Теоретическая механика (фундаментальные законы механики). Учебное пособие

Здесь мы дважды использовали уравнения (5.8.5) и убедились, что тензор Q3 принадлежит к множеству элементов симметрии. Таким образом, множество элементов симметрии обладает всеми признаками, позволяющими назвать это множество группой.

Опишем группы симметрии скаляров, векторов и симметричных тензоров второго ранга. Для скаляров непосредственно из определения видим, что группа симметрии абсолютного скаляра совпадает с полной ортогональной группой, а группа симметрии аксиального скаляра совпадает с собственно ортогональной группой.

Группа симметрии полярного вектора a состоит из тензоров поворота вокруг a и зеркальных отражений от плоскостей, параллельных a, т.е. из тензоров (5.8.3) при m = a/|a| и тензоров (5.8.2) при n · a = 0.

Группа симметрии аксиального вектора a состоит из тензоров поворота вокруг a и зеркальных отражений от плоскостей, ортогональных a, т.е. из тензоров поворота (5.8.3) при m = a/|a| и тензоров зеркальных отражений (5.8.2) при n = a/|a|. При экспериментальной проверке этого факта с помощью зеркала следует вспомнить, что прообразом аксиального вектора является спин-вектор, а зеркало ничего не знает о соглашении об ориентации, которое существует только в наших головах. Поэтому при работе с зеркалом следует использовать не аксиальный вектор, а его прообраз, т.е. спин-вектор. Таким образом, группы симметрии полярных и аксиальных векторов существенно различны.

Группа симметрии симметричного полярного тензора второго ранга, все собственные числа которого различны, состоит из зеркальных отражений от плоскостей, ортогональных собственным векторам этого тензора.

Здесь это понятие используется применительно к эйлерову тензору инерции, который является полярным тензором второго ранга.

Определение. Группой симметрии тензора инерции Θ называется множе-

ство ортогональных решений уравнения

В определении (5.8.6) и до конца этого параграфа тензоры инерции рассматриваются в отсчетном положении. Если тензор инерции задан, то нетрудно найти его группу симметрии. Например, для шарового тензора инерции имеем

Q · Θ · QT = Q · (ΘE) · QT = ΘE = Θ, Q : Q · QT = E.

Иными словами группой симметрии шарового тензора является полная ортогональная группа. Знание даже отдельных элементов симметрии у тензора инерции позволяет получить важную информацию о его структуре.

Пример. Допустим, что тензор инерции имеет одну плоскость зеркальной симметрии. Тензор зеркального отражения от плоскости, ортогональной единичному вектору n, имеет вид

Q = E − 2 n n, Q = QT , Q · n = −n.

Поскольку этот тензор, по условию, является элементом симметрии тензора инерции, то справедливо равенство (5.8.6)

Умножая обе части этого равенства скалярно на вектор n, получаем

(E − 2n n) · (Θ · n) = − (Θ · n) Θ · n = λn.

Иными словами, если тензор инерции обладает зеркальной плоскостью симметрии, то вектор, ортогональный этой плоскости, является собственным вектором тензора инерции, а ось, ортогональная плоскости зеркальной симметрии, является главной осью тензора инерции. Допустим теперь, что тензор инерции обладает еще одной плоскостью зеркальной симметрии, ортогональной единичному вектору m такому, что m × n 6= 0. Тогда вектор m также является собственным вектором тензора инерции. Таким образом, имеем два равенства

Θ · n = λn, Θ · m = µm (λ − µ)m · n = 0.

Здесь возможны два случая.

Первый случай. Если m · n 6= 0, то λ = µ. В этом случае легко убедить-

ся, что любой вектор, являющийся линейной комбинацией векторов m и n, является собственным вектором тензора инерции. Это означает, что в рассматриваемом случае имеется несчетное множество плоскостей зеркальной симметрии, пересекающихся по одной прямой, которая, в свою очередь, является главной осью тензора инерции. Этот факт вытекает из следующего рассуждения. Выберем пару ортогональных векторов d1 и d2, лежащих в

плоскости, натянутой на векторы m и n. Тогда тензоры

Q1 = E − 2d1 d1, Q2 = E − 2d2 d2, Q3 = Q2 · Q1 = − (E − 2d3 d3) ,

где d3 = d1 × d2, также являются элементами симметрии тензора инерции, а вектор d3 является собственным вектором тензора инерции.

