8.8. Общий случай сложения движений твердого тела
Рис. 8.11. |
Продолжим установленную аналогию между угловыми скоростями и силами, приложенными к твердому телу, а также между скоростью поступательного движения и моментом пары сил. Эта аналогия объясняется тем, что угловая скорость тела и сила, приложенная к твердому телу, являются скользящими векторами. |
Можно показать, что любая система скользящих векторов, независимо от их физической природы, эквивалентна одному скользящему вектору (главному вектору) и одной паре скользящих векторов, момент которой равен главному моменту.
Применительно к
сложению движений твердого тела это
означает следующее: если тело
участвует одновременно в
вращениях с угловыми скоростями
и в
поступательных движениях, скорости
которых равны
(моменты пар вращений), то вся система
этих движений эквивалентна совокупности
одного вращательного и одного
поступательного движений. Угловая
скорость
результирующего вращения равна сумме
(главному вектору) составляющих угловых
скоростей
, (8.15)
а скорость
результирующего поступательного
движения равна сумме (главному моменту)
моментов угловых скоростей
относительно центра приведения А и
скоростей
поступательных движений (моментов пар
вращения):
, (8.16)
причем ось вращения проходит через выбранный центр приведения А.
На рис. 8.11 показаны результирующая угловая скоростью вращательного движения (главный вектор) и результирующая скорость (главный момент) поступательного движения. Векторы и можно рассматривать так же, как скорость полюса А и угловую скорость вращения тела относительно полюса.
Покажем, что имеются два кинематических инварианта, аналогичных статическим инвариантам. Действительно, из равенства (8.15)
Рис. 8.12. |
следует, что главный вектор не зависит от выбора центра приведения А и, следовательно, представляет собой первый кинематический инвариант. По существу, инвариантность главного вектора |
тождественна с
ранее доказанным утверждением о
независимости угловой скорости тела
от выбора полюса. В более узком смысле
под первым инвариантом
будем понимать квадрат модуля главного
вектора
. (8.17)
Прежде чем перейти ко второму инварианту, заметим, что при переходе к новому центру приведения, например точке В, главный момент будет связан с главным моментом относительно старого полюса формулой (рис. 8.12)
. (8.18)
Эту формулу можно получить непосредственно из равенства (8.16). Она также следует из того, что главный момент есть скорость точки В твердого тела и определяется формулой (6.20). Умножим скалярно обе части равенства (8.18) на вектор :
.
Так как вектор
перпендикулярен вектору
,
то их скалярное произведение равно
нулю. Поэтому
, (8.19)
т.е. скалярное произведение главного вектора на главный момент не зависит от центра приведения, иначе говоря, скалярное произведение скорости точки твердого тела на угловую скорость тела в каждый момент времени одинаково для всех точек тела.
Вторым
кинематическим инвариантом
называется скалярное произведение
скорости
любой точки тела на его угловую скорость
. (8.20)
Запишем равенство (8.19) в следующей форме:
.
Если
,
то 
Каждое из этих произведений представляет проекцию главного момента относительно соответствующей точки (скорости соответствующей точки) на направление главного вектора (угловой скорости тела). Следовательно, если угловая скорость тела (главный вектор) не равна нулю, то проекция скорости точки тела (главного момента) на направление угловой скорости тела не зависит от выбора точки.
Рис. 8.13. |
Покажем, что если
второй кинематический инвариант не
равен нулю, то совокупность всех
движений, в которых участвует тело,
может быть сведена к мгновенному
винтовому движению. Действительно,
если
|
,
то скорость
любой точки А тела
и угловая
скорость его отличны от нуля;
кроме того, в этом
случае угол
между векторами
и
не равен
.
Было показано, что в этом случае имеется
такая точка В, скорость которой
параллельна угловой скорости
тела (рис. 8.13). Для этой точки должно
выполняться равенство
или, учитывая формулу (8.18),
, (8.21)
где р – некоторый скаляр, а – радиус-вектор точки В в системе координат Ахуz, жестко связанной с телом; – скорость точки В.
Очевидно, что равенству (8.21) удовлетворяет радиус-вектор любой точки, лежащей на прямой NN', преходящей через точку В и параллельной вектору . Следовательно, равенство (8.21) представляет векторное уравнение прямой линии, все точки которой в данный момент времени имеют скорости, параллельные угловой скорости . Прямая NN' называется мгновенной винтовой осью тела; совокупность угловой скорости тела и скорости любой точки мгновенной винтовой оси называется кинематическим винтом, а число р в равенстве (8.21) – параметром кинематического винта. Происхождение этих названии очевидно: винтовое движение состоит из вращения вокруг некоторой оси и одновременного поступательного перемещения вдоль этой оси. Таким образом, в самом общем случае скорости точек твердого тела распределяются так, как если бы тело совершало мгновенно-винтовое движение.