- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
3.3. Ускорение точки
Рис. 3.12. |
Предположим, что в момент времени скорость точки равна , а в момент времени будет (рис. 3.12). Приращение вектора скорости за промежуток времени найдем как разность векторов и , |
параллельно перенося вектор в точку М1
.
Отношение
называется средним ускорением точки за промежуток времени .
Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к приращению времени при условии, что последнее стремится к нулю, т.е.
, (3.18)
или .
Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.
3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:
, , .
Представляя вектор скорости точки в виде
,
на основании (3.18) будем иметь
,
где
, (3.19)
т.е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точки и второй производной по времени от соответствующей координаты точки.
Модуль ускорения определяется по формуле
, (3.20)
а направление вектора ускорения – направляющими косинусами:
(3.21)
Полярные координаты
Пусть координаты точки заданы как функции времени
Согласно (3.14) имеем .
На основании (3.18) получим
,
но так как , ,
то .
Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления
(9.22)
Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам
,
3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть – единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо |
Рис. 3.13. |
точке М этой кривой (рис. 3.13). Возьмем теперь на кривой точку М1, близкую к точке М, и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через . Параллельно перенеся вектор в точку М, проведем плоскость через векторы и приложенные в точке М.
При стремлении точки М1 к точке М эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке М. Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.
Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и
нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М. Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 3.14 соприкасающаяся, |
Рис. 3.14. |
нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами I, II и III.
Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль к кривой.
Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.
Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор , направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами , , , образовывали правую систему осей, т.е. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , , являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 3.14).
Обозначим через величину угла между вектором , проведенным в точке М, и вектором , проведенным в точке М1, близкой к точке М. Этот угол называется углом смежности (рис. 3.15 а).
Рис. 3.15. |
Кривизной кривой в точке М называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги , т.е.
. (3.23)
Радиусом кривизны кривой в точке М называется величина, обратная кривизне
. (3.24)
Вектор скорости согласно выражению (3.17) можно представить в виде
.
На основании формулы (3.18) имеем
. (9.25)
Определим величину и направление вектора .
Пусть в момент времени точка находится в положении М на траектории, а в момент времени – в положении М1. Перенося вектор их в точку М, найдем приращение вектора за промежуток времени (рис. 3.15 а)
.
Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 3.15 а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 3.15 б). Найдем производную вектора :
.
Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 3.15 а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку М и векторы и (плоскость МАВ). Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, т.к. при плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке М.
Дифференцируя тождество по , получим
,
т.е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен ; следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.
Определим теперь модуль вектора . Из равнобедренного треугольника АМВ (см. рис. 3.15 а) найдем
или, используя равенства (3.23) и (3.24), получим
.
Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь
.
Значит, ,
и, следовательно,
, (3.26)
т.к. .
Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.
Составляющие ускорения по направлениям и соответственно равны
.
Проекция ускорения на направление
(3.27)
называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль
(3.28)
называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль вектора ускорения равен
. (3.29)
Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость достигает экстремальных значений.
Если и одного знака, то модуль скорости точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же и разных знаков, то модуль скорости точки убывает и движение будет замедленным. При модуль скорости остается постоянным – движение равномерное.