По теореме о спектральном разложении [18] тензора второго ранга имеем

Θ = λ(d1 d1 + d2 d2) + λ3d3 d3 = λ(E − d3 d3) + λ3d3 d3. (5.8.8)

Тензоры такого строения называются трансверсально-изотропными с осью изотропии, натянутой на вектор d3. Название объясняется тем, что

тензор (5.8.8) не меняется при произвольных поворотах вокруг оси изотропии d3. Иными словами, тензор поворота

Q = (1 − cos ϕ)d3 d3 + cos ϕE + sin ϕd3 × E

принадлежит к группе симметрии тензора инерции. Вот такие удивительные следствия вытекают из существования у тензора инерции двух неортогональных между собой плоскостей зеркальной симметрии.

Второй случай. Если m · n = 0, то λ уже не обязано равняться µ. В этом

случае из существования двух плоскостей зеркальной симметрии вытекает только то, что тензор инерции обязан иметь вид

Сдругой стороны, эйлеров тензор инерции является симметричным тензором второго ранга. Следовательно, для него справедлива теорема о спектральном разложении [18], из которой вытекает, что любой тензор второго ранга и тензор инерции в частности имеет, как минимум, три плоскости зеркальной симметрии. Заметим, что теорема о спектральном разложении никак не связана с соображениями симметрии, но она, в более узкой трактовке, может быть получена на основании соображений симметрии. В отличие от соображений симметрии, при доказательстве теоремы о спектральном разложении не использовалось допущение, что у тензора имеются какие-либо плоскости симметрии.

Сучетом важности умения использовать соображения симметрии, приведем прямое построение полученных выше представлений. Итак, пусть тензор инерции имеет одну плоскость зеркальной симметрии, ортогональную единичному вектору n. Введем в рассмотрение ортонормированную тройку векторов dk такую, что n = d1. Тогда любой тензор второго ранга, не обязательно симметричный, может быть представлен в виде разложения

Θ= Θ11d1 d1 +Θ12d1 d2 +Θ13d1 d3 +Θ21d2 d1 +Θ22d2 d2 +Θ23d2 d3+

+Θ31d3 d1 + Θ32d3 d2 + Θ33d3 d3.

замене d1 на (− d1) тензор Θ не должен меняться. Так будет тогда и только

тогда, когда

Θ12 = Θ21 = Θ13 = Θ31 = 0.

Тензор Θ принимает вид

Θ = Θ11d1 d1 + Θ22d2 d2 + Θ23d2 d3 + Θ32d3 d2 + Θ33d3 d3.

Пусть теперь тензор зеркального отражения E − 2 d2 d2 от плоскости ортогональной вектору d2 также принадлежит группе симметрии тензора Θ. Это возможно только при условии, что

Θ23 = Θ32 = 0, Θ = Θ11d1 d1 + Θ22d2 d2 + Θ33d3 d3.

Итак, если полярный тензор второго ранга обладает двумя ортогональными плоскостями зеркальной симметрии, то он симметричен и обладает, по крайней мере, тремя ортогональными между собой плоскостями зеркальной симметрии. Если этот тензор обладает еще одной плоскостью зеркальной симметрии, ортогональной единичному вектору m, лежащему в плоскости, натянутой на векторы d1 и d2, и не совпадающему ни с одним из этих векторов, то такой тензор обязан быть трансверсально-изотропным Θ11 = Θ22. Наконец, если имеется еще одна плоскость зеркальной симметрии, ортогональная вектору n, который не ортогонален плоскости, натянутой на векторы d1 и d2 и не лежит в этой плоскости, то такой тензор обязан быть шаровым или, что то же самое, изотропным. Итогом всего сказанного является

Теорема. Если полярный тензор второго ранга обладает двумя не ортогональными между собой плоскостями симметрии, то он является трансверсально-изотропным с осью изотропии, являющейся линией пересечения плоскостей симметрии. Если полярный тензор второго ранга обладает тремя не ортогональными между собой плоскостями симметрии, то он является изотропным.

Как было показано выше соображения симметрии дают очень много информации о строении рассматриваемого тензора. Эти соображения легко воспринимаются интуицией и способствуют ясной визуализации, в частности, тензора инерции. Проблема, однако, в том, что интуиция ничего не знает о тензоре инерции, ибо в Природе такого объекта самого по себе не существует. Тензор инерции возник в результате принятого способа описания (моделирования) природных объектов. Поэтому может показаться, что все вышеприведенные рассмотрения повисают в воздухе, ибо мы лишены возможности увидеть какие-бы то ни было элементы симметрии тензора инерции. Здесь нам на помощь приходит совершенно замечательный и чрезвычайно важный в физике

Принцип Кюри–Неймана: группа симметрии причины принадлежит группе симметрии следствия.

