- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Рассмотрим движение твердого тела с двумя неподвижными точками А и В (рис. 4.4). Из условия неизменяемости расстояния между любыми точками тела вытекает, что все точки на прямой АВ остаются неподвижными. Прямая АВ называется осью вращения, а движение тела называется вращательным. Нетрудно видеть, что все точки тела описывают дуги окружностей с центрами на ось вращения.
Рис. 4.4. |
Рис. 4.5. |
Направим ось Аz1 неподвижной системы координат Аx1y1z1 по оси вращения тела. Введем подвижную систему координат Axyz, жестко связанную с телом, ось Az которой так же направим по оси вращения (рис. 4.5). Положение тела будет однозначно определено углом поворота тела
между неподвижной плоскостью x1Аz1 и подвижной плоскостью xAz (рис. 4.5). Условимся считать положительным направлением отсчета направление против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси Oz1.
Пусть в момент времени угол между неподвижной полуплоскостью x1Аz1 и подвижной полуплоскостью хАz равен , а в момент времени равен . Это значит, что за промежуток времени подвижная плоскость, а следовательно, и тело повернулись на угол
.
Отношение
называется средней угловой скоростью тела за промежуток времени .
Предел этого отношения при называется угловой скоростью тела в данный момент времени
. (4.5)
Единица измерения угловой скорости в системе СИ есть 1/с.
Вектором угловой скорости твердого тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, называется вектор, модуль которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки
. (4.6)
Из этой формулы следует, что при направление вектора совпадает с направлением вектора k, а при вектор направлен в сторону, противоположную направлению вектора k.
В технике часто при равномерном вращении тела пользуются числом оборотов в минуту. Зависимость между угловой скоростью и числом оборотов в минуту определяется по следующей формуле:
,
где – число оборотов в минуту.
Предположим, что в момент времени угловая скорость вращения равна , а в момент равна . Величина
называется средним угловым ускорением тела за промежуток времени .
Предел этого отношения при называется угловым ускорением тела в данный момент времени
. (4.7)
Единица измерения углового ускорения – 1/с2.
Вектором углового ускорения называется вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости, т.е.
. (4.8)
Из формулы (4.8) следует, что вектор , так же как и вектор , направлен вдоль оси вращения. Величины и представляют проекции векторов угловой скорости и углового ускорения на ось вращения.
Найдем скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 4.6). Радиус-вектор произвольной точки М в подвижной системе координат Axyz ( , , ) можно представить в виде
. (4.9)
Скорость точки М будет равна
Рис. 4.6. |
. (4.10) Поскольку вектор k неподвижен, то k=0. Производные векторов i и j вычислены ранее при рассмотрении движения точки в полярной системе координат. Обозначая и из формул (3.12), (3.13) и (4.5) получим |
.
Тогда формула (4.10) запишется в виде
. (4.11)
Так как векторное произведение
имеет те же проекции на оси х, у и z, что и вектор скорости v, то имеем
, (4.12)
иначе говоря, скорость любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.
Из формулы (4.12) следует, что
,
т.е. модуль скорости любой точки твердого тела равен произведению модуля угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вращения. Направлен же вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка М, в сторону ее движения.
Дифференцируя по времени равенство (4.12), получим
,
или .
Вектор направленный по касательной к траектории точки, т.е. параллельно скорости (рис. 4.7), называется вращательным ускорением точки М тела, т. е.
.
Численное значение вращательного ускорения равно
.
Рис. 4.7. |
Вектор , лежащий в плоскости окружности радиуса и направленный к оси вращения, называется осестремительным ускорением. Так как вектор v перпендикулярен вектору , то численное значение осестремительного ускорения равно . |
Модуль полного ускорения точки М будет
.
Угол , образованный векторами полного и осестремительного ускорений, определяется из формулы
.