- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
Первый случай. Рассмотрим сначала следующий случай сложного движения: тело Р движется поступательно с постоянной скоростью относительно системы координат О2x2y2z2, а она в свою очередь вращается вокруг оси z1 неподвижной системы координат О1x1y1z1 с постоянной угловой скоростью , параллельной скорости поступательного движения. Найдем абсолютную скорость некоторой точки М тела (рис. 8.8):
.
Таким образом, абсолютная скорость точки может быть разложена на две составляющие: одну , параллельную оси z2, и другую , перпендикулярную плоскости, проходящей через и точку М.
Рис. 8.8. |
Отсюда следует, что точка М движется по боковой поверхности кругового цилиндра с осью z1. Касательная к винтовой траектории образует с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, угол , причем
,
где – радиус цилиндра (см. рис. 8.8).
Время Т одного оборота тела в винтовом движении
.
Любая точка тела переместится за это время параллельно оси на расстояние, равное
,
называемое шагом винта. Величина называется параметром винта.
Рассмотренное сложное движение тела называется кинематическим винтом.
Если скорость и угловая скорость переменны, то движение тела будет мгновенно винтовым движением. Естественно, что параметр винта в общем случае также будет переменным.
Второй случай. Скорость поступательного движения перпендикулярна угловой скорости вращательного движения. Мгновенное поступательное движение можно рассматривать как сложное движение – пару вращений. При этом момент пары вращений должен быть равен скорости данного поступательного движения. Плоскость пары вращений должна быть
Рис. 8.9. |
перпендикулярна – проведем ее через ось z1 (рис. 8.9). Поступательное движение со скоростью относительно системы координат О2x2y2z2 можно заменить вращением тела с угловой скоростью относительно некоторой новой системы, и вращением этой новой системы |
относительно системы координат О2x2y2z2 с угловой скоростью .Для упрощения чертежа плоскость y2О2z2 проведена перпендикулярно через ось z1. Пусть одно из вращений, составляющих пару, имеет угловую скорость и происходит вокруг оси, совпадающей с z1; тогда другое вращение имеет угловую скорость и происходит вокруг параллельной оси, проходящей через точку О3. Для эквивалентности этой пары вращений данному поступательному движению тела достаточно, чтобы было выполнено условие
.
Если (см. рис. 8.9), то отсюда следует, что
.
Таким образом, совокупность поступательного и вращательного движений нами приведена к трем вращениям ( ), при этом два последних вращения ( ) эквивалентны покою, так как угловые скорости и равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, результирующее движение эквивалентно только одному вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О3, с угловой скоростью, равной угловой скорости заданного вращения.
Третий случай. Скорость поступательного движения направлена
Рис. 8.10. |
под углом к угловой скорости вращательного движения (рис. 8.10). Этот случай легко приводится к первому. В самом деле, поступательное движение со скоростью можно сначала представить как совокупность двух поступательных движений |
со скоростями и , причем , (рис. 8.10) и = + .
Поступательное движение со скоростью (в соответствии со вторым случаем) можно заменить парой вращений ( ). Получилась система четырех движений ( ); при этом два последних движения ( ) эквивалентны покою, следовательно, остается мгновенно-винтовое движение ( ).
Если скорости , постоянны, то движение будет винтовым. При этом ось винта отстоит от оси zl на расстоянии .
Шаг винта равен .