Применительно к тензорам инерции речь идет о следующем. Тензор инерции абсолютно твердого тела является характеристикой этого тела, т.е. явля-

ется следствием свойств тела. Тело является причиной, а его тензор инерции является следствием, вытекающем из строения самого тела. Вот на этом этапе и вступает в действие интуиция. Мы видим реальное тело и знаем о распределении массы внутри этого тела. Поэтому мы в состоянии увидеть (интуитивно ощутить) элементы симметрии реального тела. По Принципу Кюри–Неймана мы можем утверждать, что эти элементы симметрии обязательно принадлежат группе симметрии следствия, т.е. тензора инерции. Вместе с тем, Принцип Кюри–Неймана не утверждает, что группа симметрии следствия совпадает с группой симметрии причины, первая может быть значительно шире второй. Например, реальное тело может вообще не обладать плоскостями зеркальной симметрии. Но тензор инерции, согласно теореме о спектральном разложении, обязательно обладает тремя плоскостями зеркальной симметрии, ортогональными собственным векторам тензора инерции.

Обратимся к вычислению тензоров инерции конкретных тел и посмотрим, чем нам помогут соображения симметрии.

5.9.Тензоры инерции конкретных тел

Центральный тензор инерции полого шара из однородного материала.

Рассмотрим шар радиуса a с концентрической полостью радиуса b. Шар выполнен из равномерно распределенного однородного материала. Масса шара равна m. Эйлеров тензор инерции вычисляется по формуле (5.5.2)

Z

Θ = − (r − rc) × E × (r − rc) d m(r) =

В принципе, можно вычислить этот интеграл и найти тензор инерции. Но мы будем поступать иначе. У рассматриваемого шара любая плоскость, содержащая центр шара, является плоскостью зеркальной симметрии. Таким образом, реальный шар обладает несчетным множеством плоскостей зеркальной симметрии, включая тройки неортогональных между собой плоскостей. По Принципу Кюри–Неймана эти плоскости должны принадлежать к плоскостям зеркальной симметрии следствия, т.е. тензора инерции. Это возможно только для изотропного тензора инерции. Иными словами, тензор инерции полого шара имеет вид

Чтобы найти тензор инерции, нам достаточно вычислить только одно число — момент инерции Θ. Для этого нет нужды вычислять тензорный интеграл (5.9.1). Достаточно вычислить скалярный интеграл

(5.9.3) Осталось вычислить интеграл по массе. Будем поступать следующим образом. Объем полого шара равен 4π(a3 − b3)/3. Следовательно, массовая плотность равна 3m/4π(a3 − b3). Весь объем, занятый телом, разделим на тонкие концентрические слои толщины d ρ. Масса одного слоя вычисляется по фор-

муле

Используя этот результат, формулу для момента инерции (5.9.3) переписываем в виде одномерного интеграла

Θ = 2m(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) . 5(a2 + ab + b2)

Для сплошного шара при b = 0 получаем Θ = 2ma2/5.

Тензор инерции шара относительно полюса, не совпадающего с центром шара. При вычислении этого тензора мы должны воспользоваться теоремой Гюйгенса–Штейнера (5.5.6). В данном случае она принимает вид

где l — расстояние от полюса до центра шара, e есть единичный вектор, направленный от полюса к центру шара или наоборот.

Тензор инерции шара с шаровой, но не концентрической полостью. Рассмотрим шар с шаровой полостью, центр которой не совпадает с центром основного шара. Радиус шара равен a, радиус полости равен b. Пусть m есть масса шара с полостью. Вычислим тензор инерции шара с полостью относительно центра основного шара. Это, разумеется, уже не центральный тензор инерции. Начало системы отсчета поместим в центр основного шара. По опре-

228 Глава 5. Тела и их динамические структуры

где m1 есть масса дополнительного материала, необходимого для заполнения полости. Первый интеграл в правой части этого выражения дает нам центральный тензор инерции шара без полости. Второй интеграл дает нам тензор инерции сплошного шара массой m1 относительно центра основного шара. Оба тензора инерции мы уже умеем вычислять. Первый тензор инерции дается формулой (5.9.2), а второй тензор инерции определяется формулой (5.9.4). Поэтому выражение (5.9.5) окончательно принимает вид

где l есть расстояние между центрами основного шара и полости, а e есть направление от центра шара к центру полости.

