ее измерять. Важно также иметь в виду, что для включения какой-либо измеряемой величины в теорию неизбежно приходится вводить сопряженную ей величину, выбор которой и позволяет написать некие уравнения для измеряемой величины так, что решения этого уравнения будут правильно описывать поведение измеряемой величины. Для обычной температуры такой сопряженной величиной является обычная энтропия. Поэтому сама по себе энтропия обретает смысл только после того, как заявлено какой именно переменной она сопряжена. Ниже мы будем говорить о той температуре, которую измеряют обычным термометром.

Вернемся к уравнению баланса энергии. Использовав (9.4.7), вместо уравнения (9.4.6) получим следующее уравнение

Первое из уравнений (9.4.8) называется приведенным уравнением баланса энергии. Оно показывает от каких аргументов зависит внутренняя энергия. По существу введение понятия внутренней энергии неотделимо от введения понятия энтропии. На это обстоятельство следует обратить особое внимание, ибо из чтения многочисленных книг по физике и термодинамике может возникнуть ложное впечатление, что имеется откуда-то заранее возникшее понятие внутренней энергии, а температура является производной от внутренней энергии по энтропии. На самом деле мы просто захотели учесть тепловые потоки и

7Когда у человека повышается температура, то кровь начинает течь с большей скоростью и учащается пульс, чтобы сердце могло прокачивать большее количество крови. Идет ли здесь речь о хаотических движениях молекул? Не является ли движение крови при повышенной температуре даже более упорядоченным, чем при нормальной температуре?

для этого ввели понятия внутренней энергии и энтропии, которые неотделимы друг от друга. Конечно, на интуитивном уровне внутренняя энергия воспринимается нами как некая объективная характеристика тела. Может быть, в будущем ее и удастся ввести в качестве таковой. Но здесь мы описываем ситуацию такой, какой она является в настоящее время.

Если внутренняя энергия материальной точки задана как функция энтропии, то последнее уравнение позволяет найти связь между энтропией и температурой, но оно не позволяет вычислить саму температуру. Для этого необходимо использовать уравнение (9.4.7), которое в более сложных системах называется уравнением теплопроводности. Но прежде нужно определить функцию q(t). Примем для нее следующее уравнение, являющееся аналогом так называемого закона Фурье-Стокса

q(t) = − κ ϑ(ϑ − ϑ ) + b ϑ(v − v ) · (v − v ), κ > 0, b > 0, (9.4.9)

где постоянная величина κ называется коэффициентом теплопроводности; величина ϑ есть температура окружающей среды, которую примем постоянной.

Положительность коэффициента теплопроводности κ выражает экспериментальный закон, что тепло течет от горячего к холодному. Положительность коэффициента b означает, что частица при трении о внешнюю среду нагревается. Коэффициент b, вообще говоря, нельзя смешивать с коэффициентом вязкого трения b . Пусть, например, сила F(A, Ae) имеет вид

F(A, Ae) = F(R) + b (v − v ),

где b есть коэффициент вязкого трения.

Какова бы ни была внешняя сила F(A, Ae), она не попадает в приведенное уравнение баланса энергии. Функция q(t) называется потоком тепла. Вектор v есть скорость той бесконечно малой окрестности среды, в которой в данный момент времени движется материальная точка. Следует подчеркнуть, что закон Фурье–Стокса в равной степени отражает как наши интуитивные представления о процессе, так и экспериментальные данные. Это — не фундаментальный закон механики. Законы такого рода в механике принято называть определяющими уравнениями. По мере расширения наших знаний о процессе определяющие уравнения могут изменяться, но фундамент механики и ее фундаментальные законы при этом не меняются.

