- •1. Основные понятия и определения
- •2. Краткие сведения из векторного анализа
- •2.4. Основные правила дифференцирования вектор-функций.
- •2.5. Интегрирование вектор-функции скалярного аргумента.
- •3. Кинематика точки
- •3.1. Способы задания движения
- •3.2. Скорость точки
- •3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3. Ускорение точки
- •3.3.1. Ускорение при координатном способе задания движения Декартова система координат
- •Полярные координаты
- •3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения
- •3.4. Частные случаи движения точки
- •4. Основные движения твердого тела
- •4.1. Задание движения твердого тела
- •4.2. Простейшие движения твердого тела
- •4.2.1. Поступательное движение твердого тела
- •4.2.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •5. Плоское движение твердого тела
- •5.1. Задание движения
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении
- •5.3. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений
- •6. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Свободное твердое тело
- •6.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •6.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость
- •6.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку
- •6.4. Движение свободного твердого тела
- •7. Сложное движение точки
- •7.1. Основные определения. Абсолютная и относительная производные от вектора
- •7.2. Теорема о сложении скоростей
- •7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •8. Сложное движение твердого тела
- •8.1. Постановка задачи
- •8.2. Сложение поступательных движений
- •8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •8.4. Пара вращений
- •8.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •8.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
8.2. Сложение поступательных движений
Рис. 8.1. |
Пусть – скорость поступательного движения тела Р относительно системы О2x2y2z2 (рис. 8.1), a – скорость поступательного движения системы О2x2y2z2 относительно неподвижной системы координат О1x1y1z1. Тогда, чтобы найти абсолютную скорость какой-либо точки М тела Р, нужно применить теорему о сложении скоростей: |
. (8.1)
В нашем случае и следовательно,
. (8.2)
Таким образом, у всех точек тела абсолютные скорости оказались одинаковыми, следовательно, при сложении поступательных движений твердого тела результирующее движение будет также поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений.
В случае поступательных движений, применяя последовательно формулу (8.1), можно показать, что результирующее движение также будет поступательным и его скорость будет равна сумме скоростей составляющих движений, т.е.
.
Возможен случай, когда скорости всех точек тела только в данный момент времени оказываются равными между собой. Этот случай называют мгновенно-поступательным движением. Однако следует иметь в виду, что ускорения точек при этом различны.
8.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
Рис. 8.2. |
Пусть тело Р вращается в системе координат Оx2y2z2 вокруг оси z2 с угловой скоростью , а система координат Оx2y2z2 вращается вокруг оси z1 неподвижной системы с угловой скоростью (рис. 8.2). Точка О остается неподвижной, поэтому результирующее движение тела будет сферическим. Обозначим через угловую скорость этого движения. Наша задача состоит в том, чтобы |
найти угловую скорость абсолютного движения тела, зная угловые скорости и составляющих вращений.
Найдем абсолютную скорость произвольной точки М тела. Для этого в формулу (8.1) следует подставить
, ,
где – радиус-вектор точки М; тогда
.
С другой стороны, скорость той же точки М в абсолютном движении будет равна
.
Сравнивая оба равенства, получим
.
Так как точка М, а следовательно, и ее радиус-вектор произвольны, то
. (8.3)
Из формулы (8.3) следует, что совокупность двух вращений, происходящих вокруг пересекающихся осей, эквивалентна одному вращению, происходящему с мгновенной угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений.
Замечание. В случае из (8.3) следует, что . Следовательно, совокупность двух вращений вокруг одной и той же оси, происходящих с одинаковыми по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями, эквивалентна покою. Такую совокупность движений всегда можно присоединять к любому сложному движению тела.
Совокупность вращений вокруг пересекающихся в одной точке осей эквивалентна одному вращению с мгновенной угловой скоростью
.
Полученное правило сложения вращений вокруг пересекающихся осей позволит нам теперь выразить проекции мгновенной угловой скорости тела, имеющего одну неподвижную точку О, через углы Эйлера и их производные.
Рис. 8.3. |
Напомним, что положение подвижной системы координат Oxyz, жестко связанной с телом, полностью определяется относительно неподвижной системы координат Оx1y1z1 углами Эйлера (рис. 8.3). Тело участвует в трех вращениях: первое вращение, соответствующее изменению угла прецессии , происходит вокруг неподвижной оси Оz1 с угловой скоростью ; второе вращение, соответствующее изменению угла нутации , происходит вокруг линии узлов ОК с угловой скоростью , где – единичный вектор линии узлов; наконец, третье вращение, соответствующее изменению угла собственного вращения , происходит вокруг оси Oz с угловой скоростью . Следовательно, абсолютная угловая скорость тела будет
, (8.4)
Составим таблицу направляющих косинусов единичных векторов в системе подвижных осей Oxyz:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Поясним составление первой строки этой таблицы (вторая и третья строки непосредственно следуют из рис. 8.3 а). Разложим единичный вектор на две взаимно перпендикулярные составляющие, направив одну из них по оси z (она равна , см. рис. 8.3 б); тогда вторая составляющая, равная , где – единичный вектор вспомогательной оси , будет находиться в плоскости ху. Следовательно,
. (8.5)
Вспомогательная ось составляет с осями х и у углы и . Проектируя единичный вектор на оси х, у и z, получим (напомним, что проекции единичных векторов равны соответствующим направляющим косинусам)
, , .
Эти выражения и составляют первую строку таблицы направляющих косинусов.
Проектируя теперь обе части равенства (8.4) на оси х, у и z и учитывая таблицу косинусов, найдем проекции вектора угловой скорости тела на оси, жестко связанные с телом:
(8.6)
Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера.
Модуль угловой скорости определяется равенством
. (8.7)
Таблица направляющих косинусов между единичными векторами в системе неподвижных осей Оx1y1z1 имеет вид
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Для того чтобы получить последнюю строку, мы разложили вектор на две составляющие, направив одну из них по оси (она равна ; см. рис. 8.4); тогда вторая, равная , где – единичный вектор новой вспомогательной оси , будет находиться в плоскости Оx1y1:
Рис. 8.4. |
. Третья строка второй таблицы получена проектированием этого равенства на оси , , и пользуясь второй таблицей направляющих косинусов, найдем проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси координат: |
(8.8)
Кинематические уравнения Эйлера (8.6) и (8.8) устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости на соответствующие оси, углами Эйлера и их первыми производными по времени.