- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
Для определения ускорения точки плоской фигуры продифференцируем равенство (5.5) по времени:
.
В этом соотношении , – соответственно ускорения точек В и А, , – вектор углового ускорения. Таким образом, ускорения точек А и В связаны между собой соотношением
. (5.7)
Два последних слагаемых в равенстве (5.7) определяют ускорение точки В при закрепленной точке А . Поэтому их сумма
дает ускорение точки В во вращательном движении относительно системы координат Ах2у2.
При изучении вращательного движения мы уже выяснили, как направлены составляющие вектора ускорения . Сохраним за этими составляющими старые названия – осестремительного (или центростремительного) и вращательного ускорений, т.е.
, .
Модули этих составляющих будут
, . (5.8)
На рис. 5.9 геометрически сложены три вектора и определено ускорение точки В при помощи формулы
. (5.9)
Таким образом, ускорение любой точки В плоской фигуры геометрически складывается из ускорения полюса и осестремительного и вращательного ускорений во вращательном движении фигуры относительно полюса.
Заметим, что при решении задач, прежде чем определить ускорение точки по формуле (5.9), необходимо вычислить угловую скорость тела, его угловое ускорение и выбрать полюс. За полюс выбирается обычно такая точка, ускорение которой легко находится из условия задачи. Иногда, зная, например, направление искомого ускорения точки, угловое ускорение можно определить по формуле (5.9).
Из (5.8) найдем угол между вектором и направлением на полюс (рис. 5.9),
.
Отсюда видно, что этот угол, во-первых, не зависит от выбора полюса и, во-вторых, для всех точек при фиксированном времени одинаков.
Модуль ускорения точки при вращении фигуры вокруг полюса также находится из равенства (5.8)
. (5.10)
Он зависит от расстояния точки до полюса.
Введем понятие мгновенного центра ускорений.
Рис. 5.9. |
Рис. 5.10. |
Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. Для построения мгновенного центра ускорений будем предполагать, что нам известны ускорение одной из точек , угловая скорость и угловое ускорение , причем предполагается, что и не равны нулю одновременно. Из точки А отложим под углом к ускорению отрезок AQ
. (5.11)
При угол откладывается против хода часовой стрелки (рис. 5.10), при – по ходу часовой стрелки.
Убедимся в том, что ускорение точки Q равно нулю. Выбрав за полюс точку А, получим
.
Как мы уже отметили ранее, угол между ускорением точки относительно полюса и направлением на полюс не зависит от выбора полюса. Следовательно, составляет с направлением QA угол . Такой же угол составляет и с AQ. Поэтому векторы и параллельны (рис. 5.10). В силу принятого правила отсчета угла ускорения и будут всегда противоположно направлены. Остается теперь установить, что они равны по модулю. Вспоминая (5.10) и подставляя (5.11), получим
.
Отсюда следует:
.
Таким образом, мы доказали, что точка Q – мгновенный центр ускорений.
Ускорение любой точки в данный момент времени теперь может быть определено так же, как и при вращении вокруг неподвижной оси:
(поскольку ).
Следует иметь в виду, что мгновенный центр ускорений и мгновенный центр скоростей, – вообще говоря, разные точки. В этом легко убедиться, рассмотрев простой пример. Допустим, диск катится по горизонтальной плоскости без скольжения (рис. 5.8 д) и скорость его центра О постоянна. Как мы уже знаем, мгновенный центр скоростей находится в точке касания Р. Так как вектор скорости точки О постоянен, то ускорение центра диска равно нулю. Таким образом, мгновенный центр ускорений совпадает с центром диска, а мгновенный центр скоростей – с точкой касания.