6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело

6.1. Задание движения. Углы Эйлера

Движение тела, имеющего одну неподвижную точку, называют сферическим движением или вращением тела вокруг неподвижной точки.

Рис. 6.1.

Твердое тело с одной закрепленной точкой имеет три степени свободы. Положение такого тела относительно неподвижной системы координат Ox1y1z1 (рис. 6.1), как правило, определяют при помощи углов Эйлера, которые вводятся следующим образом.

Свяжем жестко с телом подвижную систему координат Охуz, выбрав начало координат в неподвижной точке О (рис. 6.1). Координатная плоскость хОу пересекается с неподвижной плоскостью x₁Oy₁ вдоль прямой ОК, которая называется линией узлов. Угол, составляемый неподвижной осью Ox₁ с линией узлов, называется углом прецессии и обозначается буквой . Угол, составляемый линией узлов с подвижной осью Ох, носит название угла собственного вращения и обозначается буквой . Угол между осями Oz₁ и Оz называется углом нутации и обозначается буквой . Все углы отсчитываются соответственно от осей Ox₁, ОК и Oz₁ против хода часовой стрелки, как показано на рис. 6.1.

Покажем, что, зная три функции , и , можно всегда найти положение системы координат Охуz, а следовательно, и положение тела, скрепленного с ней. Действительно, откладывая от оси Ох₁ угол прецессии , мы найдем линию узлов ОК. Проведем через точку О плоскость, перпендикулярную линии узлов, и от оси Оz₁ (эта ось должна лежать в построенной плоскости) отложим угол нутации . Таким образом, будет определено положительное направление оси Оz. Через точку О проведем плоскость, перпендикулярную оси Оz; эта плоскость пройдет через линию узлов ОК. Отложим теперь в построенной плоскости от линии узлов угол собственного вращения и определим положительное направление оси Ох. Ось Оу должна лежать в той же плоскости и составлять вместе с осями Ох и Оz правую систему координат. Таким образом, углы и полностью определяют положение осей подвижной системы.

6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость

Рис.6.2.

Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О. Свяжем жестко с телом систему координат Охуz (рис. 6.2). Система координат Охуz однозначно определяет положение рассматриваемого тела по отношению к неподвижной системе отсчета Ох1y1z1. Положение произвольной точки твердого тела определяется

радиусом-вектором . Если х, у и z – координаты точки М в подвижной системе координат, a i, j и k – единичные векторы осей этой системы координат, то радиус-вектор можно представить в виде

. (6.1)

В подвижной системе отсчета координаты х, у, z точки М являются постоянными величинами, т.е. , , , а единичные векторы i, j, k будут функциями времени, так как система координат Охуz движется вместе с твердым телом.

Дифференцируя (6.1) по , получим скорость точки М

. (6.2)

Умножая обе части равенства (6.2) скалярно на i, j и k, получим

(6.3)

Так как векторы i, j и k взаимно перпендикулярны, то

(6.4)

Дифференцируя эти равенства по времени, найдем две группы формул:

(6.5)

(6.6)

Выражения (6.3) при этом примут вид

(6.7)

Формулы (6.7) содержат три скалярные функции времени,

,

для которых введем обозначения:

. (6.8)

Перепишем теперь формулы (6.7) в виде

(6.9)

Так как ,

то, в соответствии с выражением (6.9), имеем

.

Если теперь ввести вектор с проекциями

,

то скорость точки можно представить векторным произведением

.

Итак, скорость точки тела, совершающего сферическое движение, определяется формулой

. (6.10)

Геометрическое место точек, скорость которых равна нулю, определяется из уравнения

, (6.11)

представляющего собой условие коллинеарности векторов и . Это векторное уравнение в системе координат Охуz можно записать в виде

. (6.12)

Уравнения (6.12) определяют прямою линию, направляющие косинусы которой пропорциональны проекциям вектора . В общем случае вектор и его проекции являются функциями времени, поэтому положение прямой (6.12) изменяется как относительно тела, так и относительно неподвижной системы координат Ох₁y₁z₁.

Прямая (6.12), в каждой точке которой скорости точек тела в данный момент равны нулю, называется мгновенной осью вращения. (Она также называется мгновенной осью скоростей.)

Введенный нами вектор направлен по мгновенной оси вращения.

Как уже было установлено, скорость любой точки М тела определяется формулой (6.10), совпадающей по своей форме с выражением для скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Следовательно, скорости точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, распределяются так, как если бы тело вращалось вокруг оси, совпадающей в данный момент с мгновенной осью вращения. В частности, модуль скорости точки М в данный момент определяется равенством ,

где  – расстояние от точки М до мгновенной оси вращения. Скорость точки М направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через ее радиус-вектор и мгновенную ось вращений (рис. 6.3).

Рис. 6.3.

По аналогии с вращением тела вокруг неподвижной оси назовем в рассматриваемом нами случае сферического движения тела вектор вектором угловой скорости. При этом следует иметь в виду, что при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости представляет собой вектор,

всегда направленный по неподвижной оси вращения и характеризующий изменение во времени реального угла поворота тела. Для тела, имеющего одну неподвижную точку, выражение «угловая скорость» имеет условный характер, т.к. положение тела определяется не одним, а тремя углами и, следовательно, нет такого одного угла, скорость изменения которого представил бы введенный вектор . Кроме того, этот вектор может меняться и по модулю и по направлению. Проекции этого вектора на координатные оси являются функциями углов Эйлера и их первых производных.

Отметим, что из формул (6.8) для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, например, вокруг оси Oz, можно получить

,

т.к. , , .

Если известны направления скоростей двух точек тела, то мгновенную ось вращения можно найти графически. Как следует из картины распределения скоростей точек тела в данный момент времени, мгновенная ось вращения лежит в плоскости, перпендикулярной направлению скорости точки тела, и проходит через неподвижную точку тела. Следовательно, если через точки тела, направления скоростей которых известны, провести плоскости, перпендикулярные этим скоростям, то линия пересечения этих плоскостей и будет мгновенной осью вращения.

Мгновенную ось вращения можно определить и в том случае, когда известна одна точка тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Соединяя эту точку с неподвижной точкой тела, найдем мгновенную ось вращения.

Положение точки М тела в неподвижной системе координат определяется координатами х₁, y₁, и z₁ а вектор имеет проекции . Тогда, в соответствии с формулой (6.10), проекции скорости точки М на неподвижные оси координат будут

(6.13)

Уравнение мгновенной оси вращения в неподвижной системе координат имеет вид

. (6.14)

Геометрическое место мгновенных осей вращений, построенных в неподвижной системе координат, называется неподвижным аксоидом, а в подвижной системе координат – подвижным аксоидом.

Из уравнений (6.14) следует

.

Полученные уравнения дают уравнение неподвижного аксоида в параметрическом виде; параметром служит время t. Исключая из этих уравнений t, можно получить уравнение конической поверхности (неподвижного аксоида) .

Аналогично, исключая время t из уравнений

,

полученных из формул (6.12), найдем уравнение подвижного аксоида

.