31. Векторы в средней школе.

Материалу, непосредственно связанному с изучением векторов на плоскости, отводится достаточно немного времени в школьной программе. Хотя, стоит заметить, что курс геометрии в старших классах средней школы строится именно на основе векторных представлений. Данный материал играет важную роль при решении школьниками многих геом и физ задач, закладывает основу для изучения понятия вектора в пространстве.

Изучение векторов начинается в четвертой четверти 8 класса. Для успешного освоения учащимися данного материала, они должны быть знакомы с понятием декартовых координат на плоскости, понятием отрезок, уметь определять координаты на плоскости и расстояние между двумя точками на плоскости, а также понимать значение понятия параллельный перенос и знать его свойства.

В учебнике Погорелова, который сейчас в основном используется в школах, материал преподносится учащимся в следующем порядке:

1) Даются основные понятия: вектор, направление вектора, абсолютная величина (модуль), нулевой вектор.

2) Рассматривается понятие равенства векторов.

3) Определяются координаты вектора.

4) Рассматриваются действия над векторами: сложение (вычитание) векторов, умножение вектора на число. Разбирается, как применяются вектора в физических задачах, на примере сложения сил.

5) Дается понятие коллинеарных векторов и рассматривается разложения вектора по двум неколлинеарным векторам.

6) Рассматривается понятие скалярного произведения векторов.

7) Дается понятия единичного вектора, координатного вектора (орта) и рассматривается разложение вектора по координатным осям.

При использовании различных приемов и методик следует учитывать уровень подготовки учащихся, специфику изучаемой темы и т.п. факторы. Используя в своей работе совокупность различных методов, приемов и их комбинации, учитель может добиться желаемых успехов.

30. Методика изучения производной, интеграла и их применений.

При изучении темы "Производная" проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер.

Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ – касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной.

При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума.

Методическая схема изучения производной

1. Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным.

2. Сформулировать определение понятия производной.

Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции. После рассмотрения геометрического смысла производной вводим опред.

3. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)

Методика введения понятия интеграл

•  Определение криволинейной трапеции.

Фигуру, ограниченную на отрезке [ a ; b ] непрерывной и не меняющей на нём знака функцией f ( x ), осью Ох и прямыми x = a , x = b называют криволинейной трапецией. { Обратить внимание учащихся на примеры криволинейных трапеций}

•  Задача о площади криволинейной трапеции.

Для вычисления площади этой трапеции разобьём отрезок [ a ; b ] на n отрезков и на каждом из них построим прямоугольник. Площадь каждого из них равна произведению высоты на основание f ( x i )? x , где ? x = x i +1 – x i . Площадь всей трапеции равна сумме площадей всех прямоугольников

Sn = f ( x 1 )? x 1 + f ( x 2 )? x 2 + … f ( x n )? x n .

•  Понятие интеграла.

Но эта формула даёт лишь приближённое значение площади. Точное значение площади мы получим как предел этой суммы.

, где ? x  0. Этот предел и называют определённым интегралом и обозначают  f ( x ) – подинтегральная функция, а и b – нижний и верхний пределы интегрирования.

•  Формула Ньютона – Лейбница

Теорема . Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на отрезке [ a ; b ], а определённая и непрерывная на отрезке [ a ; b ] функция F ( x ) – одна из её первообразных. Тогда имеет место формула… Эта формула носит название формулы Ньютона –Лейбница. Она позволяет во многих случаях просто вычислять определённый интеграл.