7.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Для нахождения абсолютного ускорения точки, т.е. ее ускорение по отношению к основной системе координат, продифференцируем формулу (7.10) по времени:

. (7.13)

Абсолютную производную вектора относительной скорости найдем по формуле (7.5):

. (7.14)

В этом соотношении есть относительная производная вектора по времени и, следовательно, представляет собой относительное ускорение , т.е. ускорение точки по отношению к подвижной системе координат

. (7.15)

Используя равенства (7.8), (7.9), (7.14) и (7.15), преобразуем формулу (7.13) к виду

, (7.16)

где  – ускорение начала подвижной системы координат, а ее угловое ускорение.

Для того чтобы найти переносное ускорение (ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка), закрепим точку в подвижной системе координат, т.е. положим , .

В этом случае согласно формуле (7.16) будем иметь

. (7.18)

т.е. переносное ускорение представляет собой ускорение точки свободного твердого тела, с которым жестко связана подвижная система координат. Таким образом, имеем

. (7.18)

Ускорение, определяемое членом , называется поворотным или кориолисовым ускорением и обозначается через , т.е.

. (7.19)

Итак, имеем

. (7.20)

Эта формула выражает содержание теоремы Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

Рис. 7.2.

При использовании формулы (7.20) полезно иметь в виду, что переносное ускорение следует определять по правилам нахождения ускорения точек твердого тела. При нахождении относительного ускорения подвижную систему координат следует

считать неподвижной и использовать правила, изложенные в разделе 3.

Остановимся несколько подробнее на кориолисовом ускорении

.

Модуль этого ускорения, очевидно, равен

. (7.21)

Направление кориолисова ускорения определяется направлением векторного произведения векторов и , т.е. кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и в ту сторону, откуда кратчайший переход от к виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 7.2). Если векторы и не лежат в одной плоскости, удобно бывает мысленно перенести вектор параллельно самому себе в начало вектора скорости и применить указанное выше правило.

На основании формулы (7.21) можно указать, что кориолисово ускорение равно нулю в следующих случаях:

1. , это будет при поступательном перемещении подвижной системы координат;

2. угловая скорость подвижной системы параллельна относительной скорости ;

3. в момент времени, когда относительная скорость точки равна нулю.

8. Сложное движение твердого тела

8.1. Постановка задачи

Пусть твердое тело движется относительно подвижной системы координат О₂x₂y₂z₂, а последняя в свою очередь перемещается относительно основной системы координат О₁x₁y₁z₁, принимаемой за неподвижную. В этом случае говорят, что тело совершает сложное движение, которое состоит из двух составляющих движений.

Сложное, движение может состоять из составляющих движений. В этом случае имеется систем координат и задается движений: движение тела относительно системы координат О_nx_ny_nz_n, движение системы О_nx_ny_nz_n относительно системы О_n-1x_n-1y_n-1z_n-1 и т.д., наконец, задается движение системы О₂x₂y₂z₂ относительно основной системы О₁x₁y₁z₁. Движение тела или движение какой-либо одной системы координат относительно другой в общем случае ничем не ограничено. Задача заключается в нахождении зависимости между основными характеристиками составляющих движений и сложного движения.

Было установлено, что движение свободного твердого тела можно представить как сложное движение, состоящее из совокупности сферического движения тела вокруг некоторого полюса и поступательного движения тела вместе с системой координат, связанной с полюсом. Таким образом, основными кинематическими характеристиками движения тела являются скорость и ускорение поступательного движения и угловые скорости и ускорения. Следовательно, задача изучения сложного движения тела, заключающаяся в нахождении зависимости между основными характеристиками составляющих движений и сложного движения, сводится к установлению связи между поступательными и угловыми скоростями и ускорениями составляющих движений. В настоящем курсе мы ограничимся лишь установлением связи между поступательными и угловыми скоростями.

Рассмотрение начнем с простейших случаев.