Исключительно в качестве иллюстрации основной идеи и без каких бы то ни было претензий на какое-либо соответствие реальности, рассмотрим следующий конкретный пример внутренней энергии

Возникает вопрос: откуда мы знаем вид внутренней энергии? Ответ: при задании внутренней энергии в первую очередь принимаются интуитивные представления о рассматриваемой системе, а затем реализация этих представлений проверяется экспериментально. По отношению к представлению (9.4.10) мы этого делать не будем, поскольку речь идет только об иллюстрации идеи. Если принять (9.4.10), то уравнение (9.4.6) можно переписать в виде, пригодном для нахождения температуры

Здесь мы воспользовались выражением (9.4.9) для потока тепла. В уравнение (9.4.11) для измеряемой температуры вошли два параметра ακ и b, которые должны измеряться экспериментально. Если их удается определить так, что уравнение (9.4.11) правильно описывает измеряемую температуру материальной точки, то определяющее уравнение (9.4.10) можно признать приемлемыми. Если ни при каких значениях этих параметров решение уравнения (9.4.11) не описывают с приемлемой точностью наблюдаемые факты, то нужно искать другую форму определяющих уравнений, в том числе и для скорости подвода энергии от внешнего источника. Посмотрим, что нам дает уравнение (9.4.11). Его решение находится элементарно и имеет вид

Zt

ϑ = ϑ + (ϑ0 − ϑ ) exp(−ακ t) + b |(v(τ) − v (τ)|2 exp[−ακ(t − τ)] dτ.

0

Видим, что при b = 0 температура материальной точки стремится к температуре окружающей среды по экспоненциальному закону с показателем (−ακ t). Заметим, что температура окружающей среды может быть выше температуры плавления материальной точки, т.е. сама материальная точка может исчезнуть в результате этого процесса. При b 6= 0 температура частицы может достаточно сильно возрастать в результате трения. Так, например, происходит при вхождении метеорита в атмосферу Земли, когда метеорит сгорает в результате трения. Качественно все это похоже на реальную ситуацию, а количественное совпадение надо проверять экспериментально. Очень часто сравнение с экспериментом вынуждает уточнять модель. Например, коэффициенты ακ и b могут зависеть от температуры. Мы их выбрали так, чтобы получить линейное уравнение для определения температуры, но такого рода соображения не имеют под собой физических оснований.

Подведем итоги этого пункта. Первый итог состоит в том, что в рассматриваемом случае механическая энергия EM и полная энергия E(A) непосредственно не связаны между собой. Например, механическая энергия может сохраняться неизменной, а внутренняя энергия тела при этом может меняться и

наоборот. Второй итог заключается в демонстрации двоякой природы трения. Когда тело движется в среде с трением, то на него может действовать сила трения. Для конкретности и простоты примем, что на материальную точку действует только сила линейного вязкого трения

m v˙ = −b v v = v0 exp(−b t).

Механическая энергия тела в данном случае совпадает с его кинетической энергией и со временем уменьшается

EM = K = v0 · v0 exp(−2 b t)/2.

Как при этом меняется внутренняя энергия тела? Будет ли тело нагреваться? Выше мы видели, что нагрев (изменение внутренней энергии тела) непосредственно не связан с фактом наличия или отсутствия силы трения. Это следует из того, что коэффициент вязкого трения b вообще не попал в уравнение (9.4.11) для определения температуры тела. Иными словами, часто встречающееся утверждение, что сила трения вызывает нагрев тела, строго говоря, является неправильным. Нагрев тела определяется не силовыми факторами, а обменом энергиями между телом и окружающей средой. В рассматриваемом случае материальной точки эти “тонкости” не существенны. Однако во многих случаях ясное понимание этого факта является необходимым.

9.4.3. Материальная точка переменной массы

Усложним ситуацию и рассмотрим материальную точку переменной массы, например, ракету, за которой сохраним ее способность нагреваться, т.е. поглощать тепло. В этом случае первый закон динамики принимает вид уравнения Мещерского

где u есть скорость истечения газа.