Центральный тензор инерции однородного кругового цилиндра. Рассмотрим сплошной цилиндр радиуса a и высотой h. Очевидно, что у него есть две неортогональные плоскости зеркальной симметрии, пересекающиеся по оси цилиндра. Это означает, что его тензор инерции является трансверсальноизотропным с осью изотропии, совпадающей с осью цилиндра. Общий вид такого тензора дается выражением

Чтобы найти тензор инерции, достаточно вычислить осевой λ и экваториальный µ моменты инерции. Начало системы отсчета расположим в центре масс цилиндра. Вектор положения типичной точки цилиндра представим в виде разложения

r = ρ + ze, |r|2 = |ρ|2 + z2, z = r · e, 0 ≤ |ρ| ≤ a, −h/2 ≤ z ≤ h/2.

Подставляя определение эйлерова тензора инерции (5.9.1) в формулы для

При вычислении осевого момента весь цилиндр представим как совокупность концентрических слоев малой толщины. Масса этого слоя вычисляется по формуле

Тогда осевой момент инерции определяется одномерным интегралом

При вычислении экваториального момента инерции область, занятую цилиндром, удобно разбить на цилиндры высотой dz. Масса такого цилиндра равна

Теперь экваториальный момент инерции согласно (5.9.6) вычисляется посредством интеграла

Таким образом, центральный тензор инерции кругового цилиндра имеет

Если радиус цилиндра устремить к нулю, то выражение (5.9.) дает центральный тензор инерции тонкого стержня. Если положить λ = µ, то центральный

m.

Центральный тензор инерции однородного параллелепипеда. Вычислим центральный тензор инерции однородного параллелепипеда со сторонами a, b, c. Начало системы отсчета разместим в центре масс. Здесь также имеются три плоскости зеркальной симметрии, но они взаимно ортогональны. Поэтому тензор инерции параллелепипеда имеет более сложный вид

где векторы dk параллельны ребрам параллелепипеда. Вектор r представим в виде разложения

Здесь также достаточно вычислить три одномерных интеграла, если использовать рассуждения предыдущего пункта. Вычислим, например, интеграл по массе от функции x2

Аналогично вычисляются и два остальных интеграла. Окончательно для центрального тензора параллелепипеда имеем

Заканчивая этот пункт, обращаем внимание на то, что не следует торопиться с переходом от интегрирования по массе к интегрированию по объему. При интегрировании по массе следует активно использовать аддитивность тензора инерции по массе тела. Особенно важно полностью учитывать это обстоятельство при вычислении тензоров инерции составных тел.

Глава 6.

Воздействия

6.1.Основная аксиома механики

Отправной идеей в механике является представление о том, что в инерциальных системах отсчета закрытые тела, т.е. тела, не обменивающиеся частицами с окружающей средой, меняют характер своего движения только в результате влияния других тел. Если рассматриваемое тело изолировано (одинокое во всем мире по выражению Л. Эйлера), то тело самопроизвольно не может менять характер своего движения. Это интуитивное представление само по себе не может стать основой рациональной науки, ибо термин “характер движения” неопределен. Выше было введено понятие тела, которое определялось посредством задания неких динамических структур: кинетической энергии, количества движения, кинетического момента. Позднее будет введена дополнительная структура, называемая внутренней энергией тела. В рациональной механике при использовании термина “тело” подразумевается задание указанных выше структур. Все свойства тела должны быть отражены в этих структурах. Поэтому в рациональной механике нельзя говорить о заряженном теле, если в динамических структурах отсутствует параметр, характеризующий заряд тела. К этой важной мировоззренческой проблеме мы еще будем неоднократно возвращаться в дальнейшем. Сейчас нас интересует вопрос, какие-же из этих величин определяют то, что было названо характером движения. Этот вопрос не так прост, как может показаться с первого взгляда. Сначала ограничимся рассмотрением простейшего тела — материальной точки. Несколько десятилетий продолжалась дискуссия о том, что именно определяет характер движения у материальной точки: кинетическая энергия или количество движения (понятие кинетического момента тогда не существовало, да оно и не важно для материальной точки). Декарт и его последователи (картезианцы) полагали, что определяющим является количество движения, хотя правильно написать количество движения они не умели, поскольку векторная природа скорости в то время была еще не до конца ясной. Лейбниц и