35. Методика изучения перпендикулярности на плоскости и в пространстве.

Основные вопросы тем «Перпендикулярность на плоскости» и «Перпендикулярность в пространстве» сводятся к определениям соответствующих перпендикулярных фигур, признакам перпендикулярности, а так же к возможности построения перпендикулярных прямых или плоскостей.

Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости.

Содержание: определение перпендикулярных прямых(1. две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла;2. две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней), определение перпендикулярных прямой и плоскости, перпендикуляра к плоскости(прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости), расстояние от точки до плоскости, наклонной, прямоугольной проекции наклонной, перпендикулярных плоскостей, теоремы о перпендикулярных прямых, признак перпендикулярности прямой и плоскости (если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости), теорема о связи между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве, теорема о трех перпендикулярах, теорема о перпендикулярных плоскостях(если плоскость β содержит прямую a, перпендикулярную плоскости α, то плоскости α и β перпендикулярны).

Т.к. в учебнике Погорелова не вводится понятие о перпендикулярных, скрещивающихся прямых, то: прямая а, пересекающая плоскость , называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой в плоскости , проходящей через точку пересечения прямой а с плоскостью .

Определения, приведенные в этой теме, относятся к генетическим (конструктивным), поэтому при их изучении используют методическую схему, определенную для параллельного проектирования. Согласно определению к плоскости проводим прямую, которая пересекает ее в некоторой точке А. В этой плоскости найдется прямая, проходящая через точку пересечения.

Если эта прямая перпендикулярна к данной прямой, то ее называют перпендикулярной к плоскости. Можно по рисунку куба попросить учащихся назвать ребра куба, перпендикулярные к плоскостям AA₁BB₁, ABCD, D₁C₁CD, и назвать плоскости, которым перпендикулярны ребра C₁D₁, A₁D₁, BC.

Признак перпендикулярности:

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна к плоскости.

Сформулировать эту теорему учащиеся смогут сами, используя приведенную выше задачу (например, ребро А₁D₁ перпендикулярно к плоскости DD₁C₁ => А₁D₁DD₁ и А₁D₁D₁С₁ т.е. двум прямым лежащим в этой плоскости).

Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

1. подвести учащихся к признаку, сформулировать его;

2. выполнить рисунок, краткую запись теоремы;

3. сообщить общую идею доказательства теоремы;

4. выполнить доп. построения;

5. сообщить идею доказательства теоремы в более конкретной форме ;

6. привести план доказательства;

7. изложить доказательство ;

8. закрепить доказательство по частям;

9. воспроизведения доказательства полностью;

Для того чтобы подвести учащихся к теореме можно воспользоваться и др. моделью, состоящей из листа картона и нескольких спиц. С ее помощью показать, что если прямая перпендикулярна только к одной прямой, расположенной в плоскости , то этого не достаточно, чтобы прямая а была перпендикулярна к плоскости .

Способы доказательства перпендикулярности прямых в пространстве:

1)Перпендикулярность прямых следует из определения перпендикулярности прямой и плоскости;2)Перпендикулярность прямой и плоскости предварительно доказывается с использованием соответствующего признака;3) Перпендикулярность прямых доказывается с использованием теоремы о трех перпендикулярах;4)Перпендикулярность прямых следует из перпендикулярности соответствующих плоскостей.

--->>>>

параллелепипеда; используется свойство симметрии для того, чтобы показать, что достроенная призма симметрична исходной, а следовательно их объемы равны. Учащиеся уже умеют находить объем параллелепипеда, а площадь основания (состоящая из двух треугольников) они умеют находить еще из планиметрии. Следовательно, они смогут найти объем призмы. Далее Погорелов рассматривает произвольную призму. Так же как и Атанасян, Погорелов разбивает основание призмы на треугольники. Затем находит объем каждой такой призмы, а уже затем по определению объемов находит объем данной призмы (как сумма объемов треугольных призм, её составляющих).

Методика изучения темы «Объемы пирамиды»

На изучение темы «Объем пирамиды» целесообразно отвести три урока.

На первом уроке следует рассмотреть доказательство теоремы об объеме пирамиды(). Основная цель данного урока - вывести формулу для нахождения объема пирамиды, показать применение теории к решению задач. Для этого необходимо предложить ученикам задачи на нахождение площади поверхности пирамиды, вспомнить основные элементы, свойства. Предложить учащимся задачи на нахождение площади основания и т.д. Второй урок можно посвятить повторению вопросов теории и решению задач. На третьем уроке выводится формула объема усеченной пирамиды как следствие теоремы об объеме пирамиды. В учебнике Атанасяна предлагается вывести эту формулу самостоятельно.