Для полной энергии и скорости подвода энергии имеем выражения

E(A) = 12m(t) v · v + U(A),

Первое слагаемое в правой части последнего выражения скорость подвода (отвода) полной энергии частиц истекающего газа. Если газ покидает ракету,

·

то m< 0, т.е. масса ракеты уменьшается. Если уходящие частицы представить себе в виде невзаимодействующих шариков (материальных точек) одного

сорта, то массовая плотность их внутренней энергии постоянна, т.е. U = C. Величина q описывает подвод энергии, образующейся, например, при сгорании топлива в ракете. Смысл остальных слагаемых уже обсуждался выше. Уравнение баланса энергии принимает вид

− κ ϑ(ϑ − ϑ ) + b ϑ(v − v ) · (v − v ).

Чтобы получить приведенное уравнение баланса энергии, необходимо проделать несколько дополнительных операций. Прежде всего, с помощью первого закона динамики необходимо исключить из последнего уравнения слагаемое mv˙. Уравнение баланса энергии принимает вид

− κ ϑ(ϑ − ϑ ) + b ϑ(v − v ) · (v − v ). (9.4.13)

Приведенным уравнением баланса энергии называется уравнение вида

Здесь следует обратить внимание на аргументы, от которых зависят коэффициенты при производных в правой части уравнения (9.4.14). Упомянутые

· ·

коэффициенты не должны зависеть от скоростей m, H. Именно по этой причине нельзя, например, принять, что

1

µ = 2(u − v) · (u − v) + U .

Запись уравнения баланса энергии (9.4.13) в виде (9.4.14) всегда возможна, ибо в рассмотрение вводятся новые функции µ и энтропия H, причем последнюю определим уравнением

(9.4.15) В термодинамике [66] производную по массе от внутренней энергии принято называть химическим потенциалом. Поэтому и мы будем называть µ химическим потенциалом тела. Подчеркнем, однако, что никаких аргументов,

используемых в термодинамике при введении энтропии и других понятий, выше не использовалось. И температура, и энтропия, и химический потенциал выше вводились без каких-либо допущений на основе чисто механических рассуждений8. С формальной точки зрения обсуждаемый подход не вызывает возражений. Но хотелось бы внести большую ясность в этот процесс. Не исключено, что существует система аргументации, позволяющая уменьшить нагрузку на интуицию.

Выше внутренняя энергия определена как функция массы и энтропии. Часто в качестве независимых переменных удобнее использовать массу и температуру. С этой целью в рассмотрение вводится понятие свободной энергии Φ, которая связана с внутренней энергией соотношением

Подставляя выражение (9.4.16) в приведенное уравнение баланса энергии (9.4.14), получаем

Дальнейшие рассмотрения требуют задания свободной энергии. В общем случае, это — трудная задача, решение которой зависит от конкретных условий задачи. Исключительно в иллюстративных целях примем простейшее выражение для свободной энергии

Φ(m, H) = 12 α(ϑ − ϑ0)2 + β (ϑ − ϑ0) (m − m0) + 12 γ (m − m0)2 + d (m − m0),

где m0, ϑ0 — отсчетные постоянные масса и температура; α, β γ, d — известные, например из эксперимента, числовые параметры.

Тогда получим

H = − α (ϑ − ϑ0) − β(m − m0), µ = β (ϑ − ϑ0) + γ(m − m0) + d.

Подставляя равенства (9.4.3.) в уравнение, определяющее энтропию (9.4.15), получаем так называемое уравнение теплопроводности для нахож-

8Впрочем, все эти понятия, включая энергию, оказались без прав гражданства. В классической механике они вводятся только для частных случаев. В термодинамике, они также не определяются. Например, в [66] читаем: “Некоторые общие понятия (теплота, температура, система, энергия, масса и т.п.), выходящие за пределы термодинамики, признано целесообразным рассмотреть в специальной научной комиссии, совместно с другими фундаментальными понятиями”. В справочнике по физике [29] читаем: “Энергией называется способность тела совершать работу”. Но дать общее определение работы ничуть не проще, чем дать определение энергии. Во многих случаях понятия работы и энергии являются почти синонимами. И по настоящее время эти фундаментальные понятия всеми используются, но не выводятся за рамки интуитивных